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1、电动力学课件镜象法现在学习的是第1页，共16页2.4 镜 象 法重点掌握：重点掌握：1、镜象法的基本概念、镜象法的基本概念2、求解电势的基本方法、求解电势的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第2页，共16页 求解泊松方程的难度求解泊松方程的难度、电象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求解泊一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。加法
2、求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称匀分布的，造成电场缺乏对称性。性。QQ2.以唯一性定理为依据以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用试探在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。荷来给出尝试解。机动 目录 上页
3、下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共16页 电象法概念、适用情况电象法概念、适用情况电象法：电象法：用假想点电荷来等效地代用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空和等效点电荷迭加给出空间电势分布。间电势分布。适用情况：适用情况：所求区域有少许几个点电荷，它所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。对称性。c)给定边界条件给定边界条件注意注意：a a）做替代时，
4、所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、点电荷位置、Q Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。所求区域之外。b b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。想电荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。）坐标系选择仍然根据边界形状来定。机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习
5、的是第4页，共16页 格林等效层定理（不证明）格林等效层定理（不证明）*（1）等势面包围的体积）等势面包围的体积V内的内的电荷在电荷在V外产生的电势与在此等外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将势面上置一导体面，并将V内电内电荷都搬到导体上所产生的电势完荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。全一样。（2）相反，带电导体所产生的电）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。体表面完全重合的等势面。等势面等势面VQP)(p导体面导体面Q)(pPQQ机动 目录 上页 下页 返回 结
6、束 现在学习的是第5页，共16页四、应用举例接地无限大平面导体板附近有一接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。点电荷，求空间电势。QQ/Pzrra0解：解：根据唯一性定理根据唯一性定理左半空间左半空间右半空间，右半空间，Q在（在（0，0，a）点，）点，电势满足泊松方程。电势满足泊松方程。边界边界上上00z从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴轴上。上。Q设电量为设电量为a，位置为（位置为（0，0，）)()(412222220azyxQazyxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页，共16页
7、22222200ayxQayxQz由边界条件确定由边界条件确定Qa和和、唯一解是唯一解是 因为象电荷在左半空因为象电荷在左半空间，所以舍去正号间，所以舍去正号 解解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ讨论：讨论：（a）导体面上感应电荷分布）导体面上感应电荷分布2/322200)(2ayxQazz机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共16页 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b）电荷）电荷Q 产生的电场产生的电场的的电力线全部终止在导体面上电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电
8、场在 右半右半空间完全空间完全相同。相同。（c）与与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）为镜象法（又称电象法）QQ（d）导体对电荷）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力zzzeaQeaQerQF202020216)2(144机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共16页解：（解：（1）分析：）分析：因因导体导体球球接地接地故球的电势故球的电势为零。根据镜象法原则为零。根据镜象法原则假假想电荷应在球内想电荷应在球内。因空间。因空间只有只有两个点电荷两个点电荷，场，场应具应具有轴对
9、称，故假想电荷应在有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上线上，即极轴上。真空中有一半径真空中有一半径R0的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心 a R0 处有一处有一点电荷点电荷 Q，求空间各点电势。，求空间各点电势。410rQrQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 rr球坐标系球坐标系PROZQQ现在学习的是第9页，共16页cos222RaaRrcos222RbbRr0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2）由边界条件确定）由边界条件确定Qr和和bQO设设 222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a因因 任意的任意的aQbQ22)()(2
10、2022202aRQbRQ解得解得 aQRQaRb020 QQabaQRQaRb020机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共16页)(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ ，因此因此Q发出的电力线一部分会聚到导发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。体球面上，剩余传到无穷远。球面感应电荷分布球面感应电荷分布 QQ（3）讨论）讨论：2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷电荷 移到地中去
11、了。移到地中去了。aQRQQ0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos2)/(12020RaRRRa现在学习的是第11页，共16页（4 4）若导体不接地，可视为）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上导体已为等势体，加上 还要使导体为等势体，还要使导体为等势体，必须必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量均匀分布在球面上。这时导体球上总电量（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）。的点电荷产生的电势）。Q 0 QQQ Q RQ014（5 5）若导体球不接地，且带上
12、自由电荷）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电，导体上总电荷为荷为 ，此时要保持导体为等势体，此时要保持导体为等势体，也应均匀分布在也应均匀分布在球面上。球面上。0Q0Q0QRQRQ000244 等效电荷一般是一个点电荷组或一个等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷带电体系，而不一定就是一个点电荷。机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共16页（6）导体球不接地而带自由电荷）导体球不接地而带自由电荷 时时 所受所受到的到的作用作用力可以看作力可以看作 与与 及及位于球心处的等效电荷位于球心处的等效电荷 的作用力之和。的作用力之和。0QQQQ
13、 0Q)()2(414)()(42202320230220020020RaaRaRQaQQaQQQbaQQF 设设 ，第一项为排斥力，第二项为，第一项为排斥力，第二项为吸吸引力（与引力（与 无关，与无关，与 正负无关）。当正负无关）。当时，时，F 0，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。会出现相互吸引。00Q0Q0QQ0Ra 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共16页3有一点电荷有一点电荷 位于两个互相垂直的位于两个互相垂直的半无限大半无限大接地接地导体导体板板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离所围成的直角空间内，它
14、到两个平面的距离为为 a 和和 b，求空间的电势。，求空间的电势。Q 假想电荷应在第假想电荷应在第 I 象限之外。象限之外。要保证互相垂直的要保证互相垂直的两个接地导体板的电两个接地导体板的电势同时为零，应当放势同时为零，应当放几个电荷？几个电荷？解：（解：（1）分析：）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共16页S2S1Q0（2）电势分布）电势分布2222220222222114()()()()0110()()()()Qx ay bzx ay bzxyx ay bzx ay bz 放在放在 处处用用镜镜象法求解的条象法求解的条件是什么？件是什么？2Q)(0（3）若两平面夹角）若两平面夹角n12n象电荷数象电荷数机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共16页4 4另外几种容易求解又常见的情况：另外几种容易求解又常见的情况：作业作业 8、9、11、机动 目录 上页 下页 返回 结束 12现在学习的是第16页，共16页