《2022年求函数解析式的基本方法 2.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年求函数解析式的基本方法 2.pdf(8页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法,供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例 1.已知x2x)1x(f,求)x(f。解:因为)1x(1x)x(f,11x,1 1)x(x2x)1x(f22所以二、换元法已知)x(g),x(f)x(g f把求看成一个整体t,进行换元,从而求出)x(f的方法。例 2.同例 1。解:令2)1t(x,1tx,1t,t1x则,所以)1t(1t)1t(2)1t()t(f22,所以)1x(1x)x(f2。评注:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即)x(f的定义域。三、
2、方程组法根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。例 3.已知定义在R 上的函数)x(f满足1x)x(f2)x(f,求)x(f的解析式。解:1x)x(f2)x(f,1x)x(f2)x(f2得1x3)x(f 3,所以31x)x(f。评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点,构造另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 8 页 -.例4.已 知 函 数)x(f的 定 义 域 为R,并 对 一 切 实 数x,y都 有)1y2x(x)y(f3)x(f)yx(f2,求)x(f的解析式。解:令xx)0(f3
3、)x(f)x(f20y2得,令)0(f3)0(f)0(f 20yx得,所以0)0(f,所以)Rx(xx)x(f2五、待定系数法已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。例 5.已知二次函数)x(f的二次项系数为a,且不等式x2)x(f的解集为(1,3),方程0a6)x(f有两个相等的实根,求)x(f的解析式。解:因为的0 x2)x(f解集为(1,3),设0a),3x)(1x(ax2)x(f且,所以x2)3x)(1x(a)x(fa3x)a42(ax2由方程0a6)x(f得0a9x)a42(ax2因为方程有两个相等的实根,所以0a9a4
4、)a42(2,即,01a4a52解得51a1a或又51a,0a所以,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 8 页 -.将51a得53x56x51)x(f2。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例 6.已知函数)x(fy是 R 上的奇函数,当)x(f,13)x(f,0 xx求时的解析式。解析:因为)x(f是 R 上的奇函数,所以)x(f)x(f),x(f)x(f即,当0 x,0 x时,13)13()x(f)x(fxx所以0 x,130 x,13)x(fxx七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例 7.已知函数)0 x(1
5、xlny,求它的反函数。解:因为0 x,1yex,1yxln,1xlnyR1xlny所以得由反函数为)Rx(ey1x八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数,根据这个定义求函数解析式的方法。例 8.对定义域分别是gfDD、的函数)x(gy),x(fy,规定:函数gfgfgfdxDx),x(g,DxDx),x(fDxDx),x(g)x(f)x(h且当且当且当名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 8 页 -.若2x)x(g,1x1)x(f,写出函数)x(h的解析式。解:1x,1),1()1,(x,1xx)x(h2九、建模法根据实际问题建立函数模型的方法。例 9.用长为 9
6、0cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图1),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解:设容器高为xcm,容器的容积为)x248)(x290(x)x(V,cm)x(V3则)24x0(x4320 x276x423。求)x(V的导数,得)(36x,10 x,0)x(V)36x)(10 x(12)360 x46x(124320 x552x12)x(V2122舍去得令当0)x(V,10 x0时,那么)x(V为增函数;当0)x(V,24x10时,那么)x(V为减函数;因此,在定义域(0,24)内,函数)x(
7、V只有当10 x时取得最大值,其最大值为)cm(19600)2048()2090(10)10(V3答:当容器的高为10cm,容器的容积最大,最大容积为3cm19600。十、图像法利用函数的图像求其解析式的方法。例 10.在同一平面直角坐标系中,函数)x(gy)x(fy和的图像关于直线xy对称。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 8 页 -.现将)x(gy的图像沿 x 轴向左平移2 个单位,再沿 y 轴向上平移1 个单位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函数)x(f的表达式为()(A)2x0,22x,0 x1,2x2)x(f(B)2x0,22x,0 x
8、1,2x2)x(f(C)4x2,12x2x1,2x2)x(f(D)4x2,32x2x1,6x2)x(f解析:由图像求得解析式1x0,1x20 x2,12x)x(h将)x(g向左平移 2 个单位,向上平移1 个单位得到)x(h的图像,所以3x2,4x2,2x0,12x)x(g因为)x(g)x(f与的图像关于xy对称,所以)x(g)x(f与互为反函数。所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 8 页 -.2x0,22x,0 x1,2x2)x(g)x(f1所以选(A)。十一、轨迹法设出函数图像上任一点P(x,y),根据题意建立关于x,y 的方程,从而求出函数解析式的方法。例
9、11.已知函数)x(fy的图像与函数)0 x(xlog)x(g2的图像关于原点对称,求)x(f的解析式。解:设)x(fy的图像上任一点P(x,y),P 关于原点的对称点)y,x(P在)x(gy的图像上,所以)x(logy),x(logy22,所以函数值域的八大求法求函数值域是高考的热点,同时也是大家学习中的一个难点,在求函数值域时本人总结以下八种方法,供大家参考。方法一:观察法例 1.求函数2x4y的值域。解析:由2,0 x4,0 x40 x222知及。故此函数值域为2,0。评注:此方法适用于解答选择题和填空题。方法二:不等式法例 2.求函数)0 x(x)1x(y222的值域。解析:4x1x2
10、x1x2xx)1x(y22224222,此函数值域为),4。评注:此方法在解答综合题时可屡建奇功!方法三:反函数法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 8 页 -.例 3.求函数)4x(2x1xy的值域。解析:由2x1xy得y11y2x。由4x,得4y11y2,解得1y25y或。此函数值域为),25)1,(。评注:此方法适用范围比较狭窄,最适用于x 为一次的情形。方法四:分离常数法例 4.求函数6x13x6)1x(6y2422的值域。解析:6x13x66x12x66x13x6)1x(6y2424242225242511x613x6116x13x6x122242。从而易知
11、此函数值域为 1,2524。评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如)adbc,0a(baxdcxy的值域为),ac()ac,(。方法五:判别式法例 5.求函数1xx1xy22的值域。解析:原式整理可得0)1y(yxx)1y(2。当01y即1y时,2x原式成立。当01y即1y时,0)1y()1y(4y2,解得552y552y或。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页,共 8 页 -.综上可得原函数值域为),552552,(。评注:此方法适用于x 为二次的情形,但应注意01y时的情况。方法六:图象法例 6.求函数1x1y)0 x(1的值域。解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为),1(2,(。评注:此方法最适用于选择题和填空题,画出函数的草图,问题会变得直观明了。y 0 1 2 x-1(1,-1)-2 方法七:中间变量法例 7.求函数5x3xy22的值域。解析:由上式易得1y3y5x2。由1y53y,01y3y5,0 x2或解得知。故此函数值域为),1(53,(。评注:此方法适用范围极其狭窄,需要灵活掌握。方法八:配方法例 8.求函数3x2xy的值域。解析:因为22)1x(y2,故此函数值域为),2。评注:此方法需要灵活掌握,常常可以达到意想不到的效果。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页,共 8 页 -