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1、2.4抛物线的几何性质抛物线的几何性质第一课时一、复习回顾：一、复习回顾：.FM.2.抛物线标准方程抛物线标准方程1.抛物线的定义：抛物线的定义：平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过不经过点点F)的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线xyoF.xyFo.yxoF.xoyF3.抛物线的标准方程抛物线的标准方程(四种类型四种类型)：结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形
2、,探索其的几何性质探索其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的轴对称轴又叫抛物线的轴抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：二、讲授新课：.yxoF(4)离心率离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e e表表示，由抛物线的定义可知，示，由抛物线的定义可知，e=1e=1 只有一个顶点只有一个顶点方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2
3、py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔 图图（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：（标准方
4、程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。基本点：顶点，焦点基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本线：准线，对称轴基本量：基本量：P（决定抛决定抛物线开口大小）物线开口大小）XY抛物线的基本元素 y2=2px 填空练习填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线的几何性质有什么特点？（1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；延伸
5、，但没有渐近线；（2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴，对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、个焦点、个焦点、条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111（5 5）一次项系数的绝对值越大，开口越）一次项系数的绝对值越大，开口越大大变式变式:顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.典型例题：典型例题：例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标顶点在坐标原点原点,并且
6、过点并且过点M(2,),求它的标准方程求它的标准方程.xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦由已知得抛物线的焦点为点为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程的方程为为y=x-1xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法二解法二:由题意可知由题意可知,分析：运用分析：运用抛物线的定抛物线的定义和
7、平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷比较简捷 变式：变式：过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切证明：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引垂引垂线线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH1.1.已知已知M M为抛物线为抛物线 上一动
8、点，上一动点，F F为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，定点定点P(3,1)P(3,1),则则 的最小值为（的最小值为（）(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 B B.M.N.M.P思考题思考题24l2.图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水时，拱顶离水面面2米，水面宽米，水面宽4米米.水下降水下降1米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？xoA Ay若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？2BA（2,2）x2=2yB（1，y）y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得 3.已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a0时时,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a