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1、第二章第二章 静电场静电场Electrostatic field本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。主要方法：分离变量法、镜像法、格林函数法。求解的依据：唯一性定理。1.静电场标势及其微分方程2.唯一性定理3.拉普拉斯方程 分离变量法4.镜像法5.格林函数6.电多级矩本章内容：本章内容：本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：分离变量法（柱坐标）、电多极子分离变量法（柱坐标）、电多极子静电势及其特性、分离变量法、镜象法静电势及其特性、分离变量法、镜象法2.
2、1 静电势及其微分方程静电势及其微分方程Scalar potential and differential equation for electrostatic field一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三静电场的能量本节主要内容本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关，在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为麦氏方程组的电场部分为静电场的无旋性是它的一个重要特静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。势函数描述保守力场的方法一样
3、。一、静电场的标势一、静电场的标势这两方程连同介质的电磁这两方程连同介质的电磁性质方程性质方程 是解决静是解决静电问题的基础。电问题的基础。无旋性的积分形式是电场无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等沿任一闭合回路的环量等于零，即于零，即设设C1和和C2为为P1和和P2点的两点的两条不同路径。条不同路径。C1与与C2合成合成闭合回路，因此闭合回路，因此电荷由电荷由P1点移至点移至P2点时电场点时电场对它所作的功与路径无关，对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。只和两端点有关。把单位正电荷由把单位正电荷由P1点移至点移至P2点，电场点，电场E对它所作的对它所作的功功为为这功定义为这功定义
4、为P1点和点和P2点的点的电势差电势差。若电场对。若电场对电荷做了正功，则电势电荷做了正功，则电势 下降。由此下降。由此由这定义，由这定义，只有两点的电势差才有物理只有两点的电势差才有物理意义意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。但在实际计算中，为了方便，常常选取某义的。但在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确定了。参考点的选择是任意的，的电势就单值地确定了。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远在电荷分布于有限区域的情况下，常常
5、选无穷远点作为参考点。令点作为参考点。令()=0有有相距为相距为dl的两点的的两点的电势差电势差由于由于因此，因此，电场强度电场强度E等于电势等于电势 的负梯度的负梯度当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势知电势时，通过求梯度就可以求得电场强度。时，通过求梯度就可以求得电场强度。点电荷点电荷Q激发的电场强度激发的电场强度r为源点到场点的距离。为源点到场点的距离。把此式沿径向由场点到把此式沿径向由场点到无穷远点积分，电势为无穷远点积分，电势为下面来计算给定电荷分布所激发的电势一组点电荷一组点电荷Qi激发的电势激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为
6、若电荷连续分布，电荷密度为，设，设r为源点为源点x到场点到场点x的距离，的距离，则场点则场点x处的电势为处的电势为二、静电势的微分方程和边值关系二、静电势的微分方程和边值关系1.电势电势满满足的方程足的方程适用于均适用于均匀匀介质介质 泊松方程泊松方程 导导出出过过程程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 适用于适用于无自无自由电荷分布由电荷分布的的均匀均匀介质介质2 2静电势的边值关系静电势的边值关系(1)(1)两介质分界面两介质分界面0 P Q电荷沿法线方向移动电荷沿法线方向移动,切线分量不切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）场有限，且间距趋于
7、零）导体的特殊性导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容率，设它外面的介质电容率为为，导体表面的边界条件为，导体表面的边界条件为导体1自由电荷介质2（2 2）导体表面上的边值关系）导体表面上的边值关系三静电场的能量三静电场的能量1.一般方程：一般方程：能量密度能量密度 总总能量
8、能量 仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质2.若已知若已知 总总能量能量为为 导导出出过过程：程：讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量；（3）不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大，不仅在电荷分布区域内；（4）中的 是由电荷分布 激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布，在场内没有独立的运动，因而场的能量就由电荷分布所决定；（6）若全空间充满了介电常数为的均匀介质，可以得到电荷分布所激发的电场总能量式中r为 与 点的距离。此题也可用高斯定理（积分形式）求解。此题也可用高斯定理（
9、积分形式）求解。=电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。远处场时，导体球可视为点电荷。满足满足 例1：带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。例2 求带电量求带电量Q、半径为、半径为a的导体球的静电场总能量。的导体球的静电场总能量。解解整个导体为等势体整个导体为等势体,导体球导体球的电荷分布于球面上的电荷分布于球面上因此静电场总能量为因此静电场总能量为方法之一方法之一:按电荷分布按电荷分布方法之二:
10、按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分例3 求均匀电场 的电势。Solution:因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。如果，oxpy 例4 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。场点pRozz电荷源Solution:选取柱坐标：源点的坐标为（0,z），场点的坐标为（R,0），电荷 元 到P点的距离 无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。计算两无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。计算两点点P和和P0的电势差可以不出现无穷大。设的电势差可以不出现无穷大。设P P0 0点与导线的垂直距离点与导线的垂直距离为
11、为R0，则，则P点与点与P P0 0点的电势差为点的电势差为若选P0为参考点（即 ），则例题例题5:电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势P点电势点电势：（无穷远为零点）（无穷远为零点）构成的构成的系统，其偶极矩系统，其偶极矩 求近似值：求近似值：解：电偶极子：两个相距为解：电偶极子：两个相距为的同量异号的同量异号点电荷点电荷同理同理 2222cos2coscos211RllRlrrrrrrqqq-=-+-+Pzxy-Q-QQ Q若电偶极子放在均匀介质中若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，而，而用真空中的用真空中的。这由。这由 决定。决定。均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，为束缚电荷，平面为等势面（平面为等势面（Z=0Z=0的平面）。的平面）。