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1、第三章随机过程第1页，共54页，编辑于2022年，星期二3.1 引言引言v随机信号随机信号如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号。知，这种信号就称为随机信号。v随机噪声随机噪声通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声，简称噪通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声，简称噪声。声。v随机噪声和随机信号统称为随机过程随机噪声和随机信号统称为随机过程第2页，共54页，编辑于2022年，星期二随机变量随机变量 在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，则称变
2、量为随机变量。示，如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。个随机变量。当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机变量。否则就称为连续随机变量。变量。否则就称为连续随机变量。第3页，共54页，编辑于2022年，星期二v概率分布函数概率分布函数F(x)定义随机变量定义随机变量X的概率分布函数的概率分布函数F(x)是是X取小于或等于取小于或等于某个数值某个数值x的概率的概率P(Xx)，即，即 F(x)=P(X x)上述定义中，随机变量上述定
3、义中，随机变量X可以是连续随机变量，也可以可以是连续随机变量，也可以是离散随机变量。是离散随机变量。对于离散随机变量，其分布函数可表示为对于离散随机变量，其分布函数可表示为 式中式中 ，是随机变量，是随机变量X取值为取值为xi的概率。的概率。随机变量的统计特征随机变量的统计特征第4页，共54页，编辑于2022年，星期二v概率密度函数概率密度函数f(x)概率密度函数是分布函数的导数。从图形上看，概率密度就概率密度函数是分布函数的导数。从图形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。是分布函数曲线的斜率。概率密度函数有如下性质：概率密度函数有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）第5页，共54页，编
4、辑于2022年，星期二第6页，共54页，编辑于2022年，星期二第7页，共54页，编辑于2022年，星期二第8页，共54页，编辑于2022年，星期二随机变量的数字特征随机变量的数字特征 前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布，而只题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的统计平想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均值的偏离均值，以
5、及随机变量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。机变量的数字特征。第9页，共54页，编辑于2022年，星期二v数字期望数字期望 数字期望数字期望（简称均值）是用来描述随机变量（简称均值）是用来描述随机变量X的统的统计平均值，它计平均值，它反映随机变量取值的集中位置反映随机变量取值的集中位置。对于离散随机变量对于离散随机变量X，设，设 是其取值是其取值xi 的的概率，则其数字期望定义为概率，则其数字期望定义为对于连续随机变量对于连续随机变量X，其数学期望定义为，其数学期望定义为式中，式中，f(x)
6、为随机变量为随机变量X的概率密度。的概率密度。第10页，共54页，编辑于2022年，星期二数学期望的性质如下：数学期望的性质如下：（1）若）若C为一常数，则常数的数学期望等于常数，即为一常数，则常数的数学期望等于常数，即E(C)=C；（2）若有两个随机变量）若有两个随机变量X和和Y，它们的数学期望，它们的数学期望E(X)和和E(Y)存在，则存在，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。若随即变量若随即变量X1,X2,Xn的数学期望都存在，则的数学期望都存在，则E(X1+X2+Xn)也存在，且有也存在，且有E(X1+X2+Xn)E(X1)+E(X2)+E(Xn)第11页，共54页，编辑于2022年，
7、星期二（3）若随机变量）若随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且E(X)和和E(Y)存在，则存在，则E(XY)也存在，且有也存在，且有 E(XY)=E(X)E(Y)v方差方差 方差反映随机变量的取值偏离均值的程度方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定。方差定义为随机变量义为随机变量X与其数学期望与其数学期望E(X)之差的平方的数学之差的平方的数学期望，即期望，即 DX=EX-E(X)2第12页，共54页，编辑于2022年，星期二n对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为式中，式中，Pi是随机变量是随机变量X取值为取值为xi 的概率。的概率。n对于
8、连续随机变量，方差的定义可表示为对于连续随机变量，方差的定义可表示为 另外，还可以表示为另外，还可以表示为第13页，共54页，编辑于2022年，星期二方差的性质如下：方差的性质如下：（1）常数的方差等于）常数的方差等于0，即，即DX=0；（2）设）设DX存在，存在，C为常数，则为常数，则 DX+C=DX D(CX)=C2D(X)；（3）设）设DX和和DY都存在，且都存在，且X和和Y相互独立，则相互独立，则DX+Y=DX+DY。对于多个独立的随机变量对于多个独立的随机变量X1,X2,Xn，不难证明有，不难证明有D(X1+X2+Xn)D(X1)+D(X2)+D(Xn)第14页，共54页，编辑于20
9、22年，星期二v随机过程随机过程随机试验随机试验E的可能结果为的可能结果为(s,t)，试验的样本空间，试验的样本空间S为为x1(t)、x2(t)xi(t),xi(t)为第为第i个样本函数。每次实验之个样本函数。每次实验之后，后，(s,t)取空间取空间S中的某一个样本函数，于是用中的某一个样本函数，于是用(s,t)表示该表示该随机过程，简记为随机过程，简记为(t)。几个基本概念几个基本概念v随机过程：所有样本函数的集合，随机过程：所有样本函数的集合，t与与s均可变；均可变；v样本函数：确定的时间函数，样本函数：确定的时间函数，t是变量，是变量，s是固定的；是固定的；v样本随机变量：样本随机变量：
10、t固定时，随机信号的状态固定时，随机信号的状态;v样本值：确定的数值，样本值：确定的数值，t与与s均固定均固定3.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念第15页，共54页，编辑于2022年，星期二(si,t)=xi(t),样本样本函数函数;(s,tk)=(tk),随机随机变量变量;(si,tk)=确定实数确定实数x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实实数数值值样样本本函函数数tkt(si,tk)第16页，共54页，编辑于2022年，星期二随机过程的两种基本表征随机过程的两种基本表征v样本函数集合样本函数集合v随机变量集合随机变量集合第17页，共54页，编辑于2022年，星期二v随机过程的
11、概率密度函数随机过程的概率密度函数一阶概率分布与密度函数一阶概率分布与密度函数二阶概率分布与密度函数二阶概率分布与密度函数随机过程的统计特征随机过程的统计特征 第18页，共54页，编辑于2022年，星期二v随机过程随机过程(t)的数字特征的数字特征数学期望数学期望方差方差自相关函数自相关函数第19页，共54页，编辑于2022年，星期二自协方差自协方差自相关函数和自协方差函数描述同一随机过程的相关自相关函数和自协方差函数描述同一随机过程的相关程度，与选择时刻程度，与选择时刻t1和和t2有关。有关。如果如果t2t1并令并令t2=t1+，有有即相关函数是时间起点即相关函数是时间起点t1以及时间间隔以
12、及时间间隔 的函数的函数互相关函数和互协方差函数描述不同随机过程的相关互相关函数和互协方差函数描述不同随机过程的相关程度程度第20页，共54页，编辑于2022年，星期二第21页，共54页，编辑于2022年，星期二第22页，共54页，编辑于2022年，星期二3.3 平稳随机过程平稳随机过程v统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平稳性的随机信号称为平稳随机过程稳性的随机信号称为平稳随机过程v观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察时刻的影响时刻的影响v严格平稳：全部统计特性平稳严格平稳：全部统计特性平稳v广义
13、平稳：部分统计特性平稳广义平稳：部分统计特性平稳均值平稳均值平稳自相关平稳自相关平稳第23页，共54页，编辑于2022年，星期二第24页，共54页，编辑于2022年，星期二v各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）统计平均等于样本函数的时间平均统计平均等于样本函数的时间平均均值各态历经性：统计均值等于时间均值均值各态历经性：统计均值等于时间均值v时间均值：设时间均值：设x(t)为为(t)的一个样本函数的一个样本函数相关函数各态历经相关函数各态历经:统计相关函数等于样本的时间相统计相关函数等于样本的时间相关函数关函数v样本的时间相关函数样本的时间相关函数各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过
14、程不各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一定是各态历经的。一定是各态历经的。第25页，共54页，编辑于2022年，星期二平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度v自相关函数主要性质：实平稳随机过程自相关函数主要性质：实平稳随机过程(t)第26页，共54页，编辑于2022年，星期二v平稳随机信号的频谱特性平稳随机信号的频谱特性随机信号的频谱特性用功率谱密度随机信号的频谱特性用功率谱密度P()来表示来表示广义平稳随机信号功率谱密度和自相关函数的关系广义平稳随机信号功率谱密度和自相关函数的关系维纳维纳-辛钦辛钦定理定理第27页，共54页，编辑于2022年，星
15、期二第28页，共54页，编辑于2022年，星期二第29页，共54页，编辑于2022年，星期二第30页，共54页，编辑于2022年，星期二3.5 高斯过程高斯过程v若随机变量若随机变量 的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成则称则称 为服从正态分布的随机变量。为服从正态分布的随机变量。a及及 2是两个是两个常量（均值及方差）常量（均值及方差）第31页，共54页，编辑于2022年，星期二v高斯随机过程的性质高斯随机过程的性质(1)若高斯过程是广义平稳的若高斯过程是广义平稳的,则它也是严平稳的则它也是严平稳的;(2)若几个高斯过程中的随机变量之间互不相关若几个高斯过程中的随机变量之间互不相关,
16、则这些高斯过程也是互不相关的则这些高斯过程也是互不相关的;(3)若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程;(4)高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型。高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型。第32页，共54页，编辑于2022年，星期二v概率密度函数图概率密度函数图a0 xf(x)f(x)f(x)关于关于x=ax=a对称对称f(x)f(x)在（在（-，a a）内单调）内单调上升，在（上升，在（a a，）内单调下）内单调下降，且在降，且在a a点最大点最大对不同的对不同的a a，表现为，表现为f(x)f(x)的的左右平移，对不同的左右平移，对不同的，f(x)f(x
17、)图形随图形随 的减小而变高变窄的减小而变高变窄第33页，共54页，编辑于2022年，星期二v标准正态分布标准正态分布v误差函数误差函数(P.473 附录附录B)定义定义主要性质主要性质verf(0)=0verf()=1verf(-)=-erf()第34页，共54页，编辑于2022年，星期二v补误差函数补误差函数定义定义主要性质主要性质verfc(0)=1verfc()=0verfc(-)=2-erfc()第35页，共54页，编辑于2022年，星期二v概率积分函数概率积分函数定义定义Q函数的主要性质函数的主要性质vQ(0)=1/2;vQ()=0;vQ(-）=1-Q()，0;第36页，共54页，
18、编辑于2022年，星期二v误差函数和概率积分函数的关系误差函数和概率积分函数的关系第37页，共54页，编辑于2022年，星期二3.6 窄带随机过程窄带随机过程v定义定义带宽带宽B远小于中心频率远小于中心频率fc的随机过程为窄带随机过程。的随机过程为窄带随机过程。P()c0-c c+m-c-m-c+m c-m 第38页，共54页，编辑于2022年，星期二一般表达式一般表达式va(t)为为(t)的包络函数的包络函数v (t)为为(t)的相位函数的相位函数窄带随机过程可以表示成两个相互正交的分量之和窄带随机过程可以表示成两个相互正交的分量之和第39页，共54页，编辑于2022年，星期二v性质性质一个
19、均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；差也相同；在同一时刻得到的同相分量在同一时刻得到的同相分量 c和正交分量和正交分量 s是不相关是不相关的或统计独立的；的或统计独立的；一个均值为零、方差为一个均值为零、方差为 2的平稳高斯窄带过程，其包的平稳高斯窄带过程，其包络络a(t)的一维分布是瑞利分布，而相位的一维分布的一维分布是瑞利分布，而相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，相位和包络是统是均匀分布，并且就一维分布而言，相位和包络是统计独
20、立的。计独立的。第40页，共54页，编辑于2022年，星期二3.7 正弦载波加窄带高斯过程正弦载波加窄带高斯过程 通信系统中传输的信号通常是一个正弦波作为载波通信系统中传输的信号通常是一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信号。这是通器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信号。这是通信系统中常
21、会遇到的一种情况，所以有必信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信要了解合成信号的包络和相位的统计特性。号的包络和相位的统计特性。第41页，共54页，编辑于2022年，星期二设正弦波加窄带高斯噪声的合成信号为设正弦波加窄带高斯噪声的合成信号为第42页，共54页，编辑于2022年，星期二式中，式中，分别为合成信号的随机包络和随机相位。可以证明，分别为合成信号的随机包络和随机相位。可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号，具有如正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号，具有如下统计特性：下统计特性：第43页，共54页，编辑于2022年，星期二正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞
22、正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（利分布（也称莱斯（Rice）分布），即其包络的）分布），即其包络的概率密度函数为概率密度函数为式中，式中，是是 的方差，的方差，为零阶修正贝赛尔函为零阶修正贝赛尔函数。数。x0时，时，是单调上升函数，且有是单调上升函数，且有 。第44页，共54页，编辑于2022年，星期二3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统线性系统线性系统输入输入 i(t)输出输出 o(t)第45页，共54页，编辑于2022年，星期二平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统v平稳随机过程平稳随机过程 i(t)通过线性系统后通过线性系统后,其输出过程
23、其输出过程 o(t)也是平稳的也是平稳的,且且v高斯过程经过线性变换后的过程仍为高斯过程。高斯过程经过线性变换后的过程仍为高斯过程。第46页，共54页，编辑于2022年，星期二白噪声白噪声v若噪声的功率谱密度若噪声的功率谱密度P()在所有频率上为一常数在所有频率上为一常数,则称为白噪则称为白噪声声.即即v白噪声只有在白噪声只有在=0点是相关的，点是相关的，而在任何两个时刻上的随机而在任何两个时刻上的随机变量都是不相关的。变量都是不相关的。P()第47页，共54页，编辑于2022年，星期二白噪声通过理想低通滤波器白噪声通过理想低通滤波器v传递函数传递函数v功率传递函数功率传递函数v输出功率谱输出功率谱第48页，共54页，编辑于2022年，星期二0-/m/m-m m-2/m2/m其中，m=2 fmv输出功率输出功率 第49页，共54页，编辑于2022年，星期二白噪声通过理想带通滤波器白噪声通过理想带通滤波器v传递函数传递函数v功率传递函数功率传递函数第50页，共54页，编辑于2022年，星期二v输出功率谱输出功率谱v输出功率输出功率 l0 h-h-l第51页，共54页，编辑于2022年，星期二第52页，共54页，编辑于2022年，星期二第53页，共54页，编辑于2022年，星期二第54页，共54页，编辑于2022年，星期二