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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。1. 不等式204xx的解集是（-4,2 ）。解析：考查分式不等式的解法204xx等价于（ x-2）(x+4)0, 所以 -4x2 2. 若复数12zi（i为虚数单位），则z zz 6-2i 。解析：考查复数基本运算z zziiii2621)21)(21(3. 动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20 x的距离相等，则P的轨迹方程为28yx。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以(2,0
2、)F为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x4. 行列式cossin36sincos36的值是 0 。解析：考查行列式运算法则cossin36sincos36=02cos6sin3sin6cos3cos5. 圆22:2440Cxyxy的 圆 心 到 直 线l:3440 xy的 距 离d3 。解析：考查点到直线距离公式圆心（ 1,2）到直线3440 xy距离为35424136. 随机变量的概率分布率由下图给出：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - -
3、 - - - 则随机变量的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E=70.3+8 0.35+9 0.2+10 0.15=8.2 7. 2010 年上海世博会园区每天9:00 开园， 20:00 停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S+a 。8. 对任意不等于1 的正数 a，函数 f(x)=log (3)ax的反函数的图像都经过点P，则点 P的坐标是（0，-2 ）解析： f(x)=log (3)ax的图像过定点（-2,0 ） ，所以其反函数的图像过定点（0，-2）9从一副混合后的扑克牌（52
4、张）中随机抽取1张，事件 A为“抽得红桃K” ，事件 B为“抽得为黑桃”，则概率 P（AB）=726（结果用最简分数表示）解析：考查互斥事件概率公式 P （AB）=2675213521 10 在n行 n 列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为( ,1,2, )ijai jn。当9n时，11223399aaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 45 。解析：11223399aaa
5、a1+3+5+7+9+2+4+6+8 =4511. 将直线2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为nS，则limnnS 1 。解析： B)1,1(nnnn所以 BOAC ，nS=121221nnnn所以limnnS1212如图所示，在边长为4 的正方形纸片ABCD中， AC与 BD相交于 O,剪去AOBV, 将剩余部分沿 OC 、OD折叠， 使 OA 、OB重合，则以 A、 （B） 、C、D、O为顶点的四面体的体积为8 23解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为3283622316213113
6、。 如 图 所 示 ， 直 线x=2 与 双 曲 线22:14y的 渐 近 线 交 于1E,2E两 点 ， 记1122,OEe OEeu uu u ruuuu ru vu u v，任取双曲线上的点 P，若12,()OPaebe abRuuu ruu u vuuu v、，则 a、b 满足的一个等式是 4ab=1 解析：)1,2(),1 ,2(21EE12OPaebeuuu ru u ruuu r=),22(baba，点 P 在双曲线上1)(4)22(22baba，化简得 4ab 1 14. 以集合 U=abcd， ， ，的子集中选出2 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b 都要选出
7、；（2）对选出的任意两个子集A 和 B，必有ABBA或，那么共有 36 种不同的选法。解析：列举法共有 36 种二选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 15 “24xkkZ”是“tan1x”成立的 答 （ A ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件 . （D
8、）既不充分也不必要条件. 解析：14tan)42tan( k，所以充分；但反之不成立，如145tan，所以不必要16. 直线 l 的参数方程是x=1+2t()y=2-ttR，则 l 的方向向量是d可以是【答】 （C）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析：直线l 的一般方程是052yx，21k，所以 C 正确17. 若0 x是方程131()2xx的解，则0 x属于区间【答】（C ）(A)(23,1) (B)(12,23) (C)(13,12) (D)(0,13) 解析：结合图形312131312121,3121，0 x属于区间 (13,12) 18.
9、某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,13 11 5，则此人能【答】（D）（A）不能作出这样的三角形（B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形（D）作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知5:11:13:,51111131cbacba由余弦定理得0115213115cos222A，所以角A为钝角三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19. （本题满分12 分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg2 cos()lg(1sin 2 )24xxxxx. =0 精品
10、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 20. ( 本题满分 13 分) 本题共有 2 个 小题，第一个小题满分5 分，第 2 个小题满分8 分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出n 为何值时，nS取得最小值，并说明理由。（2）nS=1575()906nn n=15取得最小值解析： (1) 当 n 1 时，a114；当 n 2 时，anSnSn 15an5a
11、n 11，所以151(1)6nnaa，又 a1115 0，所以数列 an1 是等比数列；(2) 由(1)知：151156nna，得151 156nna，从而1575906nnSn(nN*) ；解不等式 SnSn 1，得15265n，562log114.925n，当 n 15 时，数列 Sn 单调递增；同理可得，当n 15 时，数列 Sn单调递减；故当n 15 时， Sn取得最小值21、 （本大题满分13 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分8 分. 如图所示， 为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面8 等份，再用
12、S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方米） ; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3 米时，求图中两根直线13A B与35A B所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解 析 ： (1) 设圆 柱形灯笼 的 母线 长为l，则l 1.2 2r(0r0，即222210a kbp，设 C(x1,y1)、D(x2,y2)， CD 中点坐标为 (x0,y0)，则212102221201022212xxa k pxa kbb pyk xpa kb，由方
13、程组12yk xpyk x，消 y 得方程 (k2k1)x p，又因为2221bka k，所以2102222112202221a k ppxxkka kbb pyk xya kb，故 E 为 CD 的中点；(3) 求作点 P1、P2的步骤： 1 求出 PQ 的中点(1cos )(1sin)(,)22abE，2 求出直线 OE 的斜率2(1 sin)(1cos )bka，3 由12PPPPPQuuu ruu uru uu r知 E 为 CD 的中点，根据 (2)可得 CD 的斜率2122(1cos )(1sin)bbka ka，4 从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos
14、)()2(1sin)2bbayxa，5 将直线 CD 与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使 P1、P2存在，必须点E 在椭圆内，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 所以22(1 cos )(1 sin )144，化简得1sincos2，2sin()44，又 0 ，即3444，所以2arcsin444，故的取值范围是2(0,arcsin)44精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -