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1、电动力学二四镜象法1本讲稿第一页，共三十二页目的：目的：学习一种求解静电场的学习一种求解静电场的 特殊方法特殊方法-镜象法（简洁明了）镜象法（简洁明了）主要内容：一、相关内容回顾 二、镜象法的基本思想 三、镜象法应用举例 四、总结与讨论2本讲稿第二页，共三十二页唯一性定理给出静电场可以唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件唯一求解的条件唯一性定理：在可均匀分区的区域唯一性定理：在可均匀分区的区域V V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布，区域区域V V内的电内的电场由场由V V的边界的边界S S上的电势或者电势法向导上的电势或者电势法向导数唯一地确定。数唯一地确定。一、相关内容回顾一、相关内容
2、回顾3本讲稿第三页，共三十二页 如果如果V V内含有导体区域内含有导体区域 ，将导体表，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而是给定上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。系决定的。4本讲稿第四页，共三十二页分离变量法：适用于分离变量法：适用于所考虑的区域内没有所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况，自由电荷分布的情况，求解拉普拉斯方程。求解拉普拉斯方程。1)1)分离变量法（分离变量法（）2)
3、2)镜象法（镜象法（？）？）3)3)格林函数法（格林函数法（？）？）4)4)多极矩展开法（多极矩展开法（？）？）静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。方程的解。主要方法有四种。5本讲稿第五页，共三十二页一种重要的特殊情形是：区域内只有一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。介质表面产生束缚。二、镜象法求解静电场的基本思想二、
4、镜象法求解静电场的基本思想6本讲稿第六页，共三十二页上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜象法。种方法就是镜象法。镜象法的基本思想就是：在求解区域之外引入镜象法的基本思想就是：在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边象电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。值关系和边界条件。或者说或者说 ，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件，象电荷可以取代感应电荷，象电荷系和边界条件，象电荷可以取代感应电荷，
5、象电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。7本讲稿第七页，共三十二页三、镜象法应用举例三、镜象法应用举例例例1 1 接地无限大平面导体板附接地无限大平面导体板附近有一点电荷近有一点电荷QQ，求空间中的，求空间中的电场。电场。8本讲稿第八页，共三十二页解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）区域：上半空间（下半空间电势为零）已知界面电势为零，满足唯一性定理的要已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。求，可以确定电势。9本讲稿第九页，共三十二页上半空间的电势的
6、特征：上半空间的电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面点电荷点电荷QQ使导体表面产生异号的感应电荷使导体表面产生异号的感应电荷 QQ 。整个电场是由。整个电场是由QQ和和 QQ共同产生的。共同产生的。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：10本讲稿第十页，共三十二页设想在导体板下设想在导体板下方与电荷方与电荷QQ对称对称的位置上放一个的位置上放一个假想电荷假想电荷QQ=QQ ，然后把导体，然后把导体板抽去。板抽去。这样，没这样，没有改变所考虑空间有改变所考虑空间的电荷分布（即没的电荷分布（即没有改变电势服从的有改变电势服从的泊松方程）。泊松方程）
7、。QQ假想电荷假想电荷QQ 与与给定电荷给定电荷QQ激发的总电激发的总电场如图所示。场如图所示。由对称性看由对称性看出，在原导出，在原导体板平面上，体板平面上，电场线处处电场线处处与它正交，与它正交，因而满足边因而满足边界条件。界条件。11本讲稿第十一页，共三十二页导体板上部空间导体板上部空间的电场可以看作的电场可以看作原电荷与镜象电原电荷与镜象电荷共同激发的电荷共同激发的电场。场点场。场点PP的电的电势势导体板上的感导体板上的感应电荷确实可应电荷确实可以用板下方一以用板下方一个假想电荷个假想电荷QQ 代替。代替。12本讲稿第十二页，共三十二页选选QQ到导体板上的投影点到导体板上的投影点OO作
8、为坐标原点，作为坐标原点，设设QQ到导体板距离为到导体板距离为a a，有，有可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。求解泊松方程的简洁方法。13本讲稿第十三页，共三十二页例例2 2 真空中有一半径为真空中有一半径为RR0 0的接地的接地导体球，距球心为导体球，距球心为a a（a aRR0 0）处有）处有一点电荷一点电荷QQ，求空间各点的电势（如，求空间各点的电势（如图）。图）。14本讲稿第十四页，共三十二页解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：导体球面界面：导体球面区域：球面外区域区域：球面外区域已知界面电势为零，满足
9、唯一性定理的要已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。求，可以确定电势。15本讲稿第十五页，共三十二页点电荷点电荷QQ使导使导体表面产生异体表面产生异号的感应电荷号的感应电荷QQ 。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：整个电场是由整个电场是由QQ和和QQ共同产生的。共同产生的。16本讲稿第十六页，共三十二页在球内区域（所考虑区在球内区域（所考虑区域之外）引入象电荷，取域之外）引入象电荷，取代球面上的感应电荷，不代球面上的感应电荷，不改变体系方程。改变体系方程。球面外区域电势的特征：球面外区域电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面预
10、计电场线如图所示预计电场线如图所示17本讲稿第十七页，共三十二页不改变边值关不改变边值关系和边界条件系和边界条件的要求为由对的要求为由对称性，称性，QQ应应在在OQOQ连线连线上。上。考虑球面上任一考虑球面上任一点点PP（如图）（如图）18本讲稿第十八页，共三十二页因此对球面上任一因此对球面上任一点，应有点，应有 只要选只要选QQ 的位置使的位置使 OPQOPQ OQPOQP，则则19本讲稿第十九页，共三十二页假想电荷假想电荷QQ 的大小为的大小为由两三角形相似的条件可得假由两三角形相似的条件可得假想电荷想电荷QQ 的位置的位置20本讲稿第二十页，共三十二页球外任一点球外任一点PP（如图）（如
11、图）的电势为的电势为21本讲稿第二十一页，共三十二页根据高斯定理，根据高斯定理，收敛于球面的电收敛于球面的电通量为通量为 QQ。QQ 为为球面的总感应电荷，球面的总感应电荷，它是受电荷它是受电荷QQ的电的电场的吸引而从接地场的吸引而从接地处传至导体球上的。处传至导体球上的。物理结果讨论：物理结果讨论：然而然而|QQ|QQ，由电荷，由电荷QQ发出的电场发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。一部分发散至无穷远处。22本讲稿第二十二页，共三十二页例例3 3 如上例，但导体球不接地如上例，但导体球不接地而带电荷而带电荷QQ0 0，求球外电势，并
12、求，求球外电势，并求电荷电荷QQ所受的力。所受的力。23本讲稿第二十三页，共三十二页这里给出的条件为：这里给出的条件为：（1 1）球面为等势面（电势待定）；）球面为等势面（电势待定）；（2 2）从球面发出的总电通量为）从球面发出的总电通量为QQ0 0。在球内放置与上例相同的假想电荷在球内放置与上例相同的假想电荷QQ（电势（电势为零），在球心处再放一个假想电荷为零），在球心处再放一个假想电荷QQ0 0QQ（球面等势），就可同时满足上面两个条件。（球面等势），就可同时满足上面两个条件。解解24本讲稿第二十四页，共三十二页球外任一点球外任一点PP的电势为的电势为 因此电荷因此电荷QQ所受的力等于所受
13、的力等于QQ 和球心处的电和球心处的电荷荷QQ0 0QQ 对它的作用力对它的作用力FF，25本讲稿第二十五页，共三十二页过渡到点电过渡到点电荷相互作用荷相互作用模型模型吸引力，吸引力，趋于消失趋于消失RR0 0 0 0物理结果讨论：物理结果讨论：26本讲稿第二十六页，共三十二页a aRR0 0即使即使QQ和和QQ0 0同号，同号，只要只要QQ距球面足够近，距球面足够近，就受到导体的吸引力。就受到导体的吸引力。原因：虽然整个导体原因：虽然整个导体的电荷与的电荷与QQ同号，但同号，但在靠近在靠近QQ的球面部分的球面部分出现异号电荷。从而出现异号电荷。从而相互吸引起主要作用。相互吸引起主要作用。吸引
14、力起主要作用吸引力起主要作用（数值大于第一项）（数值大于第一项）27本讲稿第二十七页，共三十二页1)1)根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；边值问题；2)2)在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；求解区域电荷分布不变；3)3)引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。条件。1 1、镜象法的基本要领、镜象法的基本要领四、总结与讨论四、总结与讨论28本讲稿第二十八页，共三十二页1)1)两种方法都是根据边值关系和边界条件两种方法
15、都是根据边值关系和边界条件进行求解；进行求解；2)2)可解的条件都是唯一性定理所要求的分可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。区均匀介质和边界条件。2 2、与分离变量法比较、与分离变量法比较共同点：共同点：29本讲稿第二十九页，共三十二页不同点：不同点：分离变量法分离变量法镜象法镜象法电荷分布电荷分布求解区域没有求解区域没有（或者经过变换（或者经过变换没有）自由电荷没有）自由电荷分布分布求解区域有一个求解区域有一个或者几个自由点或者几个自由点电荷电荷具体方法具体方法分离变量求解拉分离变量求解拉普拉斯方程普拉斯方程求解区域之外引求解区域之外引入象电荷取代感入象电荷取代感应电荷应
16、电荷30本讲稿第三十页，共三十二页从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件大致有于求解电场问题具有重要性作用。边界条件大致有一下几种类型：一下几种类型：1 1、两绝缘介质界面上，、两绝缘介质界面上，边值关系为边值关系为2 2、给出导体上的电势，导体、给出导体上的电势，导体面上的边界条件为面上的边界条件为3 3、边界条件总结、边界条件总结3 3、给出导体所带总电荷、给出导体所带总电荷QQ，在导体面上的边界条件，在导体面上的边界条件为为31本讲稿第三十一页，共三十二页应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用导体的另一边界条件，可以得出导体表面的用导体的另一边界条件，可以得出导体表面的自由电荷密度。自由电荷密度。32本讲稿第三十二页，共三十二页