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1、第九章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分,一、有向曲面,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，,在曲面的上侧cosg 0，,在曲面的下侧cosg 0,g (,闭曲面分为内侧与外侧,类似地， 如果曲面的方程为yy(z, x)，则曲面分为左侧与右侧， 在曲面的右侧cosb 0， 在曲面的左侧cosb 0,如果曲面的方程为xx(y, z)，则曲面分为前侧与后侧， 在曲面的前侧cos a
2、0， 在曲面的后侧cosa 0,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,分别是曲面在点（x,y,z)的法线向量与X，Y，Z轴正向的夹角,类似地有：,其中,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,实例: 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,有向面积元,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,三、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,(前正后负),(上正下负),(右正左负),这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,要点为：,代：将曲面的方
3、程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,一代、二投、三定号,曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,解,例2 计算,所截得的在第一卦限的部分的前侧,解,例3 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,注,对坐标的曲面积分的对称性,被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按,x,y,z,顺序代换后原式不变,积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同,例4 计算,解,上侧,下侧,四、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系:,解,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,