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1、绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）一、填空题1计算：20lim_313nnn2设mR，222(1)immm是纯虚数，其中i 是虚数单位，则_m3若2211xxxyyy，则_xy4已知 ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc，则角 C 的大小是 _（结果用反三角函数值表示）5设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则_a6方程1313313xx的实数解为 _ 7在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为_ 8盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，
2、则这两个球的编号之积为偶数的概率是_（结果用最简分数表示）9设 AB 是椭圆的长轴，点C 在上，且4CBA，若 AB=4，2BC，则的两个焦点之间的距离为_ 10 设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列12319,x xxxL的 公 差，随 机 变 量等 可 能 地 取 值12319,x xxxL，则方差_D11若12cos cossinsin,sin 2sin 223xyxyxy，则sin()_xy12设a为实常数，()yf x是定义在R 上的奇函数，当0 x时，2()97af xxx，若()1f xa对一切0 x成立，则a的取值范围为_ 13在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1
3、)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(|1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 _ 14 对区 间I上 有 定 义 的 函 数()g x，记()|(),g Iy yg xxI，已知定义域为0,3的函数()yf x有反函数1()yfx，且11(0,1)1,2),(2,4)0,1)ff，若方程()0f xx有解0 x，则0_x二、选择题15设常数aR，集合|(1)()0,|1AxxxaBx xa，若ABR，则名师资料总结-精品资
4、料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -a的取值范围为（）(A)(,2)(B)(,2(C)(2,)(D)2,)16钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件17在数列na中，21nna，若一个7 行 12 列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i jijijaaaaa，（1,2,7;1,2,12ijLL）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63 18在边长为1 的正六边形ABCDEF中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,a a
5、a aau r u u r u u r u u r u u r；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,d ddddu u r uu r uu r u u r uu r.若,m M分别为()()ijkrstaaadddu ru u ruu ru u ruu ru u r的最小值、最大值，其中,1,2,3,4,5i j k,1,2,3,4,5r s t,则,m M满足（）.(A)0,0mM(B)0,0mM(C)0,0mM(D)0,0mM三、解答题19.（本题满分12 分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并
6、求直线BC1到平面 D1AC 的距离.20（6 分+8 分）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110 x），每小时可获得利润是3100(51)xx元.(1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21（6 分+8 分）已知函数()2sin()f xx，其中常数0；（1）若()yf x在2,43上单调递增，求的取值范围；（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再向上平移1 个单位，得到函数()yg x的图像，区间,a b（,a bR且ab
7、）满足：()yg x在,a b上至少含有30 个零点，在所有满足上述条件的,a b中，求ba的最小值D1C1B1A1DCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -22 （3 分+5分+8 分）如 图，已 知 曲 线221:12xCy，曲 线2:|1Cyx，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C都有公共点，则称P 为“C1C2型点”(1)在正确证明1C的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线ykx与2C有公共点，求证|1k，进而证明原点不是“C1C2型点”；(3)求证：圆2212
8、xy内的点都不是“C1C2型点”23（3 分+6 分+9 分）给定常数0c，定义函数()2|4|f xxcxc，数列123,a aa L满足*1(),nnaf anN.（1）若12ac，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac，；（3）是否存在1a，使得12,na aaLL成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.2013 年 上海 高考理科数学（参考答案）一填空题1.132.2 3.0 4.1arccos35.2 6.3log 47.1528.13189.4 6310.30d211.2312.87a13.221614.2 二选择题题号15 16 17 18 代号
9、B B A D 三解答题19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故1111/,ABC DABC D，故 ABC1D1为平行四边形，故11/BCAD，显然 B 不在平面D1AC 上，于是直线 BC1平行于平面DA1C；直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点B 到平面 D1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC 为底面，可得111(1 2)1323V名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -而1AD C中，115,2ACDCAD，故132AD CS所以，13123233Vhh，即直线BC1到平面 D1AC 的距离为2320【解答】(1
10、)根据题意，33200(51)30005140 xxxx又110 x，可解得310 x(2)设利润为y元，则4290031161100(51)9 10 3()612yxxxx故6x时，max457500y元21【解答】(1)因为0，根据题意有34202432(2)()2sin(2)f xx，()2sin(2()12sin(2)163g xxx1()0sin(2)323g xxxk或7,12xkkZ，即()g x的零点相离间隔依次为3和23，故 若()yg x在,a b上 至 少 含 有30 个 零 点，则ba的 最 小 值 为243141533323.【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F
11、，过 F 的直线3x与 C1交于2(3,)2，与 C2交于(3,(31)，故 C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为3x；（2）直线ykx与 C2有交点，则(|1)|1|1ykxkxyx，若方程组有解，则必须|1k；直线ykx与 C2有交点，则2222(1 2)222ykxkxxy，若方程组有解，则必须212k故直线ykx至多与曲线C1和 C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆2212xy内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)t tt，则:(1)()(1)0lytk xtkxytkt直线
12、l与圆2212xy内部有交点，故2|1|221tktk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -化简得，221(1)(1)2ttkk。若直线l与曲线 C1有交点，则2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktkt xtktxy22222214(1)4()(1)10(1)2(1)2ktktktkttktk化简得，22(1)2(1)tktk。由得，222212(1)(1)(1)12kttkkk但此时，因为2210,1(1)1,(1)12ttkk，即式不成立；当212k时，式也不成立综上，直线l若与圆2212xy内有交点，则不可能同时与曲线C1和 C2
13、有交点，即圆2212xy内的点都不是“C1-C2型点”23.【解答】：（1）因为0c，1(2)ac，故2111()2|4|2af aacac，3122()2|4|10af aacacc（2）要证明原命题，只需证明()f xxc对任意xR都成立，()2|4|f xxcxcxcxc即只需证明2|4|+xcxcxc若0 xc，显然有2|4|+=0 xcxcxc成立；若0 xc，则2|4|+4xcxcxcxcxc显然成立综上，()f xxc恒成立，即对任意的*nN，1nnaac（3）由（2）知，若na为等差数列，则公差0dc，故n 无限增大时，总有0na此时，1()2(4)()8nnnnnaf aacacac即8dc故21111()2|4|8af aacacac，即1112|4|8acacac，当10ac时，等式成立，且2n时，0na，此时na为等差数列，满足题意；若10ac，则11|4|48acac，此时，230,8,(2)(8)naacancL也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围是,)8cc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -