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1、1第四节第四节 镜象法求解静电场镜象法求解静电场2目的：目的：学习一种求解静电场的学习一种求解静电场的 特殊方法特殊方法-镜象法（简洁明了）镜象法（简洁明了）主要内容：一、相关内容回顾 二、镜象法的基本思想 三、镜象法应用举例 四、总结与讨论3唯一性定理给出静电场唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件可以唯一求解的条件唯一性定理：在可均匀分区的区域唯一性定理：在可均匀分区的区域V V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布，区域区域V V内内的电场由的电场由V V的边界的边界S S上的电势或者上的电势或者电势法向导数唯一地确定。电势法向导数唯一地确定。一、相关内容回顾一、相关内容回顾4 如果如果V
2、 V内含有导体区域内含有导体区域 ，将导体，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。间的制约关系决定的。5分离变量法：适用分离变量法：适用于所考虑的区域内于所考虑的区域内没有自由电荷分布没有自由电荷分布的情况，求解拉普的情况，求解拉普拉斯方程。拉斯方程。1)1)分离变量法（分离变量法（）2)2)镜象法（镜象法（？）？）3)3)格林函数法（格林函数法（？）？
3、）4)4)多极矩展开法（多极矩展开法（？）？）静电学的基本问题是求满足给定边界条件静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。的泊松方程的解。主要方法有四种。6一种重要的特殊情形是：区域内只有一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚电荷。介质表面产生束缚电荷。二、镜象法求解静电场的基本思想二、镜象法求解静电场的基本思想78三、镜象法应用举例三、镜象法应用举例例例1 1 接接
4、地地无无限限大大平平面面导导体体板板附附近近有有一一点电荷点电荷QQ，求空间中的电场。，求空间中的电场。9解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）区域：上半空间（下半空间电势为零）已知界面电势为零，满足唯一性定理已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。的要求，可以确定电势。10上半空间的电势的特征：上半空间的电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面点电荷点电荷QQ使导体表面产生异号的感应电荷使导体表面产生异号的感应电荷 QQ 。整个电场是由。整个电场是由QQ和和 QQ
5、共同产生的。共同产生的。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：11设想在导体板设想在导体板下方与电荷下方与电荷QQ对对称的位置上放称的位置上放一个假想电荷一个假想电荷QQ=QQ ，然，然后把导体板抽后把导体板抽去。去。这样，没这样，没有改变所考虑有改变所考虑空间的电荷分空间的电荷分布（即没有改布（即没有改变电势服从的变电势服从的泊松方程）。泊松方程）。假想电荷假想电荷QQ 与给定电荷与给定电荷QQ激发的总激发的总电场如图所电场如图所示。由对称示。由对称性看出，在性看出，在原导体板平原导体板平面上，电场面上，电场线处处与它线处处与它正交，因而正交，因而满足边界条满足边界条件。件。12导体板上部
6、空导体板上部空间的电场可以间的电场可以看作原电荷与看作原电荷与镜象电荷共同镜象电荷共同激发的电场。激发的电场。场点场点PP的电势的电势导体板上的导体板上的感应电荷确感应电荷确实可以用板实可以用板下方一个假下方一个假想电荷想电荷QQ 代代替。替。13选选QQ到导体板上的到导体板上的投影点投影点OO作为坐标作为坐标原点，设原点，设QQ到导体到导体板距离为板距离为a a，有，有可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。方程的简洁方法。14151617例例2 2 真真空空中中有有一一半半径径为为RR0 0的的接接地地导导体体
7、球球，距距球球心心为为a a（a aRR0 0）处处有有一一点点电电荷荷QQ，求求空间各点的电势（如图）。空间各点的电势（如图）。18解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：导体球面界面：导体球面区域：球面外区域区域：球面外区域已知界面电势为零，满足唯一性定理已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。的要求，可以确定电势。19点电荷点电荷QQ使导使导体表面产生体表面产生异号的感应异号的感应电荷电荷QQ 。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：整个电场是由整个电场是由QQ和和QQ共同产生的。共同产生的。20在球内区域（所考在球内区域（所考虑区域之外）引入象虑区域之外）引入象电荷，
8、取代球面上的电荷，取代球面上的感应电荷，不改变体感应电荷，不改变体系方程。系方程。球面外区域电势的特征：球面外区域电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面预计电场线如图所示预计电场线如图所示21不不 改改 变变 边边值值 关关 系系 和和边边 界界 条条 件件的的 要要 求求 为为由由对对称称性性，QQ应应在在OQOQ连线上。连线上。考虑球面上任一考虑球面上任一点点PP（如图）（如图）22因此对球面上任因此对球面上任一点，应有一点，应有 只要选只要选QQ 的位置使的位置使 OPQOPQ OQPOQP，则则23假想电荷假想电荷QQ 的大小为的大小为由两
9、三角形相似的条件可得由两三角形相似的条件可得假想电荷假想电荷QQ 的位置的位置24球外任一点球外任一点PP（如（如图）的电势为图）的电势为25根据高斯定理，根据高斯定理，收敛于球面的电收敛于球面的电通量为通量为 QQ。QQ 为球面的总感应为球面的总感应电荷，它是受电电荷，它是受电荷荷QQ的电场的吸的电场的吸引而从接地处传引而从接地处传至导体球上的。至导体球上的。物理结果讨论：物理结果讨论：然而然而|QQ|QQ，由电荷，由电荷QQ发出的电发出的电场线只有一部分收敛于球面上，场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。剩下的一部分发散至无穷远处。2627282930例例3 3 如如上上
10、例例，但但导导体体球球不不接接地地而而带带电电荷荷QQ0 0，求求球球外外电电势势，并并求求电电荷荷QQ所受的力。所受的力。31这里给出的条件为：这里给出的条件为：（1 1）球面为等势面（电势待定）；）球面为等势面（电势待定）；（2 2）从球面发出的总电通量为）从球面发出的总电通量为QQ0 0。在球内放置与上例相同的假想电荷在球内放置与上例相同的假想电荷QQ（电（电势为零），在球心处再放一个假想电荷势为零），在球心处再放一个假想电荷QQ0 0QQ（球面等势），就可同时满足上（球面等势），就可同时满足上面两个条件。面两个条件。解解3233球外任一点球外任一点PP的电势为的电势为 34因此电荷因此
11、电荷QQ所受的力等于所受的力等于QQ 和球心处和球心处的电荷的电荷QQ0 0QQ 对它的作用力对它的作用力FF，35过渡到点过渡到点电荷相互电荷相互作用模型作用模型吸引力，吸引力，趋于消失趋于消失RR0 0 0 0物理结果讨论：物理结果讨论：36a aRR0 0即使即使QQ和和QQ0 0同号，同号，只要只要QQ距球面足够距球面足够近，就受到导体的近，就受到导体的吸引力。吸引力。原因：虽然整个导原因：虽然整个导体的电荷与体的电荷与QQ同号，同号，但在靠近但在靠近QQ的球面的球面部分出现异号电荷。部分出现异号电荷。从而相互吸引起主从而相互吸引起主要作用。要作用。吸引力起主要作用吸引力起主要作用（数
12、值大于第一项）（数值大于第一项）421)1)根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；方程边值问题；2)2)在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；保持求解区域电荷分布不变；3)3)引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。边界条件。1 1、镜象法的基本要领、镜象法的基本要领四、总结与讨论四、总结与讨论431)1)两种方法都是根据边值关系和边界两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；条件进行求解；2)2)可解的条件都是唯一性定理所要求可解
13、的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。的分区均匀介质和边界条件。2 2、与分离变量法比较、与分离变量法比较共同点：共同点：44不同点：不同点：分离变量法分离变量法镜象法镜象法电荷分布电荷分布求解区域没有求解区域没有（或者经过变换（或者经过变换没有）自由电荷没有）自由电荷分布分布求解区域有一个求解区域有一个或者几个自由点或者几个自由点电荷电荷具体方法具体方法分离变量求解拉分离变量求解拉普拉斯方程普拉斯方程求解区域之外引求解区域之外引入象电荷取代感入象电荷取代感应电荷应电荷45从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件大致有一下几种类型：件大致有一下几种类型：1 1、两绝缘介质界、两绝缘介质界面上，边值关系为面上，边值关系为2 2、给出导体上的电势，导体、给出导体上的电势，导体面上的边界条件为面上的边界条件为3 3、边界条件总结、边界条件总结3 3、给出导体所带总电荷、给出导体所带总电荷QQ，在导体面上的边界条，在导体面上的边界条件为件为46应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用导体的另一边界条件，可以得出导体表应用导体的另一边界条件，可以得出导体表面的自由电荷密度。面的自由电荷密度。