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1、高数第十二章幂级数第1页，此课件共39页哦一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数.对若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有为其收收 为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散域发散域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，此课件共39页哦为级数的和函数和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，此课件共39页哦例如例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或
2、写作又如又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，此课件共39页哦二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数系数.即是此种情形.的情形,即称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，此课件共39页哦发 散发 散收 敛收敛发散定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证证:设收敛,则必有于是存在常数 M 0,使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 第6
3、页，此课件共39页哦当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的 x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，此课件共39页哦幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=时,幂级数在(R,R)收敛;(R,R)加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径，在R,R 可能收敛也可
4、能发散.外发散;在(R,R)称为收敛区间收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，此课件共39页哦定理定理2.若的系数满足证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即时,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (或或)第9页，此课件共39页哦2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明说明:据此定理因此级数的收敛半径机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，此课件共39页哦对端点 x=1,的
5、收敛半径及收敛域.解解:对端点 x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例例1 1.求幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，此课件共39页哦例例2.求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，此课件共39页哦例例3.的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，此课件共39页哦例例4.的收敛域.解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t
6、=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，此课件共39页哦机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求幂级数解解:定理 2的条件不满足,故不能直接应用定理2。考虑用根值求法：的收敛半径.从而说明说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立第15页，此课件共39页哦例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散第16页，此课件共39页哦第17页，此课件共39页哦发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.第18页，此课件共39页哦三、幂级数的运算三、幂级数的运算
7、定理定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:第19页，此课件共39页哦乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积第20页，此课件共39页哦(3)除法除法(相除后的收敛区间比原来两相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多级数的收敛区间小得多)第21页，此课件共39页哦说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，此课件共39页哦定理定理4 若幂级数的收敛半径(证明见第六节)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注注:逐项积分
8、时,运算前后端点处的敛散性不变.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，此课件共39页哦说明：说明：利用定理4,我们可以求得一些幂级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 和函数,具体的步骤如下:(1)先求幂级数的收敛半径和收敛域；(2)在收敛区间内,利用逐项积分或逐项求导得到关于和函数的积分方程式或微分方程式,解方程求和函数；(3)讨论端点的情况,给出收敛域的和函数.第24页，此课件共39页哦解解两边积分得两边积分得第25页，此课件共39页哦第26页，此课件共39页哦解解:由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.则故有故得的和函数.因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页
9、，此课件共39页哦例例6.的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，此课件共39页哦例例7.求级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页，此课件共39页哦因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，此课件共39页哦解解第31页，此课件共39页哦第32页，此课件共39页哦解解收敛区间收敛区间(-1,1),第33页，此课件共39页哦例例8.解解:设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，此课件共39页哦而故机动 目录 上页 下页 返回 结
10、束 第35页，此课件共39页哦常用已知和函数的幂级数第36页，此课件共39页哦内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，此课件共39页哦2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，此课件共39页哦2.在幂级数中,n 为奇数n 为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，此课件共39页哦