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1、用用分分离离变变量量法法解解拉拉普普拉拉斯斯方方程程，只只适适用用于于所所考考虑虑的的区区域域没没有有自自由由电电荷荷的的情情况况。若若区区域域内内有有自自由由电电荷荷，则则必必须须解解泊泊松松方方程程。一一种种重重要要的的特特殊殊情情形形是是：区区域域内内只只有有一一个个或或者者几几个个点点电电荷荷，区区域的边界是导体或者介质的简单界面。域的边界是导体或者介质的简单界面。上上述述特特殊殊情情形形的的泊泊松松方方程程边边值值问问题题，可可以以采采用用一一种种比比较较简简洁洁的的特特殊殊方方法法来来求求解解。这这种种方方法法就就是镜象法。是镜象法。2.4 镜象法镜象法一、镜象法的基本思想一、镜象
2、法的基本思想设设点点电电荷荷Q附附近近有有一一导导体体，在在点点电电荷荷的的电电场场作作用用下下，导导体体表表面面上上出出现现感感应应电电荷荷。我我们们要要计计算算导导体体外外的的电电场场，这这电电场场是是Q和和感感应应电电荷荷共共同同激激发发的的。我我们们设设想想，导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷对对导导体体外外空空间间电电场场的的作作用用，能能否否用用导导体体内内部部某某个个或或某几个假想的点电荷来代替？某几个假想的点电荷来代替？如如果果存存在在这这种种可可能能性性的的话话，作作这这种种代代换换并并没没有有改改变变求求解解区区域域的的电电荷荷分分布布，因因而而并并不不影影响响泊泊松
3、松方程。方程。如如果果这这种种代代换换所所得得到到的的电电场场同同时时又又满满足足边边界界条条件件，则则用用假假想想的的点点电电荷荷代代替替感感应应电电荷荷所所得得到到的的解解，就就是该问题的唯一正确的解。是该问题的唯一正确的解。在在我我们们所所研研究究的的区区域域之之外外，用用一一些些假假想想的的电电荷荷代代替替场场问问题题的的边边界界，假假如如这这些些电电荷荷和和场场区区域域原原有有的的电电荷荷一一起起产产生生的的电电场场满满足足原原问问题题的的边边界界条条件件，那那么么，它它们们的的电电势势叠叠加加起起来来便便得得到到我我们们所所要要求求的的电电势解。势解。所以，镜象法的基本思想就是：所
4、以，镜象法的基本思想就是：二、镜象法应用举例二、镜象法应用举例接接地地无无限限大大平平面面导导体体板板附附近近有有一一点点电电荷荷Q，距距离为离为a。求空间中的电场。求空间中的电场。电荷分布：一个点电荷。电荷分布：一个点电荷。边界面：接地无穷大导体。边界面：接地无穷大导体。求解区域：上半空间（下半空间电势为零）求解区域：上半空间（下半空间电势为零）分析：分析：例例1已知电荷分布和界面电势已知电荷分布和界面电势(等于零等于零)，满足唯一，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。性定理的要求，可以确定电势。Qa电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：点电荷点电荷Q使导体表面产生使导体表面产生异号的感应
5、电荷。整个电异号的感应电荷。整个电场是由场是由Q和和感应电荷感应电荷共同共同产生的。产生的。由由于于导导体体表表面面是是等等势势面面，所所以以电电场场线线垂垂直直于于导导体体表表面面，而而且且电电场场具具有有轴轴对对称称性性。设设用用来来代代替替感感应应电电荷荷的的假假想想电电荷荷为为Q。问问题题是是：Q应应该该放放在在什什么么位置？电量是多少？位置？电量是多少？根根据据电电场场的的轴轴对对称称性性，Q必必在在对对称称轴轴上上，即即在在Q到到板板面面的的垂垂线线上上。设设Q到到板板面面的的距距离离为为b，以以对称轴为对称轴为Z轴建立直角坐标系，轴建立直角坐标系，X轴和轴和Y轴在导体表面上。导体
6、板上方的电势为：轴在导体表面上。导体板上方的电势为：该式在导体表面应满足边界条件：该式在导体表面应满足边界条件：解：解：所以，所以，注意到上式对任意注意到上式对任意x、y都成立，所以都成立，所以导体板上方的电势为：导体板上方的电势为：Q假假想想电电荷荷Q=-Q与与给给定定电电荷荷Q激激发发的的总总电电场场如如图图所所示示。由由对对称称性性看看出出，在在原原导导体体板板平平面面上上，电电场场线线处处处处与与它它正正交交，因因而而满满足足边边界界条件。条件。假想电荷假想电荷Q=-Q与给定电荷与给定电荷Q关关于于导导体体表表面面对对称称，好好象象镜镜面面成成像像一一样样，这这就就是是镜镜象象法的由来
7、，并称假想电荷法的由来，并称假想电荷Q为为Q的的镜象电荷。镜象电荷。注注意意：镜镜象象电电荷荷的的位位置置和和电电量量跟跟介介质质及及边边界界面面的的形形状状有有关关。对对于于其其它它形形状状的的边边界界面面，镜镜象象电电荷荷并并不不等等于于-Q或与或与Q关于界面对称关于界面对称。真空中有一半径为真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为的接地导体球，距球心为a（aR0）处有一点电荷）处有一点电荷Q，求空间各点的电势，求空间各点的电势（如图）。（如图）。例例2Q解：解：电荷分布：一个点电荷。电荷分布：一个点电荷。边界面：导体球面。边界面：导体球面。求解区域：球面外区域。求解区域：球面外区域。已
8、知电荷分布和界面电势已知电荷分布和界面电势(等于零等于零)，满足唯一，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。性定理的要求，可以确定电势。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：点电荷点电荷Q使导体表面产生使导体表面产生异号的感应电荷。整个电异号的感应电荷。整个电场是由场是由Q和和感应电荷感应电荷共同共同产生的。产生的。由由于于导导体体表表面面是是等等势势面面，所所以以电电场场线线垂垂直直于于导导体体表表面面，而而且且电电场场具具有有轴轴对对称称性性。设设用用来来代代替替感感应应电电荷荷的的假假想想电电荷荷为为Q。问问题题是是：Q应应该该放放在在什什么么位置？电量是多少？位置？电量是多少？+Q根根
9、据据电电场场的的轴轴对对称称性性，Q必必在在对对称称轴轴上上，即即在在Q到到球球心心的的连连线线上上。设设Q到到球球心心的的距距离离为为b，以以球球心心为为坐坐标标原原点点，对对称称轴轴为为Z轴轴建建立立球球坐坐标标系系，球外空间的球外空间的电势为：电势为：该式在导体表面应满足该式在导体表面应满足边界条件：边界条件：解：解：考虑球面上任一点考虑球面上任一点P（如图）（如图）即对球面上任一点，应有即对球面上任一点，应有只要选只要选Q的位置，使的位置，使OPQOQP即可，此时即可，此时球外任一点球外任一点P的电势为：的电势为：物理结果讨论：物理结果讨论：根根据据高高斯斯定定理理，收收敛敛于于球球面
10、面的的电电通通量量为为Q。Q为为球球面面的的总总感感应应电电荷荷，它它是是受受电电荷荷Q的的电电场场的的吸吸引引而而从从接接地地处处传传至至导导体体球上的。球上的。然然而而|Q|Q，由由电电荷荷Q发发出出的的电电场场线线只只有有一一部部分分收收敛敛于于球球面面上上，剩剩下下的的一一部部分分发发散散至至无无穷穷远远处。处。注意：注意：1.镜象法不仅可以计算导体边界的情况，也可以计镜象法不仅可以计算导体边界的情况，也可以计算绝缘介质分界面的情况。算绝缘介质分界面的情况。2.镜象电荷的位置由边界面的形状决定，所以各种镜象电荷的位置由边界面的形状决定，所以各种边边界界情情况况下下的的镜镜象象电电荷荷位
11、位置置应应该该记记住住，以以后后不不必必重新推导。重新推导。3.镜象电荷的电量由边界面的形状、介质的性质及镜象电荷的电量由边界面的形状、介质的性质及给给定定电电荷荷的的电电量量有有关关，要要根根据据边边界界条条件件及及边边值值关关系确定。系确定。4.给定电荷与镜象电荷互为镜象。给定电荷与镜象电荷互为镜象。5.一个电荷的镜象电荷可能不止一个。一个电荷的镜象电荷可能不止一个。Q QQ Q-Q-Q-Q-QQ Q设电容率分别为设电容率分别为1和和2 2的两的两种均匀介质，以无限大平面种均匀介质，以无限大平面为界。在介质为界。在介质1 1中有一点电荷中有一点电荷Q Q，求空间电势分布。，求空间电势分布。Q Q介质介质1介质介质2h-hQ Qz z(1)(2)边界条件为：边界条件为：(3)(4)由由(3)可得：可得：(5)由由(4)可得：可得：(6)联立联立(5)、(6)解得：解得：所以所以