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1、精选优质文档-倾情为你奉上课题（项目）Laplace变换的概念课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月9日，第9周，周一 第1-2节教学目标方法手段教学目标：1、理解 Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质，掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合教学手段：讲授 板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。教学难点：分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变
2、换。教学过程与内容拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用一、引入在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。二、新课讲授9.1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （9-
3、1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例9-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换。解 。例
4、9-2求指数函数（为常数）的拉氏变换解 ，即；。类似可得：9.1.2 常用函数的拉氏变换表 问题：计算函数的拉氏变换。知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。通过PPT展示常用函数的拉氏变换表。三、应用举例例9.4 求（1） ， （2） 的拉氏变换。例9.5 求。例9.6 求的拉氏变换。9.1.3 自动控制系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数（单位阶跃函数）1)单位阶梯函数的定义函数称为单位阶梯函数（单位阶跃函数）。把分别平移个单位，则有， ，当时，将这两式相减得2）单位阶梯函数的性质单位阶梯函数具有：3）单位阶梯
5、函数的拉氏变换：例9.7 单位阶梯函数的拉氏变换。解 ，2、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即，所以，当时，；当时，。上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。1）定义 设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数当时，的值为；当时，的值为无穷大，即和 的图形如图9-1和图9-2所示（图略
6、）。显然，对任何，有，所以 工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度2）狄拉克函数拉氏变换例9-2 求的拉氏变换解 根据拉氏变换的定义，有 ，即。三、课堂小结并布置作业作业P.134 3、（1）（2）（5）教学小结理解拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表课题（项目）Laplace变换的性质课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月11日，第9周，周三，第5-6节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace变换的性质，重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。利用
7、Laplace变换的性质求逆变换。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。教学难点：微分性质，位移性质，求逆变换。教学过程与内容1. Laplace变换的线性性质，相似性质，微分性质，位移性质，积分性质。2. 利用常用函数Laplace变换及性质求逆变换。3. 利用微分性质推导4. 例1：解微分方程：例2：求的Laplace变换例3：求的Laplace变换例4：求的Laplace变换例5：求的Laplace变换例6：求的Laplace逆变换作业P.136 1.（1）（3），2.（1）（2）教学小结课题（项目）Lapla
8、ce逆变换课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月16日，第10周，周一第1-2节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace逆变换的求法。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。教学难点：分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变换。教学过程与内容1. Laplace逆变换的定义。2. 查表求Laplace逆变换。3. 利用部分分式求Laplace逆变换。4. 例1：求Laplace逆变换例2：求的Laplace逆变换例3：求的Laplace逆变换5. 练习求的Laplace逆变换6. 用卷积求Lapla
9、ce逆变换作业P.138（3）（4）教学小结课题（项目）Laplace变换的应用课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月18日，第10周，周三 第56节教学目标方法手段教学目标：掌握用Laplace变换解微分方程，了解线性系统中的传递函数。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：用Laplace变换解微分方程。教学难点：用Laplace变换解微分方程。教学过程与内容掌握利用微分性质把微分方程通过Laplace变换，转化为的线性方程。1. 求出。2. 。例1. 求解微分方程：例2：求解微分方程组： 3. 线性系统的传递函数作业P.141 1.（1）（2）教学小结课题（项目）
10、10.1 行列式的概念课时2授课地点东阶12授课时间2012年4月23日，第11周，第56节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点难点重点：行列式的概念 余子式和代数余子式的概念 行列式的计算难点：行列式
11、的概念 利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组 (1)利用消元法，当时，得到上述方程组的解为。(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。（二）新课讲授 定义1我们称4个数组成的符号为二阶行列式。其中的数称为该行列式的第i行、第j列元素。(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：说明几个问题：1） 它含有两行，两列。横的叫行，纵的叫
12、列。行列式中的数叫做行列式的元素。2） 从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。练习： 根据定义，容易得知上述方程组解(2)中的两个分子可分别写成，如果记：，则当D0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆。定义7.2 由9个数组成的记号称为三阶行列式，其中称为三阶行列式的元素。它表示的代数和为：用对角线法则表示为：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只
13、是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。三阶行列式的特点：1、共有6项，三项正，三项负；2、 每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列，即有3！6种排法。设有三元一次线性方程组 （1）记，则当时，可以证明方程（1）的唯一解为： 。练习2 ：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组 解 系数行列式，按照对角线法则得，同理可得，.于是方程组的解为，即。2、余子式、代数余子式（1）余子式定义10.1 在三阶行
14、列式中，删去元素所在的第行，第列后，余下的二阶行列式称为元素的余子式，记为。例如在三阶行列式中中元素 的余子式是。（2）代数余子式定义10.2 的余子式乘以所得的积称为的代数余子式，记为如的代数余子式，的代数余子式是。特别地：二阶行列式的各余子式都是一阶行列式，即只有一个元素。例10.3 证明三阶行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和。证明：设为任意的三阶行列式，则三阶行列式的定义得：=指出：类似的，同样可以定义其它元素的余子式与代数余子式，上式我们称为行列式按照第一行展开。事实上，可以证明，行列式可以按照任一行或列展开。（后面内容再介绍。）3、n阶行列式定义10.3 将个数（也称为元素
15、）排成行列，并在左右两侧各加一条竖线得到的记号 （10.9） 称为阶行列式（简称行列式）,它表示个元素按一定的规则构成的乘积和。例10.4 计算四阶行列式解：由行列式定义（10.9）式得=-8434、几种特殊的行列式（1）对角行列式在n阶行列式中，若有，则称为对角行列式，即该行列式的主要特征是：主对角线以外的元素全为零（2）三角行列式1）上三角行列式在n阶行列式中，若有，则称为上三角行列式，即该行列式的主要特征是：主对角线下方的元素全为零2）下三角行列式在n阶行列式中，若有，则称为下三角行列式，即该行列式的主要特征是：主对角线上方的元素全为零例10.5 证明下三角行列式证：由行列式定义10.9
16、有说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。同理，可证：上三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。即：三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。（三）小结并布置作业。作业习题10.1 1.（4）（5） 2. （1） 3. （1）.教学小结1、本节课涉及到的概念比较多，课后要多多看书，加以理解。2、关于行列式的计算：一般地，利用对角线法计算行列式的值一般仅限于二阶或三阶，其他高阶的通常利用行列式定义10.9，反复利用“行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和”，将高阶的行列式逐渐降阶，直至二阶后再计算。课题（项目） 10.2 行列式的性质和克拉默法则课时2授课地点阶东1-2授课
17、时间2012年4月28日，第12周，周一，第1-2节教学目标方法手段教学目标：1、理解转置行列式的定义，掌握行列式的性质，能较为熟练地运用这些性质化简并计算行列式的值，并掌握计算行列式值常用的两种方法：降阶法和化三角行列式法。2、理解行列式按行（列）展开定理，掌握行列式降阶思想，会利用行列式按行（列）展开定理将任意一高阶行列式降阶。3、掌握Cramer法则，会用Cramer法则求解线性方程组的解，会判断齐次线性方程组有无零解。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示相结合。重点难点教学重点：行列式的性质 行列式按行（列）展开定理及其应用 Cramer法则的应用 教学
18、难点：行列式按行（列）展开定理 行列式的计算教学过程与内容（一）复习回顾1、前次作业讲评。2、计算行列式。（二）新课讲授由刚才的计算，大家都已经感觉到当行列式的阶数较高时，仅靠利用行列式的定义往往会相当困难，为了简化计算，下面学习行列式的性质和公式化求解含有n个未知量n个方程的线性方程组的公式化解法。1、行列式的性质定义7.5将行列式的行与对应的列互换后（第行（列）对应地换为第列（行）, ）得到的新行列式，称为原行列式的转置行列式，记作。即：若,则。性质1行列式与它的转置行列式的值相等，即。这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的因而，凡是对行成立的性质，对列也成立；反之亦然。性质2互换行
19、列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。引入记号：表示交换行列式的两行（列）。例如：推论1如果行列式有两行（列）的对应元素相同，则该行列式的值为零。例如，对换第二、三行有。性质3 行列式的某一行（列）的所有元素乘上同一数，等于用数乘此行列式。引入记号：行列式的第行（列）乘以数，记作（或）。推论1行列式的任意一行（列）的各元素的公因子，可以提到行列式符号的外面。即 引入记号：行列行（列）式的第行（列）提出公因子可记作（或）。推论2 如果行列式的某一行（列）的元素都是零，则该行列式的值为零。性质4如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。性质5如果行列式某两行（列）的元素为两
20、个元素的和，则该行列式可以拆分成两个行列式之和。即若， 则性质6行列式某一行（列）的各元素的倍（为常数），加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。引入记号：以数乘第行（列）加到第行（列）上去，记作。注意：j不能写作，它们含义不同；2、（性质7） 行列式按行（列）展开重要定理：设阶行列式,则（1）D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之积。即 或 ；（2）D中任一行（列）的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 或 。此定理说明，行列式可以按任意一行（列）展开。指出：在计算行列式值时利用这些性质可以简化行列式的计算。3、行列式的计算 （1）行列式的计算方法1）
21、降阶法：用性质将某行（列）的元素尽可能多地化为零；按此行（列）展开行列式，即降一阶； 反复、步，直至所有行列式降至三、或二阶，最后算出值。例1 计算四阶行列式解：按第二列展开- - 按第三行展开例2 计算行列式分析：该行列式的特点：每行（列）的元素之和都为；因此将各元素都加到第1列上，再提取公因子，再利用性质尽量将第一列中的元素化为零，按第一列展开。解： 2）化三角形行列式法用性质将行列式化为上（下）三角形行列式；行列式的值即为主对角线上所有元素之积。例3 计算行列式解：练习：计算行列式 （）下面用行列式来解线性方程组4、克拉默法则1) 克拉默法则定理10.2 （克拉默法则） 设含有 个方程的
22、线性方程组为 （10.10），如果系数行列式，则方程组有唯一解 其中是把中是第列元素用方程组的常数项代替后所得到的阶行列式。例4 解线性方程组解：因为系数行列式所以，由克拉默法则得方程组有唯一解，又,所以得方程组的唯一解为2)齐次线性方程组的定义若线性方程组（10.10）的常数项均为零，即（10.11）则称为齐次线性方程组。显然线性方程组（10.11）的行列式，于是当方程组（10.11）的系数行列式时，由克拉默法则得它有唯一解：特别地：由全部零解组成的解称为零解。由此得到下面推论推论 如果齐次线性方程组（10.11）的系数行列式，则该方程组只有零解（即没有非零解）。也就是说：若齐次线性方程组有
23、非零解，则它的系数行列式。系数行列式 齐次线性方程组（10.11）有非零解。例5 判断齐次线性方程，是否有非零解。解：因为系数行列式，所以方程组没有非零解，只有零解，即。练习： 当为何值时，方程组有非零解？（三）课堂小结并布置作业作业P159习题10.2 1、(1) (4) 3、（1） 5、（1）教学小结本节课的内容较多，与实例结合学生更易理解，课后还应加强练习，已达熟练和巩固之目的。课题（项目）矩阵的概念及其运算课时2授课地点东阶12授课时间2012年5月7日，第12周，第56节教学目标方法手段教学目标：1、了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。2、理解矩阵的概念及其相关的行、
24、列、元素、等知识，理解特殊矩阵如方阵、行（列）矩阵、零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、相等矩阵及负矩阵的概念。3、掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，理解矩阵数乘时，满足的交换律和结合律，明确矩阵乘法运算时，满足的条件，理解矩阵乘法不满足交换律。4、理解矩阵的转置、方阵的行列式的定义，会求矩阵的转置、方阵的行列式。 教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点难点重点：矩阵的概念及其相关定义的理解与运用 矩阵运算法则难点：矩阵乘法教学过程与内容一、引入1表矩阵：1、表矩阵例1 某地区计划建筑甲、乙、丙三种不同标准的房屋，预计每1000平方米需用水泥、钢筋、木材
25、的数量如表所示：房屋标准水 泥钢 筋木 材甲19219乙18214丙120.327我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把材料表简写成一个“矩形数表”的形式：即 。同样的，对于一个几何图形2图矩阵BACDA B C DABCD0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 02、图矩阵说明：一个几何图形或表格都可以用一个个数排成的，并用方括弧（圆括弧）构成的一个数值表来表示，这样原来的图形或表格就可以用数来研究了。二、矩阵的概念1、矩阵的定义元素行标列标定义10.5 设有个数 排成行列，并用方括弧（圆括弧）表示的矩形阵表就称为一
26、个矩阵，其中称为第行第列元素，横的各排称为矩阵的行，纵的各排称为矩阵的列。 矩阵通常用大写字母A,B,C表示，也可用其元素表示。为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为： 或 几点说明 若，且，则称两矩阵同型；即两矩阵的行数和列数相同，但各对应元素均不相等的两个矩阵叫做同型矩阵。 若，且，则称两矩阵相等。即两矩阵的行数和列数相同，且各对应元素都相等的两个矩阵叫做相等矩阵，记作。如：与同型；与相等，即有练习1：设矩阵且，求：解：因为，即有由定义得： ，解得。练习2 P.168 习题10.3 12、几种特殊的矩阵设有 矩阵（1）方阵 当即矩阵的行数等于列数时，称此矩阵为方阵。方阵的行数（列数）称为矩
27、阵的阶数。主对角线次对角线其中元素称为阶方阵的主对角元素，经过元素 的直线称为阶方阵的主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线 。 （2）零矩阵个元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作： 或 注意： 不同的零矩阵未必相等的！如与不相等。（3）行矩阵只有一行的矩阵，称为行矩阵，记作：（4）列矩阵只有一列的矩阵，称为列矩阵，记作： （5）单位矩阵主对角线上的所有元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为阶单位矩阵， 即：，且： 记作：， 简记：。（6）对角矩阵 主对角线下方（上方）的各元素均为零的方阵，称为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵同称为三角矩阵。即或（7）负矩阵 在矩阵中各元素的前面
28、都添加一个负号所得到的矩阵称为的负矩阵，记作：。练习：（1）观察下列几个城市之间的航线距离（单位：英里），并用矩阵形式表示。城 市伦敦墨西哥城纽约巴黎北京东京伦 敦05 5583 4692145 0745 959墨西哥城5 55802 0905 7257 7537 035纽 约3 4692 09003 6366 8446 757巴 黎2145 7253 63605 1206 053北 京5 0747 7536 8445 12001 307东 京5 9597 0356 7576 0531 3070（2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、3
29、2英寸、34英寸四种，在一个星期内，用矩阵形式表示该商店的销售情况用矩阵形式表示（3）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下，用矩阵表示。初赛复赛甲8090乙8688（4）用矩阵表示线性方程组中未知数的系数。ACB（5）观察下图，这是一个有三个点A、B、C连接构成的图形，请用矩阵表示这一图形的结构。（6）某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。 请设计一个矩阵来表示这些数据。指出：矩阵和行列式是两个不同的概念，行列式表示的是一个算式，一个有
30、数字组成的行列式通过计算可以求得其值；而矩阵表示的仅仅是一个数表，它的行数和列数可以相同，也可以不同，它不可以计算，因此它没有值的概念。注意不要混淆。3、矩阵的运算（1）矩阵的加、减法1) 定义10. 7 设有两个矩阵，将它们的对应位置上的元素相加（减），所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和（差），记作：（）， 。例已知A=，B=,求A+B与AB注意：（1）矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等。 （2）必须是对应位置上元素相加减。 （3）矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等。2) 矩阵加法满足的运算律： (交换律) ; (结合律) ; ; ; (减法) 。例
31、1（调运方案）设某种物资由3个产地运往4个销地，两次调运方案分别见表1和表2第一次调运方案（单位：t）表1产地销地甲3752乙0214丙1306第2次调运方案（单位：t）表2产地销地甲1012乙3243丙0152若用A，B两个矩阵表示各次调运量 则两次从各产地调运该物资到各销地的运量之和为 例2 （库存清单）矩阵S给出了某家具商店二月份各种沙发、椅子和餐桌的订货量，从生产车间运到商店的家具有三种款式：古式、普通、现代，矩阵T给出了一月末仓库中家具数量的清单： (1)矩阵S中10代表什么意思？ (2)计算T-S，并解释其实际意义？ 解 (1) S中的10表示二月份古式椅子的订货量为10张； （2
32、） 因为(2)它表示二月末仓库中各种家具的库存量。 例3 已知： ，求：的值。解： 由已知条件，有： 则： 解得： （2）数与矩阵的乘法1）定义10.8 用实数乘矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数与矩阵的积，记作：，即2）数乘矩阵满足的运算律 ; ; ;； ；。3）举例应用（1）已知 ，求：，。解： ；。 （2）房屋开发计划一房屋开发商在开发一小区时设计了A、B、C、D共4种不同类型的房屋每种类型的车库又有三种设计：没有车库，一个车库，两个车库各种户型的数量如下： 如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵的运算给出开发商将开发的各种户型的总量 解 房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩
33、阵表示为 因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为 练习1 解 甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和由矩阵F表示为 说明：以上矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算。（3）矩阵与矩阵的乘法1、定义10.9 设矩阵，矩阵，则由元素构成的矩阵称为矩阵乘积。记作.2) 几点说明 相乘条件： 左矩阵的列数等于右矩阵的行数 ； 相乘方法：乘积矩阵的元素等于左的第行与右 的第列的对应元素乘积的和） ； 相乘结果：乘积C矩阵的行列数，分别取自左的行数，右B的列数。 3）应用举例例1 已知 ， 求：，。解： 同理：此例说明：；,，但。即:两个非零矩阵的
34、乘积可能等于零矩阵！（此不同于数字乘积的规律）例2 已知 ， 求：，。解： 无法计算！因为矩阵的列数为2，矩阵的行数为3，所以不符合矩阵乘法的条件，故不存在。此例说明：两个矩阵，若存在， 也不一定存在。例3 设矩阵，求：，。解： 此例说明：，一般也不能导出：（不满足消去律！）例4 设矩阵，验证：证： 一般地，对任意矩阵，只要 有意义，一定有：（由此可见，单位矩阵起着数“1”的作用！）2、矩阵乘法满足的运算律 结合律:; 分配律:; 对任意常数,有: (矩阵起到数“0”的作用)； (矩阵起到数“1”的作用)。3、矩阵乘法的三大特征 无交换律 即：; 无消去律 即： 若或。3、矩阵乘法应用举例例1
35、 n元线性方程组若可用矩阵相等表示为。例2 （商场税收）若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即设求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？ 解： 分析：一分场向国家财政上交的国税额= 一分场家电应上交的国税额+一分场服装应上交的国税额= 一分场家电的营业额家电的国税率+一分场服装的营业额服装的国税率，同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额为3、方阵的幂（1）定义10.10 设是阶方阵，（为自然数），则个连乘所得到的积仍是阶方阵，称为方阵的次幂，记作：。即： 一般规定： 说明： 只有方阵才有幂运算！ 只能是正整数。（2）方阵幂运算满足运算
36、律1） 2）例3已知：，求： ； ； ； 。解： ； ； 学生练习 设 ，求：4、矩阵的转置（1）转置的定义定义10.10 将一个矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记作： 或即 则如 ，则。(2) 转置满足的运算律 ; ； ; （3）应用举例例1：已知：， 求： ； 。解： 首先计算：； ， 显然：例2 证明 证明：5、对称矩阵定义10.11 如果矩阵满足,则称为对称矩阵。如：，因为，所以它是一个对称矩阵。注意：对称矩阵一定是方阵，且它的元素以主对角线为对称轴对应相等，即6、方阵的行列式定义10.12 由阶方阵的元素按原来的次序排列成的行列式，称为方阵的行列式。记作或.例如 设,计算。解：方阵满足的运算律：（1）（2）（3）三、本节小结并布置作业。作业P.168 习题10.33、4、6、7、8.教学小结本节课涉及的概念较多，课后要仔细看书后加以理解，矩阵的概念、矩阵的乘法及运算律既是重点也是难点，通过学生自练进一步加以深化理解。专心-专注-专业