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1、.一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B作射线 BB1 AC 动点 D从点 A出发沿射线AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点E 从点 C 沿射线AC方向以每秒3 个单位的速度运动 过点 D作 DH AB于H，过点E作 EFAC交射线 BB1于 F，G是 EF中点，连接 DG 设点 D运动的时间为t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当 DEG 与 ACB相似时，求t 的值2.如图，在 ABC中，ABC 90，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从A点出发，沿AC向点 C 移动同
2、时，动点Q以 1m/s 的速度从C点出发，沿CB向点 B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒（1）当 t=2.5s时，求 CPQ 的面积；求 CPQ的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC中，ACB 90，AC 6，BC 8，点 D 在边 AB上运动，DE平分CDB交边 BC于点 E，EMBD，垂足为M，EN CD，垂足为 N（1）当 AD CD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME 与 CNE相似？4.如图所示，在ABC中，BA BC 20cm，A
3、C 30cm，点 P从 A点出发，沿着AB以每秒 4cm的速度向B点运动；同时点Q从 C 点出发，沿CA以每秒 3cm的速度向 A点运动，当P点到达 B点时，Q点随之停止运动设运动的时间为x（1）当 x 为何值时，PQ BC？（2）APQ与 CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P沿AB边从 A 开始向点B以 2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA边从点 D开始向点A以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t 6）。（1）当 t 为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时
4、，以点Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC相似？二、构造相似辅助线双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点 A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式7.在 ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以 AB为边在 C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -.点的异侧作 ABD，使 ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，点 M是 AC上的一点，点 N 是 BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C 恰好落在边 AB上的 P点求证：MC：NC=AP：PB 9.如图，在直角
5、坐标系中，矩形ABCO 的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC翻折 B点落在 D点的位置，且 AD交 y 轴于点 E那么 D点的坐标为（）A.B.C.D.10.已知，如图，直线y=2x2 与坐标轴交于A、B两点以 AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1 2。求 C、D两点的坐标。三、构造相似辅助线 A、X字型11.如图：ABC中，D 是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交 CD于 F。求证：12.四边形 ABCD 中，AC为AB、AD的比例中项，且 AC平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，AB C
6、D，ABb，CD a，E为 AD边上的任意一点，EFAB，且 EF交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b 和 k 表示 EF的一般结论，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -.并给出证明14.已知：如图，在ABC中，M是 AC的中点，E、F 是BC上的两点，且BE EFFC。求 BN：NQ：QM 15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分
7、对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、相似类定值问题16.如图，在等边ABC中，M、N 分别是边AB，AC的中点，D为 MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点 E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD 中，AB/DC，对角线AC、BD交于 O，过 O作 EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F。求证：18.如图，在 ABC中，已知 CD为边 AB上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在 ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为 a求证：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -.五、相似之共线线段的比例
8、问题20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交 BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形ABCD 的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；21.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C 作 CF AB，延长 BP交 AC于 E，交CF于 F求证：BP2PE PF 22.如图，已知ΔABC 中，AD，BF分别为 BC，AC边上的高，过D作 AB的垂线交 AB于 E，交 BF于 G，交 AC延长线于 H。求证：
9、DE2=EG?EH23.已知如图，P为平行四边形ABCD 的对角线AC上一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -.点，过 P的直线与 AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC中，AD BC于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在 AD上有一点P，且 BPC为直角 求证：PD2AD DH。六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD是 RtABC斜边 AB上的高，E为 BC的中点，ED的延长线交CA于 F。求证：26 如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH BM且与 AC
10、的延长线交于点E.求证：（1）AED CBM；（2）27.如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CD AB于 D，E 是 AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点 F.（1）求证：.（2）若 G是 BC的中点，连接GD，GD与 EF垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG,AE与 CG相交于点M，CG与 AD相交于点 N求证：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -.29.如图，BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过D作 DGBC于 G，分别交CE及 BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2BG CG；（2）
11、BG CG GF GH七、相似基本模型应用30.ABC 和 DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点 E位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M，EF与 AC交于点 N，求证：BEM CNE；（2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得DE与 BA的延长线交于点M，EF与 AC交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形ABCD 和四边形 ACED都是平行四边形，点 R为 DE的中点，BR分别交 AC、CD于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR
12、 32.如图，在 ABC中，AD BC于 D，DE AB于 E，DFAC于 F。求证：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4 AB=5 又 AD=AB，AD=5t t=1，此时 CE=3，DE=3+3-5=1（2）如图当点D 在点 E 左侧，即：0t 时，DE=3t+3-5t=3-2t若 DEG与 ACB相似，有两种情况：DEG ACB，此时，即：，求得：t=；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -.DEG BCA，此时，即：，求得：t=；如 图，当 点D 在 点E 右 侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若 DEG与 ACB
13、相似，有两种情况：DEG ACB，此时，即：，求得：t=；DEG BCA，此时，即：，求得：t=综上，t 的值为或或或3.答案：解：（1）证明：AD=CD A=ACD DE平分CDB交边 BC于点 E CDE=BDE CDB为 CDB的一个外角 CDB=A+ACD=2 ACD CDB=CDE+BDE=2 CDE ACD=CDE DE AC（2）NCE=MBE EM BD，EN CD，BME CNE，如图 NCE=MBE BD=CD 又 NCE+ACD=MBE+A=90 ACD=A AD=CD AD=BD=AB 在 RtABC中，ACB 90，AC6，BC 8 AB=10 AD=5 NCE=ME
14、B EM BD，ENCD，BME ENC，如图 NCE=MEB EM CD CD AB 在 RtABC中，ACB 90，AC6，BC 8 AB=10 A=A，ADC=ACB ACD ABC 综上：AD=5或时，BME与 CNE相似4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当 PQ BC时，即：解得：（2）能，AP=cm或 AP=20cm 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -.APQ CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cm APQ CQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm 故 AP=cm或 20cm时，APQ与 CQB
15、能相似5.答案：解：设运动时间为t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若 QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2 时，QAP为等腰直角三角形（2）B=QAP=90 当 QAP ABC时，即：，解得：（符合题意）；当 PAQ ABC时，即：，解得：（符合题意）当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点 A作 AB OA，交待求直线于点B，过点 A作平行于 y 轴的直线交x 轴于点 C，过点 B作 BD AC 则由上可知：90由双垂直模型知：OCA ADB A
16、（2，1），45OC 2，AC 1，AO AB AD OC 2，BD AC 1 D点坐标为（2，3）B点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A作 AB OA，交待求直线于点B，过点 A作平行于 x 轴的直线交y 轴于点 C，过点 B作 BD AC 则由上可知：90由双垂直模型知：OCA ADB A（2，1），45OC 1，AC 2，AO AB AD OC 1，BD AC 2 D点坐标为（3，1）B点坐标为（3，1）此时正比例函数表达式为：yx 7.答案：解：情形一：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -.情形
17、二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P作 PD AC于 D，则 PD/BC 根据折叠可知MN CP 2+PCN=90，PCN+CNM=90 2=CNM CDP=NCM=90 PDC MCN MC：CN=PD：DC PD=DA MC：CN=DA：DC PD/BC DA：DC=PA：PB MC：CN=PA：PB 方法二：如图，过 M作 MD AB于 D，过 N作 NE AB于 E 由 双 垂 直 模 型，可 以 推 知 PMD NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
18、9 页，共 16 页 -.9.答案：A 解题思路：如图过点 D作 AB的平行线交BC的延长线于点M，交 x 轴于点N，则 M=DNA=90，由于折叠，可以得到ABC ADC，又由 B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMC AND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1 x，DM 3x3 x，则。答案为A 10.答案：解：过点 C作 x 轴的平行线交y 轴于 G，过点 D作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC的延长线于E。直线 y=2x2 与坐标轴交于A、B两点A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，
19、AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90 CBG=BAO 又 CGB=BOA=90 OAB GBC GB=2，GC=4 GO=4 C（4,4）同理可得 ADF BAO，得DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图延长 AE到 M使得 EM=AE，连接 CM BE=CE，AEB=MEC BEA CEM CM=AB，1=B AB CM M=MAD，MCF=ADF MCF ADF CM=AB，AD=AC（方法二）过 D作 DG BC交 AE于 G 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -.则
20、ABE ADG，CEF DGF，AD=AC，BE=CE 12.答案：证明：过点 D作 DF AB交 AC的延长线于点F，则 2=3 AC平分 DAB 1=2 1=3 AD=DF DEF=BEA，2=3 BEA DEF AD=DF AC为 AB、AD的比例中项即又 1=2 ACD ABC 13.答案：解：证明：过点 E作 PQ BC分别交 BA延长线和DC于点 P和点 Q AB CD，PQ BC 四边形PQCB 和四边形EQCF 是平行四边形PB EFCQ，又 AB b，CD a AP PB-AB EF-b，DQ DC-QC a-EF 14.答案：解：连接 MF M是 AC的中点，EF FC M
21、F AE且 MF AE BEN BFM BN：BM BE：BFNE：MF BE EFBN：BM NE：MF 1:2 BN：NM 1:1 设 NE x，则 MF 2x，AE 4xAN 3xMFAE NAQ MFQ NQ：QM AN：MF 3:2 BN：NM 1:1，NQ：QM 3:2 BN：NQ：QM 5:3:2 15.答案：证明：（1）如图 1，AD、BE为 ABC的中线，且AD、BE交于点 O 过点 C作 CF BE，交 AD的延长线于点F 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -.CFBE且 E为 AC中点 AEO ACF，OBD FCD，AC 2AE
22、EAO CAF AEO ACF D为 BC的中点，ODB FDC BOD CFD BO CF 同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图 2，AD为 ABC的角平分线过点 C作 AB的平行线CE交 AD的延长线于E 则 BAD=E AD为 ABC的角平分线BAD=CAD E=CAD AC CE CE AB BAD CED 16.答案：证明：如图，作DP AB，DQ AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ 是等边三角形BP+CQ MN，DP DQ PQ M、N分别是边AB，AC的中点MN BCPQ DP AB，DQ AC CDP CFB，
23、BDQ BEC，DP DQ PQ BC AB AB（）17.答案：证明：EF/AB，AB/DC EF/DC AOE ACD，DOE DBA，18.答案：证明：EFCD，EH AB，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -.，AFE ADC，CEH CAB，EFEH 19.答案：证明：EFAC，DE BC，BFE BCA，AED ABC，EFDE a 20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AD BC，DRP=S，RDB=DBS DRP BSP 同理由 ABCD可证 PTD PQB（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD 中，AD BC，PR
24、D=S，RDP=DBS DRP BSP 同理由 ABCD可证 PTD PQB 21.答案：证明:AB AC，AD是中线，AD BC,BP=CP 1=2 又 ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F,4=F 又 EPC=CPF EPC CPF BP2PE PF即证所求22.答案：证明：DE AB 9090 ADE DBE DE2=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -.BFAC 9090且BEG HEA DE2=EG•EH 23.答案：证明：四边形ABCD 为平行四边形AB CD，AD BC 1=2，G=H，5=6 PAH PCG 又 3=4 AP
25、E CPF 24.答案：证明：如图，连接BH交 AC于点 E，H为垂心BE AC EBC+BCA=90 AD BC于 D DAC+BCA=90 EBC=DAC 又 BDH=ADC=90 BDH ADC，即 BPC 为直角，AD BCPD2 BD·DCPD2 AD·DH 25.答案：证明：CD是 RtABC斜边 AB上的高，E为 BC的中点CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACD F=F FDA FCD ADC=CDB=90，B=ACD ACD CBD 即26.答案：证明：（1）ACB ADC 90 A
26、ACD 90BCM ACD 90 A BCM 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -.同理可得：MDH MBD CMB CDB MBD 90 MBD ADE ADC MDH 90 MDH ADE CMB AED CBM（2）由上问可知：，即故只需证明即可 A A，ACD ABC ACD ABC，即27.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明 FDB FCD（已经有一个公共角F）RtACD中，E是 AC的中点DE=AE A=ADE ADE=FDB A=FDB 而 A+ACD=90 FCD+ACD=90 A=FCD FCD=FDB 而F=F FBD F
27、DC（2）判断：GD与 EF垂直 RtCDB中，G 是 BC 的中点，GD GB GDB=GBD而 GBD+FCD=90 又FCD=FDB（1 的结论）GDB+FDB=90 GD EF 28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，ADC=GDE=90，则 CDG=ADE=ADG+90 在和中则 DAM=DCN 又 ANM=CND ANM CND 则29.答案：证明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG 构成母子型相似。BDG DCG DG2 BG·CG（2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GH GFC=EFH，而 EFH+H
28、=90，GFC+FCG=90 H=FCG 而 HGB=CGF=90 HBG CFG BG·CGGF·GH30.答案：（1）证明：MEB NEC 180 45135 MEB EMB NEC EMB又 B=C BEM CNE（2）COE EON 证明：OEN=C45，COE EON COE EON 31.答案：解：（1）BCP BER，CQP DQR，ABP CQP，DQR ABP（2）AC DE BCP BER 四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形AD=BC，AD=CE BC=CE，即点 C为 BE的中点又 AC DE CQP DQR 点 R为 DE的中点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -.DR=RE 综上：BP：PQ：QR 3：1：2 32.答案：证明：ADBC，DE AB ADB AED AD 2 AE AB 同理可证：AD 2 AF AC AE AB AF AC 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -