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1、1 求函数解析式的常用方法求函数的解析式不仅是最基本的题型，而且在求解的过程中还蕴含着一些思想方法和解题技巧。一、“拼凑变量”法将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量x，从而得到)(xf的解析式。例 1 已知221)1(xxxxf,求)(xf的解析式.解析：等式左边是关于1xx-的函数，右边是关于x的表达式，要想办法把右边的表达式拼凑成关于1xx-的表达式即可。解：222111()2f xxxxxx骣?-=+=-+?桫Q，将xx1看成变量x，()2f xx。二、换元法解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。例 2 若函数)(xf满
2、足12)1(2xxf，求)(xf的解析式。解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设tx1，利用换元法，转化为求()f t。利用整体思想把1x-看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意)(xf与()f t是表示同一个函数。解：令tx1，则1tx，3421)1(2)(22ttttf，即342)(2xxxf。点评：已知()()fg xxj=，求)(xf的解析式，通常用换元法，其步骤是：设名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -2()g xt=，确定t的取值范围；把t看成常数，解关于x的方程()g xt=得到()xh t=；将()xh t=代入()xj，得到函数()f
3、t的解析式；再用x替换()f t中的t得函数)(xf的解析式。三、待定系数法我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。例 3 已知实系数的一次函数)(xf满足()43ff xx=+，求)(xf。解：设一次函数bkxxf)()0(k，则2()()f f xk kxbbk xkbb=+=+，又()43ff xx=+，比较对应的系数，得32123)1(42bkbkkbk或，故)(xf的解析式为()21f xx=+或()23f xx=-。点评：当已知函数的类型求其解析式时，常用此法。练习：已知()f x是二次
4、函数且2(1)(1)244f xf xxx+-=-+，求()f x的解析式。解：由题意，设2()(0)f xaxbxc a=+，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc+-=+-+-+2244xx=-+对xR?恒成立，从而有2224224abac，121abc，2()21f xxx，即所求函数的解析式为2()21f xxx。四、方程法（消参法）若已知式中出现两个不同的变量的函数关系式时，常常采用“消参法”解决，即依名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -3 据这两个变量的关系，重新产生一个关于这两个变量的不同等式，利用整
5、体思想，把()f x和另一个函数看成未知数，解方程组得()fx的解析式，类似于解二元一次方程组，故称为方程法。例 4 已知12()()3f xfxx+=，求)(xf的解析式。解：将12()()3f xfxx+=中的所有x换为x1，得到132()()ff xxx+=，由联立消去1()fx，得1()2fxxx=-。五、赋值法（特殊值法）在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利于求解。例 5 已知函数()f x，对任意的,a bR?满足()()(21)f abf abab-=-+，且(0)1f=，求)(xf的解析式。解析：等式()()(21)f
6、 abf abab-=-+中，含有两个未知量，令其中一个未知量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而达到求解的目的。解：由题意，令0a，则()()(21)f abf abab-=-+为()(0)(1)fbfbb-=-+，即2()1fbbb-=-+，再令bx-=，得2()1f xxx=+。点评：此种方法用于抽象函数，减少变量时通常是令xy=或xy=-，一般要先求出特殊值对应的函数值，如(0)f、(1)f和(1)f-等。归纳拓展：1.求函数的解析式，就是要清楚对接受法则的对象施予什么运算和建立什么关系，并不在意接受法则的是哪一个字母或是怎样的式子。在进行变形或变量代换的过程中，要注意取值范围
7、的变化。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -4 2.利用复合函数的式子求函数的解析式常有拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等方法。课后练习：1.已知一次函数()f x的图像经过点(1,2)-和(1,3)，求()f x的解析式。2.已知二次函数的图像经过点(3,8)，且顶点坐标为(6,5)-，求解析式。3.已知函数()fx满足2(1)52f xxx+=+，求()f x的解析式。4.已知函数()fx为一次函数，且()41ff xx=-，求()f x。5.已知函数(21)32fxx+=+，且()2f a=，则a得值是（）A.8 B.1 C.5 D.1-6.已知3()()5f xfxx+-=，求()f x的解析式。7.函 数()yf x=的 定 义 域 为(0,)，且 对 于 定 义 域 内 的 任 意 的,x y都 有()()()fxyfxfy=+，且(2)1f=，则2()2f的值为（）A.1 B.12 C.12-D.2-8.已知(2)4fxxx+=+，求()f x。9.二次函数()fx满足条件(0)1f=，(1)()2f xf xx+-=。（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在 1,1上的最值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -