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1、关于应用随机过程第关于应用随机过程第三章三章第1页，此课件共42页哦用，用，计数过程有着广泛的应计数过程有着广泛的应如如：某某商商店店一一段段时时间间内内购购物物的的顾顾客客数数；呼呼叫叫的的次次数数；某某段段时时间间内内电电话话转转换换台台加油的人数等。加油的人数等。加油站一段时间内等候加油站一段时间内等候间间中中发发生生的的事事件件个个数数是是如如果果在在不不相相交交的的时时间间区区程程有有独独立立增增量量。独独立立的的，则则称称该该计计数数过过即当即当,321ttt 是独立的。是独立的。与与有有)(-)()(-)(2312tXtXtXtX。即即对对一一切切则则计计数数过过程程有有平平稳稳
2、增增量量时时间间区区间间的的长长度度于于事事件件个个数数的的分分布布只只依依赖赖若若在在任任一一时时间间区区间间中中的的,中中事事件件个个数数，在在及及,(02121stststt 中事件的个数中事件的个数与区间与区间,()()(2112ttstNstN 有有相相同同的的分分布布。)()(12tNtN 第2页，此课件共42页哦 Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission引入。.质质某某些些级级数数过过程程的的主主要要性性独独立立增增量量和和平平稳稳增增量量是是.平平稳稳增增量量的的计计数数过过程程过过程程是是具具有有独独
3、立立增增量量和和Poisson第3页，此课件共42页哦定义3.2：如果如果；0)0()1(N)0(0),(称称为为参参数数为为计计数数过过程程ttN过过程程，Poisson过过程程具具有有独独立立增增量量；)2(,0,)3(ts对对任任意意的的)(-)(nsNstNP !ntent）（且且过过程程具具有有平平稳稳增增量量知知，注注：由由条条件件,)3(PoissonttNE )(的平均次数，的平均次数，是单位时间内发生事件是单位时间内发生事件显然，可以认为显然，可以认为。发发生生率率起起率率过过程程的的强强度度或或速速度度或或生生为为称称)(Poisson 第4页，此课件共42页哦例3.1：的
4、的平平均均速速度度到到达达，人人设设顾顾客客到到达达商商店店依依次次h/3试试求求开开门门分分布布，已已知知商商店店上上午午且且服服从从,00:9Poisson名名顾顾客客的的概概率率？这这一一小小时时内内最最多多有有到到从从500:1000:9)1(位顾客的概率？时总计已达到时仅到一位顾客，而到到500:1200:10)2(.,)3(.)2(,0)1(),3()1(,2.3:过程的等价定义过程的等价定义为此给出如下为此给出如下如何去判定如何去判定一般完全不清楚一般完全不清楚然而条件然而条件证证程的实际情况去直接验程的实际情况去直接验通常可以从我们对过通常可以从我们对过条件条件开始开始说明计数
5、过程从说明计数过程从条件条件则必须验证是否满足则必须验证是否满足过程过程是不是是不是数过程实际上数过程实际上为了确定一个任意的计为了确定一个任意的计知知从定义从定义注注PoissonPoisson 解：第5页，此课件共42页哦定义3.2:一计数过程0),(ttN 称称为为参参数数为为过过程程，若若满满足足：的的Poisson；0)0()1(N)2(是独立增量及平稳增量过程，即任取Nntttn ,021)()(,),()(),0()(1121 nntNtNtNtNNtN相互独立；)()()(,0,0,ntNPntNtsNPnts 且且有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)3(ht)(1)
6、()(hhtNhtNP 有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)4(ht)(2)()(htNhtNP 第6页，此课件共42页哦定义3.2的解释:的的现现象象可可为为什什么么实实际际中中有有那那么么多多,?其其根根据据是是稀稀有有事事件件原原理理过过程程来来反反映映呢呢以以用用Poisson到到：在在概概率率论论中中我我们们已已经经学学.,过过程程中中这这一一现现象象也也体体现现在在随随机机分分布布二二项项分分布布会会逼逼近近实实验验的的次次数数很很多多时时而而的的概概率率很很小小试试验验中中，每每次次试试验验成成功功PoissonBernoulli第7页，此课件共42页哦分分布布。的的参
7、参数数为为将将服服从从分分布布的的二二项项逼逼近近可可知知，数数。由由试试验验中中试试验验成成功功的的总总次次次次独独立立就就相相当当于于给给出出的的平平稳稳增增量量再再由由不不发发生生的的为为失失败败次次为为成成功功其其中中发发生生PoissonttNPoissonBernoullintN)()(,)2(,1事事件件发发生生一一次次的的概概次次以以上上的的概概率率次次或或发发生生件件时时，在在每每个个小小区区间间内内事事可可知知，当当条条件件则则由由个个相相等等的的时时间间小小区区间间，划划分分为为首首先先，将将.022)4(,0(nnt.1,),(试试验验次次这这恰恰好好是是很很小小显显然
8、然率率Bernoulliphntp 第8页，此课件共42页哦定理3.1:是是等等价价的的。与与定定义义定定义义 2.32.3证明：证明：2.3 2.3定定义义定定义义)()()()(nsNtsNPntNPtPn 由增量平稳性，记：0 n（I）情形：因为0,0)()(,0)(0)(htNhtNtNhtN我们有：)()(0)()(0)(0)()(,0)()(000hPtPtNhtNPtNPtNhtNtNPhtP 另一方面)(10)()()(0hhtNhtNPhP 第9页，此课件共42页哦代入上式，我们有：hhtPhtPhtP)()()()(000 令0h我们有：tetPNPPtPtP )(10)0
9、()0()()(0000（II）0 n情形：因为：nlltNhtNlntNtNhtNntNtNhtNntNnhtN2)()(,)(1)()(,1)(0)()(,)()(第10页，此课件共42页哦故有：)()()()(1)()(1hhhtPhhtPhtPnnn 化简并令0h得：)()()(1tPtPtPnnn 两边同乘以te，移项后有：0)0()0()()(1nNPPtPetPetddnntnt 当1 n时，有：ttettPPtPetdd )()(0)0(,)(111第11页，此课件共42页哦由归纳法可得：0,!)()(NnenttPtnn 注意：ttNEttNE)()(因此 代表单位时间内事件
10、A出现的平均次数。第12页，此课件共42页哦 2.32.3定义定义定义定义1)()(tNhtNP1)0()(NhNP!1)(1heh 0!)(nnnhh )(1(hohh )(hoh 成立。成立。)3(2)()(tNhtNP2)0()(NhNP 2!)(nnhnhe 2!)(nnhnhe 1!)(0hnhennh 1heehh hhhee 1)(h 成成立立。)4(第13页，此课件共42页哦例3.2：求求过过程程的的服服从从强强度度为为，设设,0)(PoissonttN ;4)5(1(NP）;9)12(,4)5(2(NNP）.4)5(|9)12(3(NNP）第14页，此课件共42页哦例3.3：
11、过过程程的的的的发发生生形形成成强强度度为为事事件件PoissonA,0),(ttN能能够够被被记记概概率率如如果果每每次次事事件件发发生生时时以以P过过程程。的的是是一一个个强强度度为为则则数数，时时刻刻记记录录下下来来的的事事件件总总表表示示录录下下来来，并并以以PoissonPttMttM 0),()(第15页，此课件共42页哦例3.4：考察了男女考察了男女的客源情况的客源情况某商场为调查顾客到来某商场为调查顾客到来,客客？大大？平平均均有有多多少少女女性性顾顾是是女女性性顾顾客客的的概概率率有有多多位位问问其其中中有有人人到到达达的的条条件件下下时时刻刻已已有有已已知知应应该该服服从从
12、什什么么分分布布？到到达达商商场场顾顾客客的的总总人人数数过过程程。人人的的人人与与每每分分钟钟别别是是独独立立服服从从每每分分钟钟的的人人数数分分假假设设男男女女顾顾客客到到达达商商场场顾顾客客来来商商场场的的人人数数30,50)2()1(21.tPoisson第16页，此课件共42页哦作业1：过过的的概概率率。分分钟钟内内至至少少有有一一辆辆车车通通）在在（数数方方差差。分分钟钟内内平平均均通通过过的的车车辆辆）在在（数数。分分钟钟内内平平均均通通过过的的车车辆辆在在辆辆车车通通过过的的概概率率。分分钟钟内内有有多多于于）求求（概概率率为为分分钟钟内内没没有有车车辆辆通通过过的的如如果果过
13、过程程，流流可可以以看看做做设设通通过过某某十十字字路路口口的的车车54535)2(121.2.01Poisson作业2：第三章习题3.5第17页，此课件共42页哦3.2 Poisson过程相联系的若干分布的的阶阶梯梯型型函函数数。跳跳跃跃度度为为的的一一条条样样本本路路径径一一般般是是过过程程10),(ttNPoisson.0,2,1:0 TnnnTn定定：次次事事件件的的等等待待时时间间，规规称称为为第第次次事事件件发发生生的的时时刻刻，也也是是显然显然.1,1,2,1:也也称称为为时时间间间间隔隔序序列列间间隔隔，序序列列次次事事件件发发生生的的时时间间次次与与是是 nXnnnXnnnT
14、 niiX1nX1 nnTT第18页，此课件共42页哦复习：1.指数分布000)(xxexfx )()(xXPxF dttfx )(0001 xxex 2.无记忆性若随机变量满足若随机变量满足)|(sXPtXtsXP 是是无无记记忆忆性性的的。则则称称随随机机变变量量 X）（指数分布无记忆性（指数分布无记忆性.的无记忆性表示为：的无记忆性表示为：则则看做某仪器的寿命看做某仪器的寿命如果将如果将XX,小时小时它至少工作它至少工作小时的条件下小时的条件下在仪器已工作了在仪器已工作了tst,的概率的概率小小时时的的概概率率是是相相同同的的。与与它它原原来来至至少少工工作作 s第19页，此课件共42页
15、哦的的分分布布和和一一、nnTX定理3.2：.,2,1,且且相相互互独独立立的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为 nXn结论：),(EX若若,0,0 ts则则对对任任意意的的恒有：恒有：)|(tXtsXP sXP .,).(),(,2.3相相对对应应忆忆性性无无记记与与指指数数分分布布的的无无记记忆忆性性过过程程换换言言之之增增量量由由平平稳稳分分布布且且有有与与过过程程完完全全一一样样的的由由独独立立增增量量切切立立于于先先前前已已发发生生的的一一即即从从任任何何时时刻刻起起过过程程独独开开始始重重新新因因此此过过程程在在任任何何时时刻刻都都过过程程有有平平稳稳独独立立增增量量因因中中的
16、的的的结结果果应应该该是是在在预预料料之之注注：定定理理Poisson第20页，此课件共42页哦：过过程程的的又又一一种种定定义义方方法法给给出出了了定定理理Poisson2.3定义3.3：,21XX间间间间隔隔如如果果每每次次事事件件发发生生的的时时.0),(过过程程的的是是一一个个强强度度为为数数过过程程的的指指数数分分布布，这这该该计计数数相相互互独独立立且且服服从从同同一一参参PoissonttN 注：个个质质点点的的点点间间间间距距是是如如果果任任意意相相继继出出现现的的两两.过过程程的的点点流流构构成成强强度度为为的的指指数数分分布布，则则质质参参数数为为相相互互独独立立，且且服服
17、从从同同一一Poisson 同同一一指指数数分分布布。且且服服从从间间间间距距是是否否独独立立只只要要用用统统计计方方法法检检验验点点过过程程不不是是要要确确定定一一个个计计数数过过程程是是告告诉诉我我们们定定理理,2.3Poisson第21页，此课件共42页哦例3.5:(见书例3.4)的的概概率率是是多多少少？个个人人接接受受服服务务离离去去，已已有有为为止止平平均均有有多多少少人人已已经经的的指指数数分分布布，则则到到中中午午并并服服从从均均值值为为间间是是独独立立的的且且每每个个人人接接受受服服务务的的时时有有一一名名服服务务员员只只等等候候服服务务开开始始有有无无穷穷多多个个人人排排队
18、队：设设从从早早上上900:12min20,008第22页，此课件共42页哦例3.6:其期望。布及需要等待时间的概率分汽车的乘客在此车站所共问可乘坐甲或乙两路公假定车总不会满员，试布分的乙分钟一辆，甲辆分钟分别服从两路汽车的达到通过某一站甲、乙两路公共汽车都.)(15)(110,Poisson第23页，此课件共42页哦定理3.3：.,2,1,的的分分布布的的和和服服从从参参数数为为 nnTn证明：第24页，此课件共42页哦件件分分布布二二、事事件件发发生生时时刻刻的的条条用用。件件分分布布相相关关性性质质及及其其应应的的条条的的条条件件下下，讨讨论论在在给给定定nTTTntN,)(21 引理：
19、,0),(过过程程是是假假设设PoissonttN,0ts 则则有有)1)(|(1 tNsTPts 发发生生的的时时刻刻只只发发生生一一次次的的前前提提下下内内即即在在已已知知AAt,0.,0上是均匀分布上是均匀分布在在t过过程程具具有有平平稳稳独独立立因因为为Poisson间间内内发发生生的的的的任任何何相相等等长长度度的的子子区区事事件件在在增增量量1,0,概率是等可能的概率是等可能的.,0上的均匀分布上的均匀分布即它的条件分布是即它的条件分布是t第25页，此课件共42页哦自自然然我我们们要要问问：的的情情况况？）这这个个性性质质能能否否推推广广到到1,)(1(nntN过过程程特特有有的的
20、？本本定定理理的的）这这个个性性质质是是否否是是（Poisson2性性质质：首首先先讨讨论论顺顺序序统统计计量量的的逆逆命命题题是是否否成成立立？:,),(,1,0,21(212121(21)(21的的联联合合密密度度为为则则顺顺序序统统计计量量变变量量且且具具有有概概率率密密度度随随机机是是独独立立同同分分布布的的连连续续型型量量。若若的的顺顺序序统统计计是是对对应应于于，则则称称个个最最小小值值，中中第第是是个个随随机机变变量量，如如果果是是设设）（）（）（）（）ninnnnknYYYyfYYYYYYYYYnkkYYYYnYYY),(21nyyyf niiyfn1)(!),(21nyyy
21、第26页，此课件共42页哦原因：任任一一个个；个个排排列列中中的的的的等等于于，而而）将将等等于于（!),(),(),(,)1212121)()2()1(nyyyYYYyyyYYYnnnn的的概概率率密密度度等等于于时时，的的一一个个排排列列是是当当（),(),(),(),()221212121nniiinniiiyyyYYYyyyyyy)()()(21niiiyfyfyf niiyf1)(注：上上独独立立同同均均匀匀分分布布，都都在在若若),0(,2,1,tniYi)1)(tyfi 即即的联合的联合则其顺序统计量则其顺序统计量),()()2()1(nYYY密密度度函函数数是是),(21nyy
22、yfntn!),0(21tyyyn ),(21niiiyyyf第27页，此课件共42页哦定理3.4：合合分分布布密密度度是是：的的联联个个时时刻刻的的条条件件下下，事事件件发发生生的的则则在在已已知知过过程程为为设设nTTTnntNPoissonttN,)(,0),(21 ),(21ntttfntn!),0(21ttttn 第28页，此课件共42页哦的的联联合合分分布布。的的顺顺序序统统计计量量相相互互独独立立的的随随机机变变量量个个区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布的的上上式式恰恰好好是是注注）（）（）nnYYYYYYnt,0:21(21直观上理解：直观上理解：上上的的均均匀匀分分布布。随
23、随机机变变量量，且且服服从从可可看看做做相相互互独独立立的的不不排排序序发发生生的的时时刻刻事事件件次次事事件件的的前前提提下下，各各次次内内发发生生了了在在已已知知,0)(,021tTTTntn第29页，此课件共42页哦例3.7:(见书例3.5)乘乘客客来来到到的的时时刻刻。个个是是第第其其中中总总和和的的期期望望值值，即即要要求求的的内内达达到到的的乘乘客客等等待待时时间间启启程程，计计算算在在在在时时刻刻火火车车过过程程来来到到某某火火车车站站的的乘乘客客按按照照强强度度为为iTTtEttPoissonitNii),(,0(,)(1 第30页，此课件共42页哦定义3.2：如果如果；0)0
24、()1(N)0(0),(称称为为参参数数为为计计数数过过程程ttN过过程程，Poisson过过程程具具有有独独立立增增量量；)2(,0,)3(ts对对任任意意的的)(-)(nsNstNP !ntent）（且且过过程程具具有有平平稳稳增增量量知知，注注：由由条条件件,)3(PoissonttNE )(的平均次数，的平均次数，是单位时间内发生事件是单位时间内发生事件显然，可以认为显然，可以认为。发发生生率率起起率率过过程程的的强强度度或或速速度度或或生生为为称称)(Poisson 第31页，此课件共42页哦定义3.2:一计数过程0),(ttN 称称为为参参数数为为过过程程，若若满满足足：的的Poi
25、sson；0)0()1(N)2(是独立增量及平稳增量过程，即任取Nntttn ,021)()(,),()(),0()(1121 nntNtNtNtNNtN相互独立；)()()(,0,0,nsNPntNtsNPnts且有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)3(ht)(1)()(hhtNhtNP 有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)4(ht)(2)()(htNhtNP 第32页，此课件共42页哦3.3 Poisson过程的推广一、非齐次Poisson过程.,过过程程过过程程被被推推广广为为非非齐齐次次有有关关系系时时而而与与时时间间不不再再是是常常数数过过程程的的强强度度当当Po
26、issonPoissontPoisson 放放射射性性变变化化出出故故障障的的可可能能性性会会随随之之用用年年限限的的变变化化由由于于设设备备使使率率时时例例如如在在考考虑虑设设备备的的故故障障较较常常用用的的过过程程也也是是比比非非齐齐次次在在实实际际中中例例如如书书例例的的过过程程是是不不具具备备平平稳稳增增量量非非齐齐次次一一般般来来说说;,.,).6.3(,PoissonPoisson过过程程来来处处理理。于于是是改改用用非非齐齐次次不不合合适适了了过过程程来来描描述述就就再再用用齐齐次次在在这这样样的的情情况况下下等等着着年年龄龄和和季季节节而而变变化化昆昆虫虫产产卵卵的的平平均均数
27、数量量随随变变化化化化而而随随之之会会因因各各种种外外部部条条件件的的变变物物质质的的衰衰变变速速度度PoissonPoisson,.;,第33页，此课件共42页哦定义3.4:过过程程，若若满满足足：的的非非齐齐次次 Poisson；0)0()1(N)2(过程有独立增量；有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)3(ht)()(1)()(hhttNhtNP 有有和和充充分分小小的的对对任任意意,0,0)4(ht)(2)()(htNhtNP 0),(0),(ttttN 称称为为参参数数为为计计数数过过程程过过程程中中，在在非非齐齐次次 poisson均值均值.)(0 tdsstm）过程有如下
28、等价定义：过程有如下等价定义：非齐次非齐次Poisson第34页，此课件共42页哦定义3.5：；0)0()1(N过过程程具具有有独独立立增增量量；)2(0),(0),(ttttN 称称为为参参数数为为计计数数过过程程过过程程，若若满满足足：的的非非齐齐次次 Poisson具具有有参参数数为为对对任任意意实实数数）)()(,0,03(tNstNst 分分布布。的的 sttPoissonduutmstm)()()(可证：可证：)(-)(ntNstNP !)()()()(expntmstmtmstmn 注2:定义3.4与定义3.5是等价的。注1:我们称m(t)为非齐次Poisson过程的均值或强度。
29、第35页，此课件共42页哦定理3.5：0),(0),(ttttN 是是一一个个强强度度为为设设过过程程，的的非非齐齐次次 Poisson令令对对任任意意实实数数,0 t),()(1*tmNtN 的的齐齐次次是是一一个个强强度度为为则则1)(*tN过过程程。Poisson注3:用此定理可以简化非齐次Poisson过程的问题到齐次Poisson过程中进行讨论。另一方面也可以进行反方向的操作，即从一个参数为 的Poisson构造一个强度函数为 的非齐次Poisson过程。)(t 定理3.5：.1,0),(且且过程过程是齐次是齐次设设PoissonuuM,0),(ss 若若强强度度函函数数 tdsst
30、m0,)()(令令),()(tmMtN 的的是是具具有有强强度度为为则则)()(stN 过过程程。非非齐齐次次Poisson（一般了解）第36页，此课件共42页哦例3.9:(见书例3.7)维维修修过过一一次次的的概概率率。次次。试试求求它它在在使使用用期期内内年年需需要要维维修修一一年年平平均均年年需需要要维维修修一一次次，后后年年内内它它平平均均年年，在在前前设设某某设设备备的的使使用用期期限限为为255.2510第37页，此课件共42页哦二、复合Poisson过程定义3.6:如果对于如果对于过程过程为复合为复合称称,0),(PoissonttX 可可以以表表示示为为：)(,0tXt )(1
31、)(tNiiYtX也也是是独独立立的的。并并且且与与机机变变量量是是一一族族独独立立同同分分布布的的随随过过程程，是是一一个个其其中中0),(,2,1,0),(ttNiYPoissonttNi，过过程程不不一一定定是是计计数数过过程程容容易易看看出出：复复合合Poisson过程。过程。为常数时，可化为为常数时，可化为但当但当PoissoncicYi,2,1,物理意义:0,)(ttN如表示粒子流，,0)(ttN表示表示个个粒粒子子表表示示第第内内到到达达的的粒粒子子数数iYi的能量，的能量，表示表示则则)(tX。内内到到达达的的粒粒子子的的总总能能量量,0t第38页，此课件共42页哦例3.10:
32、(见书例3.8)发发生生的的时时刻刻无无关关，则则，每每次次的的索索赔赔数数额额与与它它分分布布且且有有同同都都相相互互独独立立，每每次次要要求求赔赔付付的的金金额额过过程程数数服服从从一一个个保保险险公公司司接接到到的的索索赔赔次次FYtNPoissoni,)(过过程程，其其中中一一个个复复合合就就是是付付的的总总金金额额时时间间内内保保险险公公司司需需要要赔赔PoissontXt)(,0 )(1)(tNiiYtX第39页，此课件共42页哦例3.11:(见书例3.9 顾客成批到达的排队系统)过过程程来来描描述述。合合顾顾客客总总人人数数也也可可用用以以复复时时间间内内到到达达服服务务系系统统
33、的的则则在在也也独独立立并并且且与与相相互互独独立立假假定定到到达达的的顾顾客客数数表表示示在在时时刻刻时时有有多多名名顾顾客客到到达达可可以以同同在在每每个个时时刻刻过过程程的的为为形形成成一一强强度度间间设设顾顾客客到到达达某某系系统统的的时时PoissontSnYSYnSPoissonSSnnnnn,0,2,1,.2,1,21 第40页，此课件共42页哦定理3.6：,0,)()(1过过程程是是一一复复合合设设PoissontYtXtNii 则则的的强强度度为为过过程程,0),(ttNPoisson有有独独立立增增量量；)()1(tX则则若若）,)(2(2 iYE),()(1YtEtXE ).()(21YtEtXVar 第41页，此课件共42页哦感谢大家观看第42页，此课件共42页哦