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1、求函数解析式的基本方法刘有路求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例 1. 已知x2x) 1x(f，求)x(f。解：因为) 1x( 1x)x(f, 11x, 1 1)x(x2x) 1x(f22所以二、换元法已知)x(g),x(f)x(g f把求看成一个整体t，进行换元，从而求出)x(f的方法。例 2. 同例 1。解：令2) 1t (x, 1tx, 1t, t1x则，所以) 1t (1t)1t (2)1t () t (f22，所以)1x( 1x)x(f2。评注：利用换元法求函数解析式必须考
2、虑“元”的取值范围，即)x(f的定义域。三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。例 3. 已知定义在R 上的函数)x(f满足1x)x(f2)x(f，求)x(f的解析式。解：1x)x(f2)x(f，1x)x(f2)x(f2得1x3)x(f 3，所以31x)x(f。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。四、特殊化法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 通过对某变量取特殊值求
3、函数解析式的方法。例4. 已 知 函 数)x(f的 定 义 域 为R ， 并 对 一 切 实 数x ， y都 有) 1y2x(x)y(f 3)x(f)yx(f2，求)x(f的解析式。解：令xx)0(f 3)x(f)x(f20y2得，令)0(f3)0(f)0(f 20yx得，所以0)0(f，所以)Rx(xx)x(f2五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例 5. 已知二次函数)x(f的二次项系数为a，且不等式x2)x(f的解集为（ 1，3），方程0a6)x(f有两个相等的实根，求)x(f的解析式。解：因为的0 x2)
4、x(f解集为（ 1，3），设0a),3x)(1x(ax2)x(f且，所以x2)3x)(1x(a)x(fa3x)a42(ax2由方程0a6)x(f得0a9x)a42(ax2因为方程有两个相等的实根，所以0a9a4)a42(2，即,01a4a52解得51a1a或又51a, 0a所以，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 将51a得53x56x51)x(f2。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式
5、的方法。例 6. 已知函数)x(fy是 R 上的奇函数，当)x(f, 13)x(f ,0 xx求时的解析式。解析：因为)x(f是 R 上的奇函数，所以)x(f)x(f),x(f)x(f即，当0 x,0 x时，13) 13()x(f)x(fxx所以0 x, 130 x, 13)x(fxx七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例 7. 已知函数)0 x( 1xlny，求它的反函数。解：因为0 x，1yex, 1yxln, 1xlnyR1xlny所以得由反函数为)Rx(ey1x八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例 8. 对定义域分别是gfDD
6、、的函数)x(gy),x(fy，规定：函数gfgfgfdxDx),x(g,DxDx),x(fDxDx),x(g)x(f)x(h且当且当且当名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 若2x)x(g,1x1)x(f，写出函数)x(h的解析式。解：1x, 1), 1()1 ,(x,1xx)x(h2九、建模法根据实际问题建立函数模型的方法。例 9. 用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一
7、个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为)x248)(x290(x)x(V,cm)x(V3则)24x0(x4320 x276x423。求)x(V的导数，得)(36x,10 x,0)x( V)36x)(10 x(12)360 x46x(124320 x552x12)x( V2122舍去得令当0)x( V,10 x0时，那么)x(V为增函数； 当0)x( V,24x10时，那么)x(V为减函数；因此，在定义域（0， 24）内，函数)x(V只有当10 x时取得最大值，其最大值为)cm(19600)
8、2048()2090(10)10(V3答：当容器的高为10cm，容器的容积最大，最大容积为3cm19600。十、图像法利用函数的图像求其解析式的方法。例 10. 在同一平面直角坐标系中，函数)x(gy)x(fy和的图像关于直线xy对称。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 现将)x(gy的图像沿 x 轴向左平移2 个单位， 再沿 y 轴向上平移1 个单位， 所得的图像是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)x(f
9、的表达式为（）（A）2x0,22x,0 x1,2x2)x(f（B）2x0, 22x,0 x1,2x2)x(f（C）4x2, 12x2x1,2x2)x(f（D）4x2, 32x2x1 ,6x2)x(f解析：由图像求得解析式1x0, 1x20 x2, 12x)x(h将)x(g向左平移 2 个单位，向上平移1 个单位得到)x(h的图像，所以3x2, 4x2,2x0, 12x)x(g因为)x(g)x(f与的图像关于xy对称，所以)x(g)x(f与互为反函数。所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
10、 - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2x0,22x, 0 x1, 2x2)x(g)x(f1所以选（ A）。十一、轨迹法设出函数图像上任一点P（x,y），根据题意建立关于x,y 的方程，从而求出函数解析式的方法。例 11. 已知函数)x(fy的图像与函数)0 x(xlog)x(g2的图像关于原点对称，求)x(f的解析式。解：设)x(fy的图像上任一点P（x，y），P 关于原点的对称点)y,x( P在)x(gy的图像上，所以)x(logy),x(logy22，所以函数值域的八大求法刘俊求函数值域是高考的热点，同时也是大家学习中的一个难点，在求函数值域时本人总结
11、以下八种方法，供大家参考。方法一：观察法例 1. 求函数2x4y的值域。解析：由 2, 0 x4,0 x40 x222知及。故此函数值域为2,0。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法二：不等式法例 2. 求函数)0 x(x) 1x(y222的值域。解析：4x1x2x1x2xx)1x(y22224222，此函数值域为),4。评注：此方法在解答综合题时可屡建奇功！方法三：反函数法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -
12、例 3. 求函数)4x(2x1xy的值域。解析：由2x1xy得y11y2x。由4x，得4y11y2，解得1y25y或。此函数值域为),25) 1 ,(。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x 为一次的情形。方法四：分离常数法例 4. 求函数6x13x6)1x(6y2422的值域。解析：6x13x66x12x66x13x6) 1x(6y2424242225242511x613x6116x13x6x122242。从而易知此函数值域为 1 ,2524。评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如)adbc,0a(baxdcxy的值域为),ac()ac,(。方法五：判别式法例 5. 求函数1x
13、x1xy22的值域。解析：原式整理可得0)1y(yxx)1y(2。当01y即1y时，2x原式成立。当01y即1y时，0)1y()1y(4y2，解得552y552y或。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 综上可得原函数值域为),552552,(。评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y时的情况。方法六：图象法例 6. 求函数1x1y)0 x(1的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),
14、1( 2,(。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。y 0 1 2 x -1 (1,-1) -2 方法七：中间变量法例 7. 求函数5x3xy22的值域。解析：由上式易得1y3y5x2。由1y53y,01y3y5, 0 x2或解得知。故此函数值域为), 1(53,(。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法例 8. 求函数3x2xy的值域。解析：因为22) 1x(y2，故此函数值域为), 2。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -