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1、1-5 质点运动的自然坐标描述1-5 质点运动的自然坐标描述 利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、 法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自 然坐标法.然坐标法. 1 弧长方程弧长方程1. 弧长方程弧长方程 O在轨道上取一点在轨道上取一点作原点作原点, , 规定沿轨道的某一规定沿轨道的某一 O ss 在轨道上取一点在轨道上取一点作原点作原点, , 规定沿轨道的某一规定沿轨道的某一 方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点到质点方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点到质点 间的一段弧长来确定, 称为
2、弧坐标.间的一段弧长来确定, 称为弧坐标. )(tss = 弧长方程和轨道方程一起弧长方程和轨道方程一起弧长方程和轨道方程一起弧长方程和轨道方程一起 与质点的运动学方程等价.与质点的运动学方程等价. 弧坐标为弧坐标为可正可负可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.的标量,与恒正的路程是不同的. 1-5 质点运动的自然坐标描述1-5 质点运动的自然坐标描述 2 相关的微分几何知识相关的微分几何知识2. 相关的微分几何知识相关的微分几何知识 切线、切向、密切面、曲率切线、切向、密切面、曲率 圆、曲率中心、曲率半径、圆、曲率中心、曲率半径、 曲率、法线、法平面、主法曲率、法线、法平面、主法 当轨道为平
3、面曲线时当轨道为平面曲线时, , 线、副法线线、副法线 当轨道为平面曲线时当轨道为平面曲线时, , 可利用数学分析中的公式来可利用数学分析中的公式来 求曲率及曲率半径求曲率及曲率半径. .求曲率及曲率半径求曲率及曲率半径. . 22 dd1xy = 23 2 )dd(1xy+ = rrr ntb eee rrr = 1-5 质点运动的自然坐标描述1-5 质点运动的自然坐标描述 3 速度和加速度表达式速度和加速度表达式3. 速度和加速度表达式速度和加速度表达式 速度速度 ttt esevv r ; av rr, P 运动是等价的运动是等价的; ; av rr, (2)(2)不同方法中不同方法中的
4、大小的大小,(2)(2)不同方法中不同方法中的大小的大小 和方向是惟一确定的. 和方向是惟一确定的. 例题例题2 & 0 = 2222 crr=+ & &crr=+ 1-5 质点运动的自然坐标描述1-5 质点运动的自然坐标描述 运动学方程运动学方程 轨道方程轨道方程 =t c rsin 运动学方程运动学方程 轨道方程轨道方程 sin c r= = t tr 0 0 sin 0 例题例题3 =t 0 kzj yi xv r & r & r & r += h r k h j tRi tR rrr 2 cossin+= kji r & & r & & r & & r +kzj yi xa+= j tRi tR rr sincos 22 =j 1-5 质点运动的自然坐标描述1-5 质点运动的自然坐标描述 =+=+=)4( 222222 hRzyxv&常量常量 0 tt = va& 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度aa = n 2222 n Rzyxaa=+=& & & & hhRv 222222 )4(+ R h R R hR a v 22 n 4 )4( += + =