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1、第四节两类问题: 在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (
2、x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 .各阶导数, )(0 x则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
3、.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxanna
4、xf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将函数xexf)(展开成 x
5、 的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(
6、1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx(P281 例3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数mxxf)1 ()(展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf,
7、) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 ,
8、 设此级数的和函数为2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 11(11
9、12xxxxxn2. 间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x1
10、1x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 将xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 将3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222
11、) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22
12、x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 函数0)(xxf在处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明, 0)(limxRnn前者无此要求.2. 如何求xy2sin的幂级数 ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(机动 目录 上页 下
13、页 返回 结束 作业 P285 1- 6 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 )(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nxnnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(例例3 附注附注备用题备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 时, 此级数条件收敛,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 将在x = 0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311机动 目录 上页 下页 返回 结束