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1、第八章 重积分第三节 三重积分的概念与计算,问题的提出：,设空间立体 V 的密度函数为,求立体 V 的质量 M,为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、,求和、取极限四个步骤.,首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积,记为,一、三重积分的概念,f ( x, y, z )，,其次在每个小块 Vi 上任取一点,则 Vi 的质量,然后对每个小块 Vi 的质量求和：,最后，取极限,其中,三重积分的定义,方法1：“先一后二”法（也称为投影法）,二、在直角坐标系下计算三重积分,如图，,则,注意,例1 设有一物体=0,1;0,1;0,1(即长方体)它在点
2、p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质量M.,解,即把一个三重积分化为三个定积分的积.,当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容易安排,例2 计算三重积分,其中为三个坐标,面及平面x+2y+z=1所围成,的闭区域.,解:作闭区域,如图示. 把投影到xoy平面上， 得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB 的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以,在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是,立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 V 的立体的体积为,解,方法2：“
3、先二后一”法（或称截面法）,解,原式,注：由上面两个例题可知，当被积函数只是单变量,三、在柱面坐标系下计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,柱面坐标系中的三重积分计算也是化为三次积分进行计算. 化为三次积分时，积分限的确定是根据,在积分区域 中的变化范围来确定的. 例如积分区域 在xOy平面上的投影区域为D（用极坐标表示），且 可表示为,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,所围成立体的投影区域如图，,例8 设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底 面在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧
4、面为圆柱面 x2+y2=1.求其质量m .,解: 设密度函数(x,y,z)=,积分区域为截头圆柱体,我们采用柱面坐标来计算,在xoy平面的投影D为圆x2+y21. 在极坐标下，,x+y+z=3,x2+y2=1,3,3,3,z,x,y,二、利用球面坐标计算三重积分,球面坐标与直角坐标的关系为,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标系中的体积元素为,如图，,例10 计算三重积分,r,x,z,y,其中是球形闭区域:x2+y2+z22z.,立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 V 的立体的体积为,解,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,五、三重积分换元法,例14 求,其中 V 为由,与,所确定的区域.,解,作广义球坐标变换,于是,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,思考题,思考题,选择题:,