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1、高数第十二章全微分方程第1页，本讲稿共33页2一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法第2页，本讲稿共33页3例如对于方程例如对于方程所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程.全微分方程的判别全微分方程的判别第3页，本讲稿共33页4第4页，本讲稿共33页5第5页，本讲稿共33页6第6页，本讲稿共33页7第7页，本讲稿共33页8第8页，本讲稿共33页9第9页，本讲稿共33页10解解方程是全微分方程方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2凑全微凑全微分法分法第10页，本讲稿共33页11第11页，本讲稿共33页12二、积分因子法二、积分因子法问题问题:如何
2、求方程的积分因子如何求方程的积分因子?第12页，本讲稿共33页13第13页，本讲稿共33页14第14页，本讲稿共33页15第15页，本讲稿共33页16可降阶高阶微分方程 第六节一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 第十二章 第16页，本讲稿共33页17一、一、解法：连续积分n 次,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 例例1.解解:第17页，本讲稿共33页18例例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t=T 时 F(T)=0.如果开始时质点在
3、原点,解解:据题意有t=0 时设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得 第18页，本讲稿共33页19利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为第19页，本讲稿共33页20型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、二、第20页，本讲稿共33页21例例3.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第21页，本讲稿共33页22例例4.绳索仅受重力作用而下垂,解解:取坐标系如图.考察最低点 A 到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设
4、有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得第22页，本讲稿共33页23则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为第23页，本讲稿共33页24三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解第24页，本讲稿共33页25例例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:第25页，本讲稿共33页26M:地球质量m:物体质量例例6.静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解解:如图所示选取
5、坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由 第26页，本讲稿共33页27两端积分得因此有第27页，本讲稿共33页28由于 y=R 时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为第28页，本讲稿共33页29说明说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为第29页，本讲稿共33页30例例7.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第30页，本讲稿共33页31内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令第31页，本讲稿共33页32思考与练习思考与练习1.方程如何代换求解?答答:令或哪个方便用哪个.均可.2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例例6例例7第32页，本讲稿共33页33 P285 1(1),(3),(8);2(1)*;P292 1(5),(6),(10);2(1),(6);3 作业作业 第33页，本讲稿共33页