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1、一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分二、典型例题二、典型例题通解为通解为解解解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开开始时容器内盛满了水始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容求水从小孔流出过程中容器里水面的高度器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面
2、与孔口中心间的距离)随随时间时间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米
3、的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到分离变量法步骤分离变量法步骤:1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结三、小结思考题思考题求解微分方程求解微分方程思考题解答思考题解答为所求解为所求解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案