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1、第 1 页 共 15 页一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 Rt ABC中， ACB=90 ，AC=3，BC=4，过点B作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点E从点 C沿射线 AC方向以每秒3个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB于 H，过点 E 作 EF AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF中点，连接DG设点 D 运动的时间为t 秒（1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当 DEG与ACB相似时，求t 的值2.如图，在 ABC中，ABC 90 ，AB=6m，BC=8m，动点 P以 2m/s 的速度
2、从A 点出发，沿AC 向点 C 移动同时，动点Q 以 1m/s 的速度从C点出发，沿CB向点 B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒（1） 当 t=2.5s 时，求 CPQ的面积； 求CPQ的面积 S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC中，ACB90 ，AC6，BC 8，点 D 在边 AB 上运动， DE 平分CDB交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为M， ENCD，垂足为N（1）当 ADCD 时，求证： DEAC；（2）探究： AD 为何值时， BME与CNE相似
3、？4.如图所示， 在ABC中，BABC20cm， AC30cm，点 P从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向B点运动；同时点Q 从 C 点出发，沿CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当P点到达 B 点时， Q 点随之停止运动设运动的时间为x（1）当 x 为何值时， PQBC？（2） APQ与CQB能否相似？若能， 求出 AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形ABCD 中， AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB 边从 A 开始向点B 以 2cm/s 的速度移动；点Q沿 DA 边从点 D开始向点A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时
4、间（0 t6） 。（1）当 t 为何值时， QAP为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与ABC相似？二、构造相似辅助线双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为 (2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45 ，求这个正比例函数的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页第 2 页 共 15 页7.在ABC 中， AB=， AC=4，BC=2，以 AB 为边在C点的异侧作 ABD，使 ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长8.在ABC中，AC=BC ，
5、 ACB=90 ， 点 M 是 AC上的一点，点 N 是 BC上的一点， 沿着直线MN 折叠， 使得点 C 恰好落在边 AB上的 P点求证： MC：NC=AP ：PB9.如图， 在直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OA 在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点B 的坐标为（ 1， 3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置， 且 AD交 y 轴于点 E 那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10.已知，如图，直线y=2x2 与坐标轴交于A、B 两点以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求 C、D 两点的坐标。三、 构造相似辅助线A、X字型11.
6、如图： ABC中， D 是 AB上一点， AD=AC ，BC边上的中线AE交 CD于 F。求证：12.四边形ABCD 中， AC 为 AB、AD 的比例中项，且AC平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD中， ABCD，ABb，CDa，E为 AD边上的任意一点，EF AB，且 EF交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b 和 k 表示 EF的一般结论，并给出证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页第 3
7、 页 共 15 页14.已知：如图，在ABC 中， M 是 AC的中点， E 、 F 是BC上的两点，且BE EF FC 。求 BN： NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、 相似类定值问题16.如图，在等边 ABC中， M 、N 分别是边 AB，AC的中点， D 为 MN 上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点 E 、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中， AB/DC，对角线AC、BD交于 O，过 O 作
8、EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F。求证：18.如图，在 ABC中，已知CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在 ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为 a求证：五、 相似之共线线段的比例问题20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD 的对角线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页第 4 页 共 15 页BD上，一直线过点P分别交 BA，BC的延长线于点Q，S ，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的 延 长 线 上 时 ，
9、是 否 仍 然 成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2 为例进行证明或说明） ；21.已知：如图， ABC 中， ABAC，AD 是中线， P 是 AD上一点，过 C作 CF AB， 延长 BP交 AC于 E， 交 CF于 F 求证： BP2PE PF 22.如图，已知 ΔABC中， AD，BF分别为 BC，AC边上的高，过D 作 AB 的垂线交AB于 E，交 BF于 G，交 AC 延长线于H。求证：DE2=EG?EH23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC 上一点，过 P的直线与AD、BC、CD的延长线、 AB 的延长线分别相交于点E、F、G、H.
10、 求证：24.已知， 如图， 锐角 ABC中，ADBC于 D，H 为垂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页第 5 页 共 15 页心 （三角形三条高线的交点）； 在 AD 上有一点P， 且BPC为直角 求证： PD2AD DH 。六、 相似之等积式类型综合25.已知如图， CD是 RtABC斜边 AB上的高， E为 BC的中点， ED的延长线交CA于 F。求证：26 如图，在 RtABC中，CD是斜边 AB上的高，点M 在CD上， DHBM 且与 AC的延长线交于点E. 求证： （ 1）AED CBM； （2）27.
11、如图，ABC是直角三角形， ACB=90 ， CDAB 于 D，E是 AC的中点， ED的延长线与CB的延长线交于点F. （1）求证：. （2）若 G 是 BC的中点， 连接 GD，GD 与 EF垂直吗？并说明理由 . 28.如图，四边形ABCD 、DEFG都是正方形，连接AE 、CG,AE与 CG相交于点M，CG与 AD 相交于点N求证：29.如图， BD、CE 分别是 ABC 的两边上的高，过D作 DGBC于 G，分别交CE及 BA的延长线于F、H。求证： （1）DG2BG CG ； （2）BG CG GF GH七、相似基本模型应用30.ABC 和 DEF 是 两 个 等 腰 直 角 三
12、角 形 ，A=D=90 ，DEF的顶点 E位于边 BC的中点上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页第 6 页 共 15 页（1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M，EF与 AC 交于点 N，求证： BEM CNE ；（2）如图 2，将 DEF绕点 E旋转，使得DE与 BA的延长线交于点M，EF与 AC交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R 为 DE的中点， BR分别交 AC、CD于点 P、Q（1）请写出图
13、中各对相似三角形（相似比为1 除外） ；（2）求 BP：PQ：QR32.如图，在ABC 中， ADBC于 D， DEAB于 E ， DFAC于 F。求证：答案： 1.答案： 解： （1）ACB=90 ，AC=3，BC=4 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此时 CE=3 ，DE=3+3-5=1 （2）如 图 当 点D 在 点E 左 侧 ， 即 ： 0t时 ，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG与 ACB相似，有两种情况： DEG ACB ，此时，即：，求得： t=； DEG BCA ，此时，即：，求得： t=；如 图 ， 当 点D在 点E 右 侧 ， 即 ： t时 ，DE=5t-(
14、3t+3)=2t-3若DEG与 ACB相似，有两种情况： DEG ACB ，此时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页第 7 页 共 15 页即：，求得： t=； DEG BCA ，此时，即：，求得： t=综上， t 的值为或或或3.答案： 解： （1）证明： AD=CD A=ACD DE平分CDB交边 BC于点 E CDE= BDE CDB为CDB的一个外角CDB= A+ACD=2ACD CDB= CDE+ BDE=2CDE ACD= CDE DEAC （2） NCE= MBE EMBD，ENCD，BMECNE，如
15、图NCE= MBE BD=CD 又NCE+ ACD= MBE+A=90 ACD= A AD=CD AD=BD=AB 在 RtABC中，ACB90 ，AC6，BC 8 AB=10 AD=5 NCE= MEB EMBD，ENCD，BMEENC，如图NCE= MEB EMCD CDAB 在 RtABC中，ACB90 ，AC6，BC 8 AB=10 A=A，ADC=ACB ACDABC 综上： AD=5 或时， BME 与CNE相似4.答案： 解（1）由题意： AP=4x， CQ=3x ，AQ=30-3x，当 PQ BC时，即：解得：（2）能， AP=cm 或 AP=20cm APQ CBQ ，则，即
16、解得：或（舍）此时： AP=cm APQ CQB ，则，即解得：（符合题意）此时： AP=cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页第 8 页 共 15 页故 AP=cm 或 20cm 时， APQ与CQB能相似5.答案： 解：设运动时间为t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1） 若QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP， 即：6-t=2t ，t=2（符合题意）t=2 时， QAP为等腰直角三角形（2） B=QAP=90 当QAPABC时，即：，解得：（符合题意） ； 当PAQABC时，即
17、：，解得：（符合题意） 当或时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似6.答案： 解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于y 轴的直线交x 轴于点 C，过点 B 作 BDAC 则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADB A（2，1） ，45 OC2，AC1，AOAB ADOC2， BDAC1 D 点坐标为（ 2，3）B 点坐标为（ 1，3）此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交y 轴于点 C，过点 B作 BDAC 则由上可
18、知：90由双垂直模型知：OCAADB A（2，1） ，45 OC1，AC2，AOAB ADOC1， BDAC2 D 点坐标为（ 3，1）B 点坐标为（ 3， 1）此时正比例函数表达式为：yx 7.答案： 解：情形一：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页第 9 页 共 15 页情形二：情形三：8.答案： 证明：方法一：连接 PC，过点 P作 PDAC于 D，则 PD/BC 根据折叠可知MNCP 2+PCN=90 ， PCN+ CNM=90 2=CNM CDP= NCM=90 PDC MCN MC： CN=PD ：DC
19、PD=DA MC： CN=DA ：DC PD/BC DA：DC=PA ： PB MC： CN=PA ：PB 方法二：如图，过 M 作 MDAB于 D，过 N 作 NEAB于 E 由 双 垂 直 模 型 ， 可 以 推 知 PMDNPE， 则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB ，PM=CM，PN=CN ，MC：CN=PA ：PB 9.答案： A 解题思路： 如图过点 D 作 AB 的平行线交BC 的延长线于点M，交 x轴于点 N，则 M=DNA=90 ，由于折叠，可以得到ABCADC，又由 B（1，3）BC=DC=1 ，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90
20、 3+2=90 1=3 DMC AND，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页第 10 页 共 15 页设 CM=x，则 DN=3x， AN=1x，DM3x3 x，则。答案为A 10.答案： 解：过点 C作 x 轴的平行线交y 轴于 G， 过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC的延长线于E。直线 y=2x2 与坐标轴交于A、B 两点A（1,0） ，B（ 0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90 ，ABO+BAO=90 CBG= BAO 又CGB= BOA=9
21、0 OABGBC GB=2，GC=4 GO=4 C（ 4,4）同理可得 ADFBAO，得DF=2 ，AF=4OF=5D（5,2）11.答案： 证明： （方法一）如图延长 AE到 M 使得 EM=AE，连接 CM BE=CE ，AEB= MEC BEA CEM CM=AB，1=B ABCM M= MAD，MCF=ADF MCFADF CM=AB，AD=AC （方法二）过 D 作 DGBC交 AE于 G 则ABE ADG，CEF DGF ，AD=AC ，BE=CE 12.答案：证明：过点 D 作 DFAB 交 AC 的延长线于点F，则 2=3 AC平分 DAB 1=2 精选学习资料 - - - -
22、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页第 11 页 共 15 页1=3 AD=DF DEF= BEA，2=3 BEA DEF AD=DF AC为 AB、AD 的比例中项即又1=2 ACDABC 13.答案： 解：证明：过点 E作 PQBC分别交 BA 延长线和DC于点 P和点 Q ABCD，PQBC 四边形 PQCB和四边形EQCF是平行四边形PBEF CQ，又ABb，CD a APPB-AB EF-b，DQDC-QC a-EF 14.答案： 解：连接 MF M 是 AC的中点， EF FC MFAE 且 MFAEBEN BFMBN：BMBE
23、： BF NE： MFBEEF BN：BMNE：MF1:2BN： NM1:1 设 NEx， 则 MF2x， AE4x AN 3xMFAENAQ MFQNQ： QM AN ：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN： NQ：QM 5:3:2 15.答案： 证明： （ 1）如图 1，AD、 BE为ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点 C作 CFBE ，交 AD 的延长线于点F CFBE且 E为 AC中点AEOACF ，OBD FCD ， AC2AE EAOCAF AEOACF D 为 BC的中点， ODBFDC BODCFD BOCF 精选学习资料 - - - - - - - - -
24、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页第 12 页 共 15 页同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图 2，AD 为ABC的角平分线过点 C作 AB的平行线CE交 AD 的延长线于E 则BAD= E AD 为 ABC的角平分线BAD= CAD E=CAD ACCE CE AB BADCED 16.答案： 证明：如图，作DPAB，DQAC 则四边形 MDPB 和四边形 NDQC均为平行四边形且 DPQ是等边三角形BP+CQ MN，DPDQPQ M、N 分别是边AB，AC的中点MNBCPQ DPAB，DQAC CDP CFB ，B
25、DQ BEC ，DPDQPQBCAB AB（）17.答案： 证明： EF/AB，AB/DC EF/DC AOEACD，DOE DBA ，18.答案： 证明： EF CD，EHAB ，AFE ADC，CEH CAB ，EF EH 19.答案： 证明： EF AC，DEBC ，BFE BCA，AEDABC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页第 13 页 共 15 页，EF DEa 20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中， ADBC，DRP= S ，RDB=DBS DRPBSP 同理由 ABCD可证 PTD P
26、QB （2）证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD中， AD BC，PRD= S ，RDP= DBS DRPBSP 同理由 ABCD可证 PTD PQB 21.答案： 证明 :ABAC， AD 是中线，ADBC,BP=CP 1=2 又ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F, 4=F 又EPC= CPF EPC CPF BP2PE PF即证所求22.答案： 证明： DE AB 90 90 ADEDBE DE2=BFAC 90 90 且BEG HEA DE2=EG•EH 23.答案：证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
27、13 页，共 15 页第 14 页 共 15 页四边形 ABCD为平行四边形ABCD，ADBC 1=2，G= H，5=6 PAHPCG 又3=4 APE CPF 24.答案： 证明：如图，连接BH 交 AC于点 E，H 为垂心BEAC EBC+ BCA=90 ADBC于 D DAC+ BCA=90 EBC= DAC 又BDH=ADC=90 BDHADC ， 即BPC为 直 角 ， ADBC PD2 BD·DCPD2 AD·DH 25.答案： 证明： CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高， E为BC的中点CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90 ，
28、ACD+ CAB=90 B=ACD FDA= ACD F=F FDAFCD ADC= CDB=90 ，B=ACD ACDCBD 即26.答案： 证明： （ 1）ACB ADC90AACD90 BCMACD90 ABCM 同理可得： MDHMBD CMBCDBMBD90 MBD ADEADCMDH90 MDH ADECMB AEDCBM （2 ）由上问可知：，即故只需证明即可AA，ACDABC ACDABC ，即27.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明 FDB FCD （已经有一个公共角F）RtACD中， E是 AC的中点DE=AE A=ADE 精选学习资料 - - - - - -
29、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页第 15 页 共 15 页ADE= FDB A=FDB 而A+ACD=90 FCD+ ACD=90 A=FCD FCD= FDB 而F=F FBDFDC （2）判断：GD与 EF垂直 RtCDB中，G是BC的 中 点 ， GD GBGDB= GBD 而GBD+ FCD=90 又 FCD= FDB （ 1的 结 论 ）GDB+FDB=90 GDEF 28.答案： 证明：由四边形ABCD 、DEFG都是正方形可知，ADC=GDE=90 ，则 CDG= ADE= ADG+90 在和中则DAM=DCN 又ANM=CND AN
30、M CND 则29.答案： 证明：找模型。（ 1 ） BCD、 BDG， CDG 构 成 母 子 型 相 似 。BDGDCG DG2BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GHGFC= EFH ，而 EFH+ H=90 ，GFC+ FCG=90 H=FCG 而HGB=CGF=90 HBGCFG BG·CGGF·GH30.答案： （1）证明： MEBNEC 180 45 135 MEB EMB NEC EMB又B=CBEM CNE （2） COE EON证明：OEN=C45 ，COE EON COE EON 31. 答案： 解： （1）BCP BER ，CQP DQR，ABPCQP ，DQR ABP （2） ACDE BCP BER 四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形AD=BC ，AD=CE BC=CE ，即点 C为 BE的中点又ACDE CQP DQR 点 R 为 DE的中点DR=RE 综上： BP：PQ： QR3：1：2 32.答案： 证明： ADBC，DEAB ADBAED AD2AE AB 同理可证： AD2AF AC AE ABAF AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页