《大学课件 高等数学 下学期 9-3(1)(格林公式).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学课件 高等数学 下学期 9-3(1)(格林公式).ppt（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三节 格林公式及其应用,一、格林公式,1. 区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一简单闭曲线所围,单连通区域,格林公式,设闭区域D由分段光滑的,曲线L围成,在D上具有,一阶连续偏导数,则有,2. 格林公式,公式(1)称,其中L是 D的取正向的边界曲线.,格林公式.,当观察者沿边界行走时,(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;,(2) 曲线L是封闭的,并且取正向.,注,规定,边界曲线L的正向,区域D总在他的,左边.,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直
2、线,和L至多交于两点.,同理可证,(2) 再对一般单连通区域证明:,若区域D由一条按段光,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,滑的闭曲线围成.,(3) 对复连通区域证明:,由(2)知,若区域不止由一条闭曲线,添加直线段,则D的边界曲线由,及,构成.,所围成.,G,F,便于记忆形式:,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,二重积分,(1) 计算平面面积,3. 简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,例1 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,(2) 简化曲线积分的计算,例2,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑
3、通过格林,公式化为二重积分来计算.,(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;,(2) 曲线L是封闭的,并且取正向.,例3,计算,分析,但由,可知,非常简单.,的上半圆周,到点,此积分路径,不是闭曲线!,为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成,闭曲线.,所以,因而这里补加直线段,直线段.,通常是补充与坐标轴平行的,由格林公式,解,的方程为,故,所以,(3) 简化二重积分,则,解,令,例4,为顶点的三角形闭区域.,格林公式,解,记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.,例5,令,有,即L为不包围原点,的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,注意格林公式的条件,其中l 的方向取,逆时针方向,练习,计算,L是圆周:,如把圆周写成参数方程:,再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.,答案:,分析,则过程较麻烦.,格林公式,小结,单(复)连通区域的概念,格林公式的实质,的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间,注意使用条件,