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1、关于抛物线的简单几何性质一第1页，此课件共23页哦定义：在平面内定义：在平面内,与一个定点与一个定点F和和一条定直线一条定直线l(l不不经过点经过点F)的的距距离相等离相等的点的的点的轨迹叫轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2py)2p0(，2py 一、温故知新一、温故知新第2页，此课件共23页哦范围范围1、yox)0,2(pF由抛物线由抛物线y2=2px（p0）220pxy有
2、有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。第3页，此课件共23页哦对称性对称性2、yox)0,2(pF(,)x yQ关于关于x轴轴对称对称(,)xy即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即
3、满足即满足y2=2px，第4页，此课件共23页哦顶点顶点3、yox)0,2(pF 定义：定义：抛物线与抛物线与它的对称轴的交点叫它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。做抛物线的顶点。在在y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.只有一个只有一个注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。第5页，此课件共23页哦离心率离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的离心率
4、。的离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。几何性质。第6页，此课件共23页哦 归纳：抛物线归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴
5、1第7页，此课件共23页哦特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延虽然它可以无限延伸伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔第8页，此课件共23页哦y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的
6、直线被抛过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段物线截得的线段AB叫做抛物线的叫做抛物线的通通径径，),2(),2(ppBppA、长度为长度为2pP越大，开口越阔越大，开口越阔补充补充（1）通径：）通径：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出反可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。映抛物线基本特征的草图。第9页，此课件共23页哦补充补充（1）通径：）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做
7、连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）第10页，此课件共23页哦总结总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大越大，抛物线的张
8、口越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：第11页，此课件共23页哦因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2(2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标
9、准方程（，），求它的标准方程.2 2三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论可避免讨论第12页，此课件共23页哦变式变式：求顶点在坐标原点，对称轴求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点为坐标轴，并且经过点M M（，（，）的的抛物线抛物线的标准方程的标准方程。2 224yx22xy 或或第13页，此课件共23页哦yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.练习练习：顶点在坐标原点，焦点在顶点在坐标原点，焦点在y y轴上轴上，并且经过点，并且经过点M M（4,4,
10、)的的抛物线抛物线的标准方的标准方程为程为()()A第14页，此课件共23页哦练习练习2 2：顶点在坐标原点，对称轴是顶点在坐标原点，对称轴是X X轴，点轴，点M M（-5,)-5,)到焦点距离为到焦点距离为6,6,则则抛物线抛物线的标准方程为的标准方程为()()5222222.4.2.2.436A yxB yxC yxD yxyx=-=-=-=-n或或D第15页，此课件共23页哦法法一一:直直接接求求两两点点坐坐标标,计计算算弦弦长长(运运算算量量一一般般较较大大);法二法二:设而不求设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般);法法三三:设设而而不不求求,数
11、数形形结结合合,活活用用定定义义,运运用用韦韦达达定定理理,计计算算弦弦长长.例例2、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线段两点，求线段AB的长。的长。l24yxAABBFOxy第16页，此课件共23页哦xyOFABBA224,(1)4,yxxx 代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=
12、4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1设设 则则1122(,)(,)A x yB xy、第17页，此课件共23页哦xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x2,1,2pp.1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知,第18页，
13、此课件共23页哦 变式：变式：过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切第19页，此课件共23页哦证明：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的圆为直径的圆E的半径，且的半径，且EHl，因而圆，因而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引垂线引垂线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH第20页，此课件共23页哦1616 练习练习:1.已知抛
14、物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径上，那么抛物线通径长是长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=,求直线求直线AB的方程的方程y2=8x0454 3X=3第21页，此课件共23页哦四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大越大，抛物线的张口越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：第22页，此课件共23页哦感谢大家观看感谢大家观看第23页，此课件共23页哦