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1、3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 1.质点的动能定理1.质点的动能定理 F t v m r r = d d rFtvF t v tvm r r r r r r dd d d d= t d rdtv rr d= t d rFvvm r r rr dd= 2 vvvvvvvvv rrrrrrrr d2d)d()(dd 2 =+= rFtvFmv r r r r dd) 2 1 (d 2 = 2 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 1 2 2 1 mvT = WTd= rFtvFW r r r r dd= WTd
2、= 2 d 11 2 1 2 2 r rFmvmv r r 2 2 功功 1 d 22 12 r mvmv 2 2. .功功 rFtvFW r r r r dd=rFtvFWdd= 元功为零的三种情况元功为零的三种情况元功为零的三种情况元功为零的三种情况 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 r （1）（1） 0=F r d rr （2）（2）0d =r r 或或0=v r （3 3） rr （3 3） rF r d或或vF r zFyFxFrFW z r r yx r r dddd 2 1 2 1 += r r r r r r 11 一般与路径有关一般
3、与路径有关 3.3.保守力保守力和和势能势能保守力势能保守力势能 （1）力场（1）力场 )(tFF r rr ),(trFF = 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 （2）稳定力场（2）稳定力场 )(rFF r rr = rr （3）保守力（3）保守力)(rFF r rr = a)a)若力若力做功只与受力质点的始末位置有关做功只与受力质点的始末位置有关, , 与质与质F r a)a)若力若力做功只与受力质点的始末位置有关做功只与受力质点的始末位置有关, , 与质与质 点运动的中间路径无关, , 则点运动的中间路径无关, , 则 力力为保守力为保守力.
4、. F = ADBACB rFrF r r r r dd F r 力力为保守力为保守力. . F b)b)若受力质点沿若受力质点沿b)b)若受力质点沿若受力质点沿 任意闭合路径运任意闭合路径运 动一周动一周, ,力力做功做功F r 动一周动一周, ,力力做功做功 为零, 为零, 则力则力为保守力为保守力. . F =0drF r r F r 则力则力为保守力为保守力. .F 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 c)c)若力若力所做元功可表示为受力质点位置的标量函数所做元功可表示为受力质点位置的标量函数F r c)c)若力若力所做元功可表示为受力质点位置
5、的标量函数所做元功可表示为受力质点位置的标量函数 的全微分, , 则力为保守力. 的全微分, , 则力为保守力. F r )(ddrUrF rr r = F F r d)若力可表示为受力质点位置的标量函数的梯d)若力可表示为受力质点位置的标量函数的梯 度度, 则力则力为保守力为保守力. .),(zyxUF= r F r 度度, , , , 则力则力为保守力为保守力. . ),(zyxUFF e) 若力的旋度为零, , 则力为保守力. e) 若力的旋度为零, , 则力为保守力. F r 0=F r F r )(rU r 势函数势函数 （4）保守力的势能（4）保守力的势能 )()(UV rr )(
6、VF r r )()(rUrV=)(rVF= r rFW v r r d r rV r r d)( = r rFW r 0 d = r rV r 0 d)( 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 VVV r r )ddd( 0 z z V y y V x x V r r = r )()(d 0 0 rVrVV r r rr r r = 0)( 0 =rV r r FVV r r r r d)()( = r rFzyxVrV r rr 0 d),()( （5 5）注意注意（5 5）注意注意 a)只有质点位于保守力场内才具有与保守力相关的a)只有质点位于保守
7、力场内才具有与保守力相关的 势能势能. .势能是受力质点位置的标量函数势能是受力质点位置的标量函数. .势能势能. .势能是受力质点位置的标量函数势能是受力质点位置的标量函数. . 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 b)b)要确定保守力场内某一点的势能要确定保守力场内某一点的势能, , 必须规定势能必须规定势能b)b)要确定保守力场内某一点的势能要确定保守力场内某一点的势能, , 必须规定势能必须规定势能 零点,而保守力场内两点的势能差与势能零点的选取零点,而保守力场内两点的势能差与势能零点的选取 无关无关. .无关无关. . c)c)势能函数的全体
8、为势能函数的全体为. . 要确定势能函数要确定势能函数, , CV+c)c)势能函数的全体为势能函数的全体为. . 要确定势能函数要确定势能函数, , 必须规定常量,即规定势能零点.必须规定常量,即规定势能零点. C d)d)保守力的势能保守力的势能只是受力质点位置的函数只是受力质点位置的函数. . 如如)(rV r d)d)保守力的势能保守力的势能只是受力质点位置的函数只是受力质点位置的函数. . 如如 前所述这是质点力学的观点, 在这种观点下势能是前所述这是质点力学的观点, 在这种观点下势能是 位于保守力场内质点所具有的能量位于保守力场内质点所具有的能量, , 准确地说这种准确地说这种 )
9、(rV 位于保守力场内质点所具有的能量位于保守力场内质点所具有的能量, , 准确地说这种准确地说这种 势能是外势能,可记为.势能是外势能,可记为.)( )e( rV r 例题8例题8 )(dd 2 rr ere GMm rF rrr r =)( 2 rr r 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 GM d)d( 2 rrr erere r GMmrrr += )(dd 2 GMm r GMm =)( 2 rr C GMm VC r V+= =r=r 0=V r GMm V= r 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律
10、 4 4 质点的机械能定理和机械能守恒定律质点的机械能定理和机械能守恒定律4 4. .质点的机械能定理和机械能守恒定律质点的机械能定理和机械能守恒定律 rFrFWT r r r r ddd+=rFrFWTddd ncc += VFdd r r VrFdd c = rFVT r r d)(d nc =+rFE r r dd nc = 0d nc rF r r =+=VTE常量常量=+=VTE常量常量 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 质点的机械能守恒表示机械运动与其他形式的质点的机械能守恒表示机械运动与其他形式的质点的机械能守恒表示机械运动与其他形式的
11、质点的机械能守恒表示机械运动与其他形式的 运动之间没有能量的相互转化运动之间没有能量的相互转化. 例题9例题9mgFym N = 0& &mgFN= FFmgFF Nf = 1 xxbmgxmd)() 2 1 (d 22 &+= = 0 2 2 d d s x xm& )1ln( 2 0 vbm s += + 0 2 2 0 d 2 v x xbmg& )1ln( 2mgb s + = 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 例题例题10101例题例题1010 mgRmgRmv+=+0sin 2 1 2 )sin1 (2 2 =gRv N Fmg R v
12、m=sin 2 )2sin3(=mgF R r )2sin3(=mgFN 解的适用范围为解的适用范围为 t e 2 arcsin 解的适用范围为解的适用范围为 3 arcsin 2 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 5 5 非稳定力场和有势力非稳定力场和有势力5 5. .非稳定力场和有势力非稳定力场和有势力 )( r rr i GMm F rr ),(trFF r =i btx Gm F 22 )( = 0F r 0=F )(tVV r )/( 2 btxGMmV= ),(trVV = )()(VF rr r ),(),(trVtrF rr = y
13、y V x x V rFddd = r r y 3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律3-5 质点的动能定理和机械能守恒定律 V Vz z V dd= t t V z z V y y V x x V Vddddd + + + = tzyx V V VVV Fdddddd r r t t V Vz z V y y V x x V rFdddddd += = r rFrFT r r r r ddd npp += rFt t V VT r r dd)(d np + =+ t 保守力场是稳定的有势力场, 机械能守恒是保守保守力场是稳定的有势力场, 机械能守恒是保守 的力学系统的性质的力学系统的性质. .的力学系统的性质的力学系统的性质. .