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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、相像三角形中的动点问题4.如下列图, 在 ABC中,BABC20cm,AC30cm,1.如图,在 Rt ABC中, ACB=90,AC=3,BC=4,过点 点 P 从 A 点动身,沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点B 作射线 BB1 AC动点 D 从点 A 动身沿射线 AC方向以 运动；同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA以每秒 3cm 的速每秒 5 个单位的速度运动,同时动点 E 从点 C沿射线 AC 度向 A 点运动,当 P 点到达 B 点时, Q 点随之停止运方向以每秒 3 个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB于 H,
2、动设运动的时间为 x过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,连接（1）当 x 为何值时, PQ BC？DG设点 D 运动的时间为 t 秒（2） APQ 与 CQB能否相像？如能, 求出 AP的长；（1）当 t 为何值时, AD=AB,并求出此时 DE的长度；如不能说明理由（2）当 DEG与 ACB相像时,求 t 的值2.如图,在 ABC中,ABC90,AB=6m,BC=8m,动 5.如图,在矩形 ABCD 中, AB=12cm,BC=6cm,点 P点 P 以 2m/s 的速度从 A 点动身,沿 AC 向点 C 移动同 沿 AB 边从 A 开头向点 B 以 2cm/s
3、 的速度移动；点 Q时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C点动身,沿 CB向点 B 移 沿 DA 边从点 D开头向点 A 以 1cm/s 的速度移动如动当其中有一点到达终点时,它们都停止移动设移 果 P、Q 同时动身,用 t（s）表示移动的时间（0 t动的时间为 t 秒6）；（1） 当 t=2.5s 时,求 CPQ的面积；（1）当 t 为何值时, QAP 为等腰直角三角形？ 求 CPQ的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数（2）当 t 为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC相像？解析式；（2）在 P,Q 移动的过程中,当 CPQ为等腰三角形时,求出 t 的值二、构造相像帮助线
4、双垂直模型3.如图 1,在 Rt ABC中,ACB90,AC6,BC 8,6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 2,1,点 D 在边 AB 上运动, DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E,正比例函数 y=kx 的图象与线段EMBD,垂足为 M, ENCD,垂足为 NOA 的夹角是 45,求这个正比（1）当 ADCD 时,求证： DE AC；例函数的表达式（2）探究： AD 为何值时, BME 与 CNE相像？名师归纳总结 第 1 页 共 15 页第 1 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7.在 ABC 中, AB=,
5、AC=4,BC=2,以 AB 为边在C三、 构造相像帮助线A、X 字型11.如图： ABC中, D 是 AB 上一点, AD=AC,BC边 上的中线 AE交 CD 于 F；点的异侧作 ABD,使 ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长求证：12.四边形 ABCD 中, AC 为 AB、AD 的比例中项,且8.在 ABC中,AC=BC,ACB=90,点 M 是 AC上的一点,AC平分 DAB；求证：点 N 是 BC上的一点, 沿着直线MN 折叠, 使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P点求证： MC：NC=AP：PB13.在梯形 ABCD中, AB CD,ABb,CDa,E 为 AD边上的任意一
6、点,EF AB,且 EF交 BC于点 F,某同学9.如图, 在直角坐标系中, 矩形 ABCO的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（ 1, 3）,将矩形沿对角在讨论这一问题时,发觉如下事实：线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置, 且 AD交 y 轴于点 E那1当时,EF=；2当时,EF=；么 D 点的坐标为（）A.B.3当时,EF=当时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b 和 k 表示 EF的一般结论,并给出证明C. D.10.已知,如图,直线 y= 2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的两边之比为 1 2；
7、求 C、D 两点的坐标；名师归纳总结 第 2 页 共 15 页第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14.已知：如图,在 ABC 中, M 是 AC的中点, E、 F 是求证：BC上的两点,且BE EFFC；求 BN： NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于18.如图,在 ABC中,已知CD 为边 AB 上的高,正该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线方形 EFGH的四个顶点分别在 ABC上；的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分 对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、 相像类
8、定值问题求证：19.已知,在 ABC 中作内接菱形CDEF,设菱形的边16.如图,在等边 ABC中, M 、N 分别是边 AB,AC的中点, D 为 MN 上任意一点, BD、CD的延长线分别交AC、长为 a求证：AB于点 E、F求证：五、 相像之共线线段的比例问题17.已知：如图,梯形ABCD中, AB/DC,对角线 AC、BD交于 O,过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F；20.（1）如图1,点在平行四边形ABCD 的对角线名师归纳总结 第 3 页 共 15 页第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BD上,始终线
9、过点P 分别交 BA,BC的延长线于点Q,S,上一点,过 C作 CF AB,延长 BP 交 AC于 E,交 CF于 F求交于点求证：证： BP 2PEPF （2）如图 2,图 3,当点在平行四边形 ABCD的对角线或 的 延 长 线 上 时 ,是 否 仍 然 成立？如成立,试给出证明；如不成立,试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；22.如图,已知 ΔABC 中, AD,BF 分别为 BC,AC边上的高,过 D 作 AB 的垂线交 AB于 E,交 BF于 G,交 AC 延长线于 H；求证：DE 2=EG.EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC 上一
10、点,过 P的直线与 AD、BC、CD的延长线、 AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H. 求证：24.已知, 如图, 锐角 ABC中,ADBC于 D,H 为垂21.已知：如图, ABC 中, ABAC,AD 是中线, P 是 AD第 4 页,共 15 页名师归纳总结 第 4 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 心（三角形三条高线的交点）；在 AD 上有一点 P,且BPCE是 AC的中点, ED的延长线与CB的延长线交于点F. 为直角 求证： PD 2AD DH ；（1）求证：. （2）如 G 是 BC的中点, 连接 GD,GD 与 E
11、F垂直吗？并说明理由 . 六、 相像之等积式类型综合25.已知如图, CD是 Rt ABC斜边 AB上的高, E 为 BC的中点, ED的延长线交CA于 F；M 在28.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、求证：CG,AE与 CG 相交于点M,CG 与 AD 相交于点 N求26 如图,在 Rt ABC中,CD 是斜边 AB上的高,点证：29.如图, BD、CE 分别是 ABC 的两边上的高,过DCD上, DHBM 且与 AC的延长线交于点E. 作 DGBC于 G,分别交 CE及 BA 的延长线于F、H；求证：（ 1） AED CBM；（2）求证：（1）DG 2BG CG；（2）
12、BG CGGF GH七、 相像基本模型应用30. ABC 和 DEF 是 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 ,27.如图, ABC是直角三角形, ACB=90,CDAB 于 D,A=D=90 , DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上名师归纳总结 第 5 页 共 15 页第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如图 1,设 DE与 AB 交于点 M ,EF与 AC 交于点 N,求证： BEM CNE；（2）如图 2,将 DEF绕点 E 旋转,使得 DE与 BA的延 长线交于点 M,EF与 AC交于点 N,于是,除（ 1）中的
13、一对相像三角形外,能否再找出一对相像三角形并证明 你的结论答案： 1.答案： 解：（1）ACB=90 ,AC=3,BC=4 AB=5 又AD=AB,AD=5t t=1,此时 CE=3,DE=3+3-5=1 （2）如 图 当 点D 在 点E 左 侧 , 即 ： 0t时 ,DE=3t+3-5t=3-2t如 DEG与 ACB相像,有两种情形：31.如图,四边形ABCD和四边形 ACED都是平行四边形, DEG ACB,此时；,即：,求得： t=点 R 为 DE的中点, BR分别交 AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相像三角形（相像比为1 除外）； DEG BCA,此时；,（2）求 BP：P
14、Q：QR即：,求得： t=如 图 , 当 点D在 点E 右 侧 , 即 ： t时 ,DE=5t-3t+3=2t-3如 DEG与 ACB相像,有两种情形：32.如图,在 ABC 中,ADBC于 D,DEAB 于 E,DFAC DEG ACB,此时,于 F；求证：名师归纳总结 第 6 页 共 15 页第 6 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：,求得： t=； DEG BCA,此时,即：,求得： t=NCE= MEB EM CD CDAB 综上, t 的值为或或或在 Rt ABC中,ACB90 ,AC6,BC 8 AB=10 3.答案：
15、解：（1）证明： AD=CD A=A,ADC=ACB A=ACD ACD ABC DE平分CDB交边 BC于点 E CDE= BDE CDB为 CDB 的一个外角CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD= CDE DE AC （2） NCE=MBE 综上： AD=5 或时, BME 与 CNE相像EMBD,ENCD, BME CNE,如图NCE= MBE 4.答案： 解（ 1）由题意： AP=4x, CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ BC时,即：解得：BD=CD （2）能, AP=cm 或 AP=20cm 又NCE+ACD=MBE+A=90ACD= A AD
16、=CD ACB90 ,AC6,BC 8 APQ CBQ,就（舍）,即AD=BD=AB 解得：或在 Rt ABC中,此时： AP=cm AB=10 AD=5 NCE=MEB APQ CQB,就,即EMBD,ENCD, BME ENC,如图解得：（符合题意）此时： AP= cm 名师归纳总结 第 7 页 共 15 页第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次种情形,图象经过其次、四象限故 AP= cm 或 20cm 时, APQ 与 CQB能相像5.答案： 解：设运动时间为 t ,就 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t
17、（1）如 QAP 为等腰直角三角形,就 AQ=AP,即：6-t=2t ,t=2（符合题意）t=2 时, QAP 为等腰直角三角形（2） B=QAP=90 当 QAP ABC时,即：,过点 A 作 ABOA,交待求直线于点B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交y 轴于点 C,过点 B 作 BDAC 解得：（符合题意） ；,即：,就由上可知：90由双垂直模型知： OCA ADB 当 PAQ ABC时,A（2,1）,45 解得：（符合题意） OC1,AC2,AOAB 当或时,以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ADOC1, BDAC2 D 点坐标为（ 3,1） ABC相像B 点坐标为（ 3, 1）6.
18、答案： 解：分两种情形第一种情形,图象经过第一、三象限B,过点 A 作平行于此时正比例函数表达式为：yx 过点 A 作 ABOA,交待求直线于点7.答案： 解：情形一：y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BDAC 就由上可知：90由双垂直模型知： OCA ADB A（2,1）,45 OC2,AC1,AOAB ADOC2, BDAC1 D 点坐标为（ 2,3）B 点坐标为（ 1,3）此时正比例函数表达式为：y3x 第 8 页 共 15 页第 8 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据折叠可知 MN CP 2+PCN
19、=90 , PCN+CNM=90 2=CNM CDP= NCM=90 情形二： PDCMCN MC： CN=PD：DC PD=DA MC： CN=DA：DC PD/BC DA：DC=PA： PB MC： CN=PA：PB 方法二：如图,过 M 作 MDAB 于 D,过 N 作 NEAB 于 E 由 双 垂 直 模 型 , 可 以 推 知 PMDNPE, 就,依据等比性质可知,而MD=DA,情形三：NE=EB,PM=CM,PN=CN,MC：CN=PA：PB 9.答案： A 解题思路： 如图过点 D 作 AB 的平行线交BC 的延长线于点M,交 x轴于点 N,就 M=DNA=90 ,由于折叠,可以
20、得到 ABC ADC,又由 B（1,3）BC=DC=1,AB=AD=MN=3,CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMC AND,8.答案： 证明：方法一：连接 PC,过点 P 作 PDAC于 D,就 PD/BC 第 9 页,共 15 页名师归纳总结 第 9 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 CM=x,就 DN=3x, AN=1x,DM3x3 x延长 AE 到 M 使得 EM=AE,连接 CM BE=CE,AEB= MEC ,就；答案为 A BEA CEM CM=AB,1=B AB CM M= MAD
21、,MCF=ADF MCF ADF CM=AB,AD=AC 10.答案： 解：过点 C作 x 轴的平行线交y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC的延长线于E；直线 y= 2x2 与坐标轴交于A、B 两点A（1,0）,B（ 0,2）OA=1,OB=2,AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90 ,ABO+BAO=90 （方法二）CBG= BAO 又CGB=BOA=90 OAB GBC 过 D 作 DG BC交 AE于 G 就 ABE ADG, CEF DGF ,AD=AC,BE=CE GB=2,GC=4 GO=4 C（ 4,4）同理可得 ADF BAO
22、,得DF=2,AF=4OF=5D（5,2）11.答案： 证明：（方法一）如图12.答案：证明：过点 D 作 DF AB 交 AC 的延长线于点 F,就 2=3 AC平分 DAB 1=2 名师归纳总结 第 10 页 共 15 页第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1=3 AD=DF DEF=BEA, 2=3 BEA DEF AD=DF 14.答案： 解：连接 MF AC为 AB、AD 的比例中项M 是 AC的中点, EFFC MF AE 且 MFAE BEN BFMBN：BM即 又1=2 BE： BF NE： MFBEEFBN：B
23、M NE：MF1:2BN：NM 1:1 设 NEx,就 MF2x,AE4x AN 3xMF AE NAQ MFQNQ： QM AN ： ACD ABC MF3:2BN：NM 1:1,NQ：QM3:2BN： NQ：QM 5:3:2 15.答案： 证明：（ 1）13.答案： 解：如图 1,AD、 BE为 ABC的中线,且AD、BE交于点O 过点 C作 CF BE,交 AD 的延长线于点 F CF BE且 E为 AC中点AEOACF,OBD FCD, AC2AE EAOCAF 证明：过点 E 作 PQ BC分别交 BA 延长线和 DC于点 P 和点 Q AB CD,PQ BC AEO ACF 四边形
24、 PQCB和四边形 EQCF是平行四边形D 为 BC的中点, ODBFDC BOD CFD PBEFCQ,BOCF 第 11 页,共 15 页又ABb,CD a APPB-ABEF-b,DQDC-QCa-EF 名师归纳总结 第 11 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理,可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的,DPDQPQBCAB AB（）（2）如图 2,AD 为 ABC的角平分线E 过点 C作 AB 的平行线 CE交 AD 的延长线于就BAD= E 17.答案： 证明： EF/AB,AB/DC AD 为 AB
25、C的角平分线EF/DC BAD= CAD E=CAD AOE ACD, DOE DBA ACCE ,CE AB BAD CED 18.答案： 证明： EF CD,EH AB , AFE ADC, CEH CAB 16.答案： 证明： DPQ,EFEH 如图,作 DP AB,DQ AC 就四边形 MDPB 和四边形 NDQC均为平行四边形且是等边三角形BP+CQMN,DPDQPQ M 、N 分别是边 AB,AC的中点19.答案： 证明： EF AC,DE BC MNBCPQ ,DP AB,DQ AC CDP CFB, BDQ BEC BFE BCA, AED ABC 名师归纳总结 第 12 页
26、共 15 页第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,EFDEa ABCD中, AD BC,21.答案： 证明 :20.答案：（1）证明：在平行四边形ABAC, AD 是中线,DRP= S,RDB=DBS ADBC,BP=CP DRP BSP 1=2 又ABC=ACB 同理由 AB CD可证 PTD PQB 3=4 CF AB 3=F,4=F 又EPC= CPF （2）证明：成立,理由如下： EPC CPF BP 2PE PF 即证所求22.答案： 证明： DE AB 90 90 在平行四边形ABCD中, AD BC,PRD= S,
27、RDP=DBS DRP BSP ADE DBE 同理由 AB CD可证 PTD PQB DE2=BFAC 90 90 且 BEG HEA 名师归纳总结 答案DE2=EG•EH ：23.：证明第 13 页 共 15 页第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BC的中点CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90 , ACD+CAB=90 B=ACD FDA= ACD F=F FDA FCD 四边形 ABCD为平行四边形AB CD,AD BC 1=2,G= H, 5=6 ADC= CDB=90 ,B=ACD PAH
28、PCG ACD CBD 又3=4 APE CPF 即26.答案： 证明：（ 1）ACB ADC90BH 交 AC于点 E,AACD90 BCMACD90 24.答案： 证明：如图,连接ABCM 同理可得： MDHMBD CMBCDB MBD90 MBD ADEADCMDH90 MDH ADECMB AED CBM H 为垂心（2 ）由上问可 知：,即故只需证明即可BEAC AA,ACDABC EBC+BCA=90 ACD ABC ADBC于 D DAC+ BCA=90 ,即,EBC=DAC 又BDH=ADC=90 BDH ADC , 即BPC27.答案：（1）将结论写成比例的形式,为 直 角
29、, ADBC PD2 BD·DC PD2 可以考虑证明 FDB FCD（已经有一个公共角F）AD·DH Rt ACD中, E是 AC的中点25.答案： 证明： CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高, E 为DE=AE A=ADE 名师归纳总结 第 14 页 共 15 页第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADE= FDB A=FDB BG·CGGF·GH 而A+ACD=90FCD+ACD=90 30.答案：（1）证明： MEBNEC18045A=FCD 135 MEB
30、 EMB NEC EMB又FCD=FDB B=C BEM CNE（2） COE EON证明：而F=F OEN=C45 ,COEEON COE EON FBD FDC 31. 答案： 解：（1） BCP BER, CQP DQR, ABP CQP, DQR ABP （2） AC DE BCP BER 四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形AD=BC,AD=CE BC=CE,即点 C为 BE的中点（2）判定： GD与 EF垂直 Rt CDB中,G是BC的 中 点 , GD GBGDB= GBD 而GBD+ FCD=90 又 FCD=FDB （ 1的 结 论 ）GDB+FDB=90 GDE
31、F 28.答案： 证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知,ADC=GDE=90 ,就 CDG=ADE=ADG+90 在和中又AC DE CQP DQR 点 R 为 DE的中点DR=RE 就DAM=DCN 又ANM=CND ANM CND 就综上： BP：PQ： QR3：1：2 32.答案： 证明： ADBC,DEAB ADB AED 29.答案： 证明：找模型；（ 1 ） BCD、 BDG, CDG 构 成 母 子 型 相 似 ；AD2AE AB BDG DCG 同理可证： AD2AF AC AE ABAF AC DG2BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式；BG·CGGF·GHGFC=EFH,而 EFH+H=90 ,GFC+FCG=90 H=FCG 而HGB=CGF=90 HBG CFG 名师归纳总结 第 15 页 共 15 页第 15 页,共 15 页- - - - - - -