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1、历年高考数真题精选（按考点分类）专 题5 1坐标系与参数方程（生版）1.（2 0 1 9 新课标I ）在直角坐标系x Oy中，曲线C 的参数方程为，1 +2%为参数）.以尸击坐 标 原 点。为 极 点，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为2/7 c os，+G/?s i n，+l 1 =0.（1）求 C 和/的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到/距离的最小值.2.（2 0 1 9 新课标I I）在极坐标系中,O 为极点，点 M（A，4）（自 0）在曲线C:夕=4 s i n。上，直线/过点A（4,0）且 与 垂 直，垂足为P.（1）当为
2、=（时，求0。及/的极坐标方程；（2）当M 在 C 上运动且P 在线段O M上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.3.（2 0 1 9 新课标皿）如图，在极坐标系磁中,A（2,0）,B（&,-）,C（忘,）,（2 ，4 4弧 AB,BC,C 所在圆的圆心分别是（1,0）,（1,-）,（1,幻，曲线组 是弧A B,曲线M,是2弧 8C,曲 线 是 弧 8.（1）分别写出修，M2,的极坐标方程；（2）曲线”由 根，M2,M 3 构成，若点P 在 M 上，且|0?|=白，求 P 的极坐标.4.（2 0 1 8 新课标I ）在直角坐标系x Q y中，曲线C1 的方程为y=Z|x|+2 .以坐标原点为极点，
3、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为。2+2 0 8$6-3 =0.（1）求 C?的直角坐标方程;（2）若 C1 与 C?有且仅有三个公共点，求 C1 的方程.5.（2 0 1 7 新课标H）在直角坐标系X。），中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕c os 6 =4.（1）M 为曲线G上的动点，点 P 在 线 段 上，且满足|O M H O P|=1 6,求点P 的轨迹G的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2,（）,点 8在曲线G 上，求 面 积 的 最 大 值.6.（2 0 1 6 新课标I I I）在直角坐标系x Oy中，曲
4、线G的参数方程为*=石”。为参数），y=sina以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为/?s i n（e+）=2 2 .4（1）写出G的普通方程和G 的直角坐标方程；（2）设点P 在 G上，点Q在 G 上，求I 尸 Q I 的最小值及此时P 的直角坐标.7.（2 0 1 5 新课标H）在直角坐标系x O y 中，曲线G:=8$、/为参数，30）,其中 y =f s i na啮 h 乃，在 以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：P =2 s i n8,G：0 =2 /3 c o s .（1）求C2 与G交点的直角坐标；（2）若 G与 C2 相
5、交于点A,G与G相交于点B，求|A8|的最大值.8.（2 0 1 5 新课标I ）在直角坐标系x O）中，直线G：x =-2,圆C 2：（x-i y+（y 2 =1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求 G，G 的极坐标方程；（I I ）若直线C、的极坐标方程为。=（0e R）,设 C?与a的交点为M，N ,求 Cz M N 的面积.=3 +T9.（2 0 1 5 陕西）在直角坐标系x O y 中，直线/的参数方程为 厂Q为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为夕=2 6 s i n6.（I ）写出（D C 的直角坐标方程;（I I）
6、P 为直线/上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标.1 0.（2 0 1 3 辽宁）在直角坐标系x Oy中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C直线G 的极坐标方程分别为 =4 s i n0,p c os（6-）=2 7 2 .（I ）求 C1 与 C2 交点的极坐标;（H）设 p为 q 的圆心，。为 q 与 G 交点连线的中点，已知直线尸。的参数方程为x=t3+a,b QcR为参数），求，人的值.y=r+12I X PQ C f）1 1.（2 0 1 8 新课标HD 在平面直角坐标系x y中，0O 的参数方程为 一 ,（0 为参数）,y=s i n 0过点（0,
7、-夜）且倾斜角为a的直线/与O O 交于A ,3两点.（1）求a的取值范围；（2）求 A 5中点P 的轨迹的参数方程.1 2.（2 0 1 8 新课标H）在 直 角 坐 标 系 中，曲线C 的 参 数 方 程 为 J（。为参数）,y=4 s i n0直线/的参数方程为F=（/为参数）.y=2+tsna（1）求C 和/的直角坐标方程：（2）若曲线C 截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.1 3.（2 0 1 7 新课标【）在直角坐标系X。），中，曲线C 的参数方程为/二（0 为参数）,y=s i n 0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：O=4COS，.
8、（I ）说 明 是 哪 种 曲 线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（I I ）直线C,的极坐标方程为。=%,其 中/满足t a na。=2,若曲线G与 G 的公共点都在 上，求 a.X =5 4-11 6.（2 0 1 5 湖南）已知直线/:2（f 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为y=G +极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为p=2 c os e.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为（5,百），直线/与曲线C 的交点为A,B,求 I A M H M 8 I 的值.1 7.（2 0 1 4 新课标H）在直角坐标系x Oy中，以坐标原点为极点，x
9、轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 =2 c os。，0 e0,（I ）求 C 的参数方程；（I I ）设点。在半圆C 上，半圆C 在。处的切线与直线/:），=后+2 垂直，根 据（1）中你得到的参数方程，求直线8 的倾斜角及。的坐标.1 8.(2 0 1 4 新课标I)已知曲线C:土Y +匕=1,直线/:f x =2 +(“为参数)4 9 y=2-2t(I )写出曲线C 的参数方程，直线/的普通方程.(I I )过曲线C 上任意一点尸作与/夹角为3 0。的直线，交/于点A,求1 PAi 的最大值与最小值.1 9.(2 0 1 2 新课标)选修4-4；坐标系与参数方程己知曲线C
10、i 的参数方程是卜=2 c o s 9 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴y=3 s i ne建立坐标系，曲线C2 的坐标系方程是夕=2,正方形4 J C D 的顶点都在C2 上，且 A,B,C,。依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,工).3(1)求点4,B,C,。的直角坐标；(2)设 P 为G 上任意一点，求+I P 8 F+|P C 的取值范围.I-Z2X-51+产y 2 r历年高考数真题精选（按考点分类）专题5 1坐标系与参数方程（教师版）解 答 题（共19小题）1-?x=,1.（2 019 新课标I ）在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为 1 +/”为参数）.以
11、y=T+P坐 标 原 点 O为 极 点，X 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为2/?co s6 +/3 psi n 0+11 =0.（1）求 C和/的直角坐标方程；（2）求 C上的点到/距离的最小值.1-?X 二 -2 解：（1）由 1 +为参数），得 0）在曲线。:夕=4 豆 11。上，直线/过点4 4,0）且 与 垂 直，垂足为P.（1）当为=5时，求 。及/的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段O M上时，求P点轨迹的极坐标方程.解：（I）当 时，p0=4sin=25/3,在直线I上任取一点S&）,则有QCOS（0-马=2,故
12、/的极坐标方程为有/?cos（e-g）=2；（2）设 P（p,6）,则在 RQOAP 中，有 =4cos。,.P在线段OM 上，.。出，-,4 2故 P 点轨迹的极坐标方程为夕=4 c o s 6,。咛，1.3.（2019新课标HI）如图，在极坐标系Qc中,A（2,0）,B（a,-）,C（夜，）,。（2，4 4弧 A8,BC,8 所在圆的圆心分别是（1,0）,（1,为，（1,万），曲 线 是 弧 A B,曲 线 是2弧 8 C,曲线A/,是弧8.（1）分别写出历,M2,M,的极坐标方程;（2）曲线例由M2,仞,构成，若点尸在上，且|0。|=石，求 P 的极坐标.解：（1）由题设得，弧 AB,B
13、C,8 所在圆的极坐标方程分别为夕=2cos 2 =4(*0).(2)点 A的直角坐标为41,石)，显然点A在曲线G 上，1。川=2，曲线C2的圆心(2,0)至 I 弦O A的距离d=V 4T=G ,M O B的最大面积5 =-|O A|.(2 +百)=2 +百.26.(2 0 1 6新课标H I)在直角坐 标 系 中，曲线G的参数方程为卜=c s a(a 为参数)，y=s i n a以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为p s i n(6+)=2A/2.4(1)写出G的普通方程和G 的直角坐标方程；(2)设点P 在 G上，点。在 G 上，求1 尸。1
14、的最小值及此时p的直角坐标.解：(1)曲线G的参数方程为卜=6c s a(a 为参数)，y=sina2移项后两边平方可得方+y=c o s24-s i n2=l ,即有椭圆6：1 +y 2=i；曲线G 的极坐标方程为即(，+?)=2 后，即有 p(-sincos0)=2 近,由 x=/?cos,y=psmO,可得 x+y-4 =0,即有G 的直角坐标方程为直线x+y-4 =0；（2）由题意可得当直线x+y-4 =0 的平行线与椭圆相切时,IPQI取得最值.设与直线x+y-4 =0 平行的直线方程为x+y+f=0,联立=0 可得 4 d +6fx+3 r 3=0,x2+3y2=3由直线与椭圆相切
15、,可得=3 6?-1 6（3/3）=0,解得Z =2.显然t=-2 时，|P Q|取得最小值，即有阙=胃3,此时4 f_ i2 x +9=0,解得工=二，2Q 1即 为 吗，1）.7.（2015新课标H）在直角坐标系xOy中，曲线G:=8$、/为参数，=0）,其中y=tsna啮 h乃，在 以。为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：P=2sin8,G：0=zgcosO.（1）求 c?与G 交点的直角坐标；（2）若 G 与 C2相交于点A,G 与G 相交于点B，求|A 8|的最大值.解：（/）由曲线C?：夕=2sin。，化为夕2=20sin6,x2+y2=2y.同理由C,：夕=2&cos
16、。.可得直角坐标方程：x2+y2=2y/3x,联立X2+y2-2y=0 x2+y2-2G x=0解得口y=2232，G 与 G 交点的直角坐标为(o,o),(2)曲线G：F =c s%为参数，/工0),化为普通方程：y=xtana,其中原h *Jy=tsra 2a 时，为x=0(y w 0).其极坐标方程为：9 =a(peR,p0),.A,8 都在G 上，/.A(2sina,a),B(2x/3cos,).AB|=|2 sin a -2/3 cos a=4 sin(cr-y)|,当a =红 时，|AB|取得最大值4.68.(2015新课标I)在直角坐标系xOy中，直线C:x=-2 ,圆C2：(穴
17、 一 1+(2)?=1 ,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求 C-G 的极坐标方程;(I I)若直线C、的极坐标方程为0 =p&R),设 C2与 G 的交点为M ,N ,求4 C2M N的面积.解：(I)由于 x=x?cos。，y=psinO f Ct:x=-2 的极坐标方程为pcose=-2,故 C2：(%-IP+(y-2=1的极坐标方程为：(pcos-1)2+(夕 sin。-2)2=1 ,化简可得 p2-(2pcos0+4psin 0)+4=0.(II)把直线C3的极坐标方程9=?(/?H)代入圆 Cz：(x-l)2+(y-2)2=l,可得夕2 (2夕 cos。+
18、4/?sin。)+4=0,艮|J 0 2-(血 +2&)夕+4=0,求得 P=2/2,p2=V2,.|MN|=|月一0|=应，由于圆。2的半径为1，:G M工C?N,)1x=3+t9.（2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为，2”为参数）,艮以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，0 c的极坐标方程为夕=2G sine.（I）写出0 c的直角坐标方程；（I I）P为直线/上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：（/）由o c的极坐标方程为0=2Gsin9.，/?2=26夕sin。，化为犬+丁=2 6 y,配方为d +(y-G)2 =3.()设尸(3+；r,*
19、f),又 C(0,右).PC=J(3+$)2+吟t-厨=+i2.2A/3,因此当t=0时，I PC|取得最小值2 G.此时尸(3,0).10.（2013辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C直线G 的极坐标方程分别为/?=4sin。,夕cos（。-7）=2直.（I）求 a 与 交 点 的 极 坐 标；（I I）设 P 为 G 的圆心，。为 G 与 G 交点连线的中点，已知直线尸。的参数方程为x=t3+a =*-敌+1,2,解得a=T,b=2.2 2 卫+2I 2I Y p0c（411.（2018新课标HI）在平面直角坐标系xOy中，o o 的参数方程为-一-，（
20、0 为参数），y=sind过点（0,-0）且倾斜角为a 的直线/与0 O 交于A,B两点.（1）求c 的取值范围；（2）求 A 3 中点P 的轨迹的参数方程.解：（1）.0（9 的参数方程为x=cos,（e 为参数），y=sin。.。0 的普通方程为 +了 2 =1,圆心为0（0,0）,半径）=1,当。=工时，过点（0,-&）且倾斜角为。的直线/的方程为x=0,成立；2当a 工工时，过点（0,一夜）且倾斜角为a 的直线/的方程为y=tanax-血，2 倾斜角为。的直线/与OO交于A,B 两点,圆心0(0,0)到直线l的距离d=7 巫 丁 ,ta n a l或 tana v-l,W“/或会”会
21、综 上 a 的 取 值 范 围 是 小 学.（2）/的参数方程为x=tcosa TT R ，。为参数，-),y=-J2 4-rsincr 4 4设 A,B,P 对 应 的 参 数 分 别 为 七，则%=%上%,且 心，勿满足产一2gzsina+l=0,tA+j =25/2 sin a,=5/2sina,P(x,y)满足，x=tpcosay=-V2+tp sin a.AB中点P 的轨迹的参数方程为：v夜1x=sm 2a2，(a 为参数,应 A/2、y=-cos 2a2 27 C a4%12.（2018新课标H）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为=2 c o s ,（为参数）,y=4sin
22、。直线/的参数方程为”=：+8 s a,“为参数）.y=2+rsintz（1）求 C 和/的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.解：曲线c 的参数方程为F=2cos（e 为参数）,y=4sin6转换为直角坐标方程为：-+=.16 4直线/的参数方程为?=1+，CS a（r 为参数）.y=2+fsina转换为直角坐标方程为：xsindf-ycoscr+2coscr-sina=05!0时，即a v T时|5 si n（6 +夕）一 一4|,|5 a-4|=|l-a|=17,解得 =16和18,=16符合题意.综上，a =8或a =-16.Y*2 -U
23、f,（f为参数）,y=ktx=-2+in直线6的参数方程为|m，（机为参数）.设 与/，的交点为P，当上变化时，P的轨%迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设A,：0（co sd +si n，）-夜=0 ,M为4与C的交点，求”的极径.解：.直线人的参数方程为产=2+，”为参数），y=k r.消掉参数f得：直线4的普通方程为：y=&（x-2）；元=-2 +”又直线/,的参数方程为 相，（，为参数），%同理可得，直线4的普通方程为：x =-2+外；联立，消去女得：V 9=4,即C的普通方程为V-2=4（），*0）；（2）v/3的极坐标方程为夕
24、（co s。+si n。）-0 =0,.其普通方程为：x+y-42=0,联立友 得 一X-y =43V2x=-2式=-彳,22/.p=x+y18 2厂=十 =54 4.4 与 C的交点M的极径为p=亚.15.(2 0 16 新课标I )在直角坐标系x Oy中，曲线G 的 参 数 方 程 为 8 。为参数，y=1 +a si n r 0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：O=4COS6.(I)说明G 是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；(II)直线G 的极坐标方程为。=%，其中/满足ta n%=2,若曲线C 1与 C 2 的公共点都在 G 上，求。解：(I)由1.，
25、得 .，两式平方相加得，X-+y-Y)-=a1.y=l +6 FSi n r y-1=a si n r.。|为以(0 )为圆心，以。为半径的圆.化为一般式：x2+y2-2 y+1 -0,y(I)求 C 的参数方程；(II)设点Z)在半圆C 上，半圆C 在。处的切线与直线/:y =G x+2 垂直，根 据(1)中你得到的参数方程，求直线S的倾斜角及。的坐标.解：(1)由半圆C 的极坐标方程为夕=2cos。，6eO,-,即02=2pcos(l+cos t,sin f),由(1)知C 是以C(1,O)为圆心，1为半径的上半圆，.直线CD的斜率与直线/的斜率相等，.tant=6，f=乙.3故。的直角坐
26、标为(l+c o sg,sin g,B P(|,鼻.18.(2014新课标I)已知曲线c V+q =l,直线/：卜2+”为参数)4 9 y=2-2 t(I)写出曲线C 的参数方程，直线/的普通方程.(H)过曲线C 上任意一点P 作与/夹角为30。的直线，交/于点A,求|P A|的最大值与最小值.解：(I)对于曲线 C:二+匕=1,可令 x=2cos。、y=3sin。，4 9故曲线C的参数方程为卜=2 co s?,/为参数).y=3 si n 6对于直线由得：f =x-2,代入并整理得：2 x+y-6 =0；(II)设曲线C上任意一点P(2 co sa 3 si n。).P到直线/的距离为=第1
27、4 co s6 +3 si n，-6|.则|P A|=|5 si n(6 +e)-6 ,其中。为锐角.si n 3 0 5当si n(9 +a)=-l时，|P A|取得最大值，最 大 值 为 与 L当si n(6 +a)=l时，|P A|取得最小值，最 小 值 为 班.19.(2 0 12 新课标)选修4-4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是卜=2 co s”为参数)，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴y=3sm(p建立坐标系，曲线G的坐标系方程是夕=2,正方形A B C D 的顶点都在G 上，且 A，B,C,。依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2,工).3(1)求点A,B,C,的直角坐标；(2)设 P 为G 上任意一点，求|PAF+|P8F+|PCF+|PD的取值范围.解：(1)点A,B,C,。的极坐标为(2,马,(2,),(2,网),(2,1 为3 6 3 6点 A,B,C,。的直角坐标为(1,6),(-6,1),(1,-0),(6,-1)(2)设 P(x0,%),则尸。一。夕侬为参数)%=3 smf=|PA +|PB +|PC|2+|P)|2=4 x2+4 y2+1 6 =3 2+20 sin.sin 0,1 .-.re3 2,5 2