拉普拉斯变换教案 .pdf

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1、课题（项目）Laplace 变换的概念课时2 课地点阶东 1-2 授课时间2012年 4 月 9 日，第 9 周，周一第 1-2 节教学目标方法手段教学目标：1、理解 Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质，掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合教学手段：讲授 板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace 逆变换。教学难点：()F s分解成分式之和，用位移性质求 Laplace 逆变换，求Lap

2、lace逆变换。教学过程与内容拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用一、引入在代数中，直接计算328.957812028.6N53)164.1(是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg53)20lg28.9lg5781(lg3128.6lglg N，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。二、

3、新课讲授9.1.1 拉氏变换的基本概念定义设函数)(tf当0t时有定义，若广义积分dtetfpt0)(在P的某一区域 内 收 敛，则 此 积 分 就 确 定 了 一 个 参 量 为P的 函 数，记 作)(PF，即dtetfPFpt0)()(（9-1）称（7-1）式为函数)(tf的拉氏变换式，用记号)()(PFtfL表示函数)(PF称为)(tf的拉氏变换(Laplace)(或称为)(tf的象函数)函数)(tf称为)(PF的拉氏逆变名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 36 页 -换（或称为)(PF象原函数），记作)()(1tfPFL，即)()(1PFLtf。关于拉氏变换的

4、定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求)(tf在0t时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t时，0)(tf。（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例 9-1 求一次函数attf)(（at，0为常数）的拉氏变换。解0000)(dtepaepatetdpadtateatLptptptpt20200paepadtepaptpt)0(p。例 9-

5、2求指数函数atetf)(（a为常数）的拉氏变换解dtedteeeLtapptatat0)(0)(1apap，即)(1apapeLat)0(sin22pptL；)0(cos22ppptL。类似可得：)0(cos22ppptL9.1.2常用函数的拉氏变换表问题：计算函数teLtft4sin)(2的拉氏变换。知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。通过 PPT展示常用函数的拉氏变换表。三、应用举例例 9.4 求（1）tetf43)(，（2）4)(ttf的拉氏变换。例 9.5 求tteeL32。例 9.6 求teLtft

6、4sin)(2的拉氏变换。9.1.3 自动控制系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数（单位阶跃函数）1)单位阶梯函数的定义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 36 页 -函数,0,10,0)(tttu称为单位阶梯函数（单位阶跃函数）。把)(tu分别平移ba和个单位，则有atatatu,1,0)(，btbtbtu,1,0)(，当ba时，将这两式相减得.,0,1)()(btatbtabtuatu或2）单位阶梯函数的性质单位阶梯函数具有：)0,0)()(baabtubatu3）单位阶梯函数的拉氏变换：例 9.7 单位阶梯函数0,10,0)(tttu的拉氏变换。解pepdted

7、tetutuLptptpt111)()(000，)0(p2、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(ti，以)(tQ表示上述电路中的电量，则.0,1,0,0)(tttQ由于电流强度是电量对时间的变化率，即ttQttQdttdQtit)()(lim)()(0，所以，当0t时，0)(ti；当0t时，)1(lim)0()0(lim)0(00ttQtQitt。上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度为此，引进一个新的

8、函数，这个函数称为狄拉克函数。1）定义设tttt，00100)(，当0 时，)(t的极限)(lim)(0tt称为 狄拉克（Dirac）函数，简称为函数当0t时，)(t的 值 为0；当0t时，)(t的 值 为 无 穷 大，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 36 页 -0,0,0)(ttt)(t和)(t的图形如图9-1 和图 9-2 所示（图略）。显然，对任何0，有11)(0dtdtt，所以1)(dtt工程技术中，常将函数称为 单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图 7-2 所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度 2）狄

9、拉克函数拉氏变换例 9-2 求)(t的拉氏变换解根据拉氏变换的定义，有dtedtedtedtettLptptptpt0000001lim0lim)1lim()()(11lim1)()1(lim11lim11lim00000pppptpepepeppe，即1)(tL。三、课堂小结并布置作业作业P.134 3、（1）（2）（5）教学小结理解拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 36 页 -课题（项目）Laplace 变换的性质课时2 课地点阶东 1-2 授课时间2012 年 4 月 11 日，第 9 周，周三，第 5-6 节教学目标方

10、法手段教学目标：掌握Laplace 变换的性质，重点掌握Laplace 变换的线性性质，微分性质，位移性质。利用Laplace 变换的性质求逆变换。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：重点掌握Laplace 变换的线性性质，微分性质，位移性质。教学难点：微分性质，位移性质，求逆变换。教学过程与内容1.Laplace 变换的线性性质，相似性质，微分性质，位移性质，积分性质。2.利用常用函数Laplace 变换及性质求逆变换。3.利用微分性质推导,cos,sinmL tLktLkt4.例 1：解微分方程：2()()0,(0)0,(0)y ty tyy例 2：求()sinf t

11、tt的Laplace 变换例 3：求22()cosf ttt的Laplace 变换例 4：求sin()tf tt的Laplace 变换例 5：求23(),cos2ttf tteet的Laplace 变换例 6：求41()(2)F ss的Laplace 逆变换作业P.136 1.（1）（3），2.（1）（2）教学小结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 36 页 -课题（项目）Laplace 逆变换课时2 课地点阶东 1-2 授课时间2012 年 4 月 16 日，第 10 周，周一第 1-2 节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace 逆变换的求法。教学方法：课堂讲

12、授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace 逆变换。教学难点：()F s分解成分式之和，用位移性质求 Laplace 逆变换，求Laplace逆变换。教学过程与内容1.Laplace 逆变换的定义。2.查表求Laplace 逆变换。3.利用部分分式求 Laplace 逆变换。4.例 1：求22(),16413ssF ssssLaplace 逆变换例 2：求2()2sF sss的Laplace 逆变换例 3：求21()(1)F ss s的Laplace 逆变换5.练习求211(),(1)(22)F ss ss ss的Laplace 逆变换6.用卷积求Laplace

13、逆变换作业P.138（3）（4）教学小结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 36 页 -课题（项目）Laplace 变换的应用课时2 课地点阶东 1-2 授课时间2012 年 4 月 18 日，第 10 周，周三第 56 节教学目标方法手段教学目标：掌握用Laplace 变换解微分方程，了解线性系统中的传递函数。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：用 Laplace 变换解微分方程。教学难点：用 Laplace 变换解微分方程。教学过程与内容掌握利用微分性质把微分方程通过Laplace 变换，转化为()Y s的线性方程。1.求出()Y s。2.1

14、()()y tLY s。例 1.求解微分方程：()2()2()2cos,(0)(0)0tx tx tx tet xx例 2：求解微分方程组：()()(),(0)(0)1()3()2()2tx tx ty te xyty tx ty te3.线性系统的传递函数作业P.141 1.（1）（2）教学小结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 36 页 -课题（项目）10.1 行列式的概念课时2 授课地点东阶 12 授课时间2012 年 4 月 23 日，第 11 周，第 56 节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式

15、的方法。会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。3、理解 n 阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb

16、(1)利用消元法，当112212210a aa a时，得到上述方程组的解为12212211212 1121122122111221221,baa ba ba bxxa aa aa aa a。(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。（二）新课讲授定义 1 我们称 4 个数组成的符号1112112221222122aaa aa aaa为二阶行列式。其中的数(,1,2)ijai j称为该行列式的第i行、第j列元素。(横排称为行列式的行,竖排列称为行列式的列)。为了便于记忆，

17、我们用下述对角线法则来记二阶行列式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 36 页 -说明几个问题：1）它含有两行，两列。横的叫行，纵的叫列。行列式中的数叫做行列式的元素。2）从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。练习：11-8-3-1-423）（根据定义，容易得知上述方程组解(2)中的两个分子可分别写成222121212221ababbaab，221111211211babaabba，如果记：22211211aaa

18、aD，2221211ababD，2211112babaD则当D 0时，方程组(1)的解(2)可以表示成2221121122212111aaaaababDDx，2221121122111122aaaababaDDx，(3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆。定义 7.2 由 9 个数组成的记号333231232221131211aaaaaaaaa称为 三阶行列式，其中）（3,2,1,jiaij称为三阶行列式的元素。它表示的代数和为：111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132131112332122133a a aa a aa a

19、aa a aa a aa a a用对角线法则表示为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 36 页 -这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。三阶行列式的特点：1、共有 6 项，三项正，三项负；2、每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3 依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123,231,312以及 321,213,132,恰好是 1、2、3 这三个数的所有可能的排列，即有3！6 种排法。设有三元一次线性方程组11 1122133121 1

20、222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1）记111213212223313233aaaDaaaaaa，1121312222333233baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aabDaabaab，则当0D时，可以证明方程（1）的唯一解为：312123,DDDxxxDDD。练习 2：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组123123123233046132xxxxxxxxx解系数行列式233146311D，按照对角线法则得，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

21、第 10 页，共 36 页 -同理可得10331466211D，220311619321D，323014115312D.于是方程组的解为312123,DDDxxxDDD，即12331915,488xxx。2、余子式、代数余子式（1）余子式定义 10.1 在三阶行列式中，删去元素）（3,2,1,jiaij所在的第i行，第j列后，余下的二阶行列式称为元素）（3,2,1,jiaij的余子式，记为）（3,2,1,jiaMij。例如在三阶行列式中中元素23a的余子式是323112113,2aaaaM。（2）代数余子式定义 10.2 )3,2,1,(jiaij的余子式乘以ji）（1-所得的积称为ija的代

22、数余子式，记为).3,2,1,()1(,jiMAAijjiijij即如23a的 代 数 余 子 式23211311322332)1(aaaaMA，21a的 代 数 余 子 式 是33311311211221)1(aaaaMA。特别地：二阶行列式的各余子式都是一阶行列式，即只有一个元素。例10.3 证明三阶行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和。证明：设333231232221131211aaaaaaaaaD为任意的三阶行列式，则三阶行列式的定义得：)()()(313213322113312312332112322311332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD=323122211

23、333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa=131312121111AaAaAanjijijiAaD1)3,2,1(指出：类似的，同样可以定义其它元素的余子式与代数余子式，上式我们称为行列式111213212223313233aaaaaaaaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 36 页 -按照第一行展开。事实上，可以证明，行列式可以按照任一行或列展开。（后面内容再介绍。）3、n 阶行列式定义 10.3 将nn个数（也称为元素）(,1,2,)ai jnij排成n行n列，并在左右两侧各加一条竖线得到的记号ijjinjijijnjijnnn

24、nnnnMaAaaaaaaaaaaD)1(11212222111211（10.9）称为n阶行列式（简称行列式）,它表示nn个元素按一定的规则构成的乘积和。例 10.4 计算四阶行列式.5-3-480162-501-74-002解：由行列式定义（10.9）式得3-48162-01-71-4-5-3-4016501-1-24111）（）（）（D3-812-1-1-3-4161-743-4161-55-3-011-1-21113111）（）（）（）（）（=-843 4、几种特殊的行列式（1）对角行列式在 n 阶行列式中，若有0,(,1,2,)ijaij i jn，则称为对角行列式，即11220000

25、00nnaaa该行列式的 主要特征是：主对角线以外的元素全为零（2）三角行列式1）上三角行列式在 n 阶行列式中，若有0(,1,2,)ijaij i jn，则称为 上三角行列式，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 36 页 -11121222000nnnnaaaaaa该行列式的主要特征是：主对角线下方的元素全为零2）下三角行列式在 n 阶行列式中，若有0(,1,2,)ijaij i jn，则称为下三角行列式，即11212212000nnnnaaaaaa该行列式的主要特征是：主对角线上方的元素全为零例 10.5 证明下三角行列式11212212000nnnnaaaa

26、aa.2211nnaaa证：由行列式定义10.9有11212212000nnnnaaaaaa.221121444333221121333222110000000nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。同理，可证：上三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。即：三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 36 页 -（三）小结并布置作业。作业习题 10.1 1.（4）（5）2.（1）3.（1）.教学小结1、本节课涉及到的概念比较多，课后要多多看书，加以理解。2、关于

27、行列式的计算：一般地，利用对角线法计算行列式的值一般仅限于二阶或三阶，其他高阶的通常利用行列式定义10.9，反复利用“行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和”，将高阶的行列式逐渐降阶，直至二阶后再计算。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 36 页 -课题（项目）10.2 行列式的性质和克拉默法则课时2 授课地点阶东 1-2 授课时间2012 年 4 月 28 日，第 12 周，周一，第1-2 节教学目标方法手段教学目标：1、理解转置行列式的定义，掌握行列式的性质，能较为熟练地运用这些性质化简并计算行列式的值，并掌握计算行列式值常用的两种方法：降阶法和化三角行列

28、式法。2、理解行列式按行（列）展开定理，掌握行列式降阶思想，会利用行列式按行（列）展开定理将任意一高阶行列式降阶。3、掌握 Cramer 法则，会用Cramer 法则求解线性方程组的解，会判断齐次线性方程组有无零解。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示相结合。重点难点教学重点：行列式的性质行列式按行（列）展开定理及其应用 Cramer法则的应用教学难点：行列式按行（列）展开定理行列式的计算教学过程与内容（一）复习回顾1、前次作业讲评。2、计算行列式1000400032002300140055000。（二）新课讲授由刚才的计算，大家都已经感觉到当行列式的阶数较高时

29、，仅靠利用行列式的定义往往会相当困难，为了简化计算，下面学习行列式的性质和公式化求解含有n 个未知量 n 个方程的线性方程组的公式化解法。1、行列式的性质定义 7.5将行列式D的行与对应的列互换后（第i行（列）对应地换为第i列（行）,(1,2,.,)in）得到的新行列式，称为原行列式D的转置行列式，记作TD。即：若111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa,则112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa。性质 1行列式与它的转置行列式的值相等，即TDD。这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的因而，凡是对行成立的性质，对列也成立；反之亦然。性质 2 互换行列式的

30、任意两行（列），行列式的值改变符号。引入记号：)(jijiccrr表示交换行列式的ji,两行（列）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 36 页 -例如：11121,111121,11,11,21,1,1,2,1,2,1,11,212,.jnjniiijiniii ji niii ji niinnn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,12,.ijinnnn jnnaaaaaa推论 1 如果行列式有两行（列）的对应元素相同，则该行列式的值为零。例如，100123123D，对换第二、三行有100100123123123123DD0D。性质

31、 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘上同一数k，等于用数k乘此行列式。引入记号：行列式的第i 行（列）乘以数k，记作kri（或kci）。推论 1 行列式的任意一行（列）的各元素的公因子，可以提到行列式符号的外面。即111211112112121212.nnjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa引入记号：行列i 行（列）式的第 i 行（列）提出公因子 k 可记作kri（或kci）。推论 2 如果行列式的某一行（列）的元素都是零，则该行列式的值为零。性质 4如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。性质 5如果行列式某两行（列）的元素为

32、两个元素的和，则该行列式可以拆分成两个行列式之和。即若1112121222112212nniiiiininnnnnaaaaaaDaaaaaaaaa1112121222112121nniiinnnnaaaaaaDaaaaaa1112121222212121nniiinnnnaaaaaaDaaaaaa，则12DDD性质 6行列式某一行（列）的各元素的k倍（k为常数），加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。引入记号：以数k 乘第 j 行（列）加到第i 行（列）上去，记作)(jijikcckrr。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 36 页 -注意：jikrr不能写

33、作ijrkr，它们含义不同；2、（性质 7）行列式按行（列）展开重要定理：设n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211,则（1）D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之积。即ininiiiiAaAaAaD2211),3,2,1(ni或njnjjjjjAaAaAaD2211),3,2,1(nj；（2）D中任一行（列）的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即02211inknikikAaAaAa),1,(nkiki或02211njnkjkjkAaAaAa),1,(nkiki。此定理说明，行列式可以按任意一行（列）展开。指出：在计算行列式值时利

34、用这些性质可以简化行列式的计算。3、行列式的计算（1）行列式的计算方法1）降阶法：用性质将某行（列）的元素尽可能多地化为零；按此行（列）展开行列式，即降一阶；反复、步，直至所有行列式降至三、或二阶，最后算出值。例 1 计算四阶行列式55051072-8-19073-604D解：按第二列展开5551973-641-2-23）（）（D-0056-277-24按第三行展开201412-106-27-21-5213）（）（例 2 计算行列式0000abaaabbaaabaD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 36 页 -分析：该行列式的特点：每行（列）的元素之和都为ba2；

35、因此将各元素都加到第 1 列上，再提取公因子）（ba2，再利用性质尽量将第一列中的元素化为零，按第一列展开。解：)4()()(2()(2(00)2(0000010101011)2(020202222222abbababbaaabababbaabaabbabbaabaabaabbabbaaabaabaabaababaabbaaabababaababaD2）化三角形行列式法用性质将行列式化为上（下）三角形行列式；行列式的值即为主对角线上所有元素之积。例3 计算行列式3-35-14-1024-315-21-13D解：72-1601-1206-48-021-313-315-1-1204-35-121-

36、31-3-35-14-1024-315-21-13D40258212500010-8001-12021-3115100010-8001-12021-3172-1606-48-01-12-021-31练习：计算行列式3-35-11-1024-345-21-13D（40D）下面用行列式来解线性方程组4、克拉默法则1)克拉默法则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 36 页 -定理 10.2（克拉默法则）设含有n个方程的线性方程组为nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（10.10），如果系数行列式021222

37、2111211nnnnnnaaaaaaaaaD，则方程组有唯一解DDxDDxDDxnn,2211其中),2,1(njDj是把D中是第j列元素用方程组的常数项nbbb,21代替后所得到的n阶行列式。例 4 解线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：因为系数行列式0276741212060311512D所以，由克拉默法则得方程组有唯一解，又8167462125603915181D,10867612150609115822D2766412520693118123D,2767415120903185124D所以得方程组的唯一解为,311DDx,4

38、22DDx,133DDx.144DDx2)齐次线性方程组的定义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 36 页 -若线性方程组（10.10）的常数项均为零，即000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（10.11）则称为 齐次线性方程组。显然线性方程组（10.11）的行列式),2,1(0njDj，于是当方程组（10.11）的系数行列式0D时，由克拉默法则得它有唯一解：),2,1(0njxj特别地：由全部零解组成的解称为零解。由此得到下面推论推论如果齐次线性方程组（10.11）的系数行列式0D，则该方程组只有零解（即没

39、有 非零解）。也就是说：若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式0D。系数行列式0D齐次线性方程组（10.11）有非零解。例 5 判断齐次线性方程020230232132131xxxxxxxx，是否有非零解。解：因为系数行列式04-2-2-1222-02-1231021-21123102D，所以方程组没有非零解，只有零解，即021nxxx。练习：当为何值时，方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？（三）课堂小结并布置作业名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 36 页 -作业P159 习题 10.2 1、(1)(4)3、（1）5、（1）教学小结本节

40、课的内容较多，与实例结合学生更易理解，课后还应加强练习，已达熟练和巩固之目的。课题（项目）矩阵的概念及其运算课时2 授课地点东阶 12 授课时间2012年 5 月 7 日，第 12 周，第 56 节教学目标方法手段教学目标：1、了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。2、理解矩阵的概念及其相关的行、列、元素、等知识，理解特殊矩阵如方阵、行（列）矩阵、零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、相等矩阵及负矩阵的概念。3、掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，理解矩阵数乘时，满足的交换律和结合律，明确矩阵乘法运算时，满足的条件，理解矩阵乘法不满足交换律。4、理解矩阵的转置、方阵的行列式的定义

41、，会求矩阵的转置、方阵的行列式。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点难点重点：矩阵的概念及其相关定义的理解与运用矩阵运算法则难点：矩阵乘法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 36 页 -教学过程与内容一、引入 1表矩阵：1、表矩阵例 1 某地区计划建筑甲、乙、丙三种不同标准的房屋，预计每1000 平方米需用水泥、钢筋、木材的数量如表所示：房屋标准水泥钢筋木材甲19 2 19 乙18 2 14 丙12 0.3 27 我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把材料表简写成一个“矩形数表”的形式：即。同样的，对于一个几何图形2图矩阵

42、2、图矩阵说明：一个几何图形或表格都可以用一个nm个数排成的列行nm，并用方括弧（圆括弧）构成的一个数值表来表示，这样原来的图形或表格就可以用数来研究了。二、矩阵的概念1、矩阵的定义定义10.5 设有mn个数(1,2,;1,2,)ijaim jn排成m行n列，并用方括弧（圆括弧）表示的矩形阵表273.0121421819219B A C D ABCDA B C D0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 111212122211nnm nmmmnaaaaaaAaaa元素行标列标名师资料总结-精品资料欢迎下载-

43、名师精心整理-第 22 页，共 36 页 -就称为一个mn矩阵，其中ija称为第i行第j列元素，横的各排称为矩阵的行，纵的各排称为矩阵的列。矩阵通常用大写字母A,B,C 表示，也可用其元素)(),ijijba（表示。为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为：ijm nAa或m nijAa几点说明 若()ijm nAa，()ijs tBb，且,ms nt，则称 两矩阵 同型；即两矩阵的行数和列数相同，但各对应元素均不相等的两个矩阵叫做同型矩阵。若()ijm nAa，()ijm nBb，且ijijab，则称两矩阵 相等。即两矩阵的行数和列数相同，且各对应元素都相等的两个矩阵叫做相等矩阵，记作BA。如

44、：121121与012322同型；113202与113202相等，即有113202113202练习 1：设矩阵,1025011bbaA,1025501bbaB且BA，求：ba,解：因为BA，即有1025011bba,1025501bba由定义得：5,1baba，解得2,3 ba。练习 2 P.168 习题 10.3 12、几种特殊的矩阵设有矩阵.)(nmijaA（1）方阵当.nm即矩阵的行数等于列数时，称此矩阵为 方阵。方阵的行数（列数）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 36 页 -称为矩阵的阶数。111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa其中元

45、素1122,nnaaa称为n阶方阵的 主对角元素，经过元素1122,nnaaa的直线称为n阶方阵的 主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。（2）零矩阵mn个元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作：0m n或0注意：不同的零矩阵未必相等的！如000000与000000000不相等。（3）行矩阵 只有一行的矩阵，称为行矩阵，记作：121()nnAaaa（4）列矩阵 只有一列的矩阵，称为列矩阵，记作：121mmbbBb（5）单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1，其余元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵，即：1(1,2,)iiain，且：0(;,1,2,),ijaij i jn记作：nE，简记：

46、E。（6）对角矩阵主对角线下方（上方）的各元素均为零的方阵，称为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵同称为三角矩阵。即nnnnnaaaaaaaaaa000000333223221131211或主对角线次对角线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 36 页 -nnnnnaaaaaaaaaa321333231222111000000（7）负矩阵在矩阵nmijaA)(中各元素的前面都添加一个负号所得到的矩阵称为A的负矩阵，记作：nmijaA)(。练习：（1）观察下列几个城市之间的航线距离（单位：英里），并 用矩阵形式表示。城市伦敦墨 西 哥城纽约巴黎北京东京伦敦0 5

47、558 3 469 214 5 074 5 959 墨西哥城5 558 0 2 090 5 725 7 753 7 035 纽约3 469 2 090 0 3 636 6 844 6 757 巴黎214 5 725 3 636 0 5 120 6 053 北京5 074 7 753 6 844 5 120 0 1 307 东京5 959 7 035 6 757 6 053 1 307 0（2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有 28 英寸、30 英寸、32 英寸、34 英寸四种，在一个星期内，用矩阵形式表示该商店的销售情况用矩阵形式表示（3）某电视台举办

48、歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下，用矩阵表示。初赛复赛甲80 90 乙86 88（4）用矩阵表示线性方程组2423132zyxmzyx中未知数zyx,的系数。（5）观察下图，这是一个有三个点A、B、C 连接构成的图形，请用矩阵表示这一图形的结构。（6）某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C 送煤的量分别是200 万吨、240 万吨 160 万吨；从乙矿区向城市A,B,C 送煤的量分别是400 万吨、360万吨、820 万吨。请设计一个矩阵来表示这些数据。80 90 86 88 A C B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 36 页 -

49、指出：矩阵和行列式是两个不同的概念，行列式表示的是一个算式，一个有数字组成的行列式通过计算可以求得其值；而矩阵表示的仅仅是一个数表，它的行数和列数可以相同，也可以不同，它不可以计算，因此它没有值的概念。注意不要混淆。3、矩阵的运算（1）矩阵的加、减法1)定义 10.7 设有两个mn矩阵，()ijm nAa，()ijm nBb，将它们的对应位置上的元素相加（减），所得到的mn矩阵，称为 矩阵 A与矩阵 B的和（差），记作：AB（BA），nmijijbaBA）（。例已知 A=3142，B=326214,求 A+B 与 AB 注意：（1）矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等。（2）必须是对

50、应位置上元素相加减。（3）矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等。2)矩阵加法满足的运算律：例 1（调运方案）设某种物资由3个产地运往4 个销地，两次调运方案分别见表1 和表 2第一次调运方案（单位：t）表 1 销地1S2S3S4S甲3 7 5 2 乙0 2 1 4 丙1 3 0 6 第 2 次调运方案（单位：t）表 2 销地1S2S3S4S甲1 0 1 2 乙3 2 4 3 丙0 1 5 2 ABBA(交换律);()()ABCABC(结合律);0AA;0AA;()ABAB产地产地名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 36 页 -若用 A，B