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1、 正态过程（高斯过程）正态过程（高斯过程） 独立过程独立过程 独立增量过程独立增量过程 维纳过程维纳过程 泊松过程泊松过程 马尔可夫过程马尔可夫过程 生灭过程生灭过程 4 几种重要的随机过程4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） 定义定义1 1：如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X为服从参数的为服从参数的正态分布正态分布，记为，记为 ，其中，其中， 为均值；为均值； 为方差。分布函数为为方差。分布函数为当当 时的正态分布称为时的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记，记为为 。分布函数。分布函数22()21( ), 2xf xex 2( ,)
2、XN 220, 122()21( )()2txxF xedt ( )( )F xx (0,1)XN4.1 正态过程正态过程(高斯过程高斯过程)4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） 定义定义2 2：如果如果n n维随机变量维随机变量 的概率密度为的概率密度为其中，其中， 为均值向量，为均值向量， 为协方差矩阵，为协方差矩阵，则称则称X服从服从n n维正态分布维正态分布，称称X为为n n维正态随机变量维正态随机变量 。 n n维正态分布完全由一阶矩和二阶矩所确定。维正态分布完全由一阶矩和二阶矩所确定。1()21221( )(2)|nfe-1x -) C(x -xC12(
3、,)nXXXX12(,)nx xx x12(,)n(), cov(,)ijn nijijccXXC4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）中心极限定理：中心极限定理：设设 是是n n个相互独立同分布的个相互独立同分布的随机变量，每个随机变量的均值为随机变量，每个随机变量的均值为 ，方差为，方差为 ，则，则即即 的极限分布为标准正态分布的极限分布为标准正态分布N(0,1)； 近似地服从正态分布近似地服从正态分布 。 该定理表明，若有大量相互独立的随机变量，且每个随该定理表明，若有大量相互独立的随机变量，且每个随机变量对它们之和的影响足够小时，则当这些随机变量的个机变量对它
4、们之和的影响足够小时，则当这些随机变量的个数趋于无穷大时，这些随机变量的和服从正态分布，而与每数趋于无穷大时，这些随机变量的和服从正态分布，而与每个随机变量的分布无关。个随机变量的分布无关。12,nXXX2121lim( )2ntixinXnPxedtxn 1niinXnZn21niiX2(,)N nn4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质： （1 1）（）（n n维正态分布的边沿分布维正态分布的边沿分布） 设设 是是n n维正态随机向量，则维正态随机向量，则X X的的任一子向量任一子向量 也服从也服从正态分布。正态分布。1
5、2(,)nXXXX12(,) ()mkkkXXXmnbX( ,)NXu C(,)NbbbXuC12(,) mkkkbCb是保留是保留C的第的第k1,k2,km行和列所得到的行和列所得到的mm矩阵矩阵4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质： （2 2）（）（独立性独立性） 定理定理1 1：n n维正态分布的随机变量维正态分布的随机变量 相互相互统计独立的充要条件是它们两两互不相关。统计独立的充要条件是它们两两互不相关。 定理定理2 2：若若X是是正态分布的随机向量，正态分布的随机向量，X1和和X2是是X的两个的两个子向量，即子
6、向量，即 ，则，则X1与与X2相互统计独立的充要条相互统计独立的充要条件是它们的互协方差矩阵为件是它们的互协方差矩阵为0 0。12,nXXX12(,)XX X4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质： （3 3）（）（线性变换线性变换） 设设 是是n n维正态随机变量，均值维正态随机变量，均值为为 ，协方差矩阵为，协方差矩阵为C。 若若 ，其中，其中 ，则，则 。 若若e= =(ejk)是是m n矩阵矩阵, , 是是m 1的列的列矩阵，即矩阵，即m m维向量，则，维向量，则， 。 12(,)nXXXX12(,)nEX1nkkk
7、Ya Xa X12(,)na aa a, E YD Ya a CaZeX, EDZeZeCe4.1.1 4.1.1 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质： （3 3）（）（线性变换线性变换） 定理定理1 1： 服从服从n n维正态分布维正态分布 的充要条件是它的任何一个线性组合的充要条件是它的任何一个线性组合 服从一维正态分布服从一维正态分布 。 定理定理2 2：若若 服从服从n n维正态分布维正态分布 ，而若，而若e= =(ejk)是是mn矩阵矩阵, ,则则 服从服从m m维正维正态分布态分布 。(,)Ne eCe12(,)nXXXX1nkkk
8、Ya Xa XZeX( ,)N C111(,)nnnkkkikikkiNaa aC12(,)nXXXX( ,)N C正态分布随机变量的线性变换不变性正态分布随机变量的线性变换不变性4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 定义：定义：若随机过程若随机过程X(t), t T, ,对于任意对于任意n个时刻个时刻t1, t2, tn T, n维随机变量维随机变量 X(t1), X(t2), X(tn) 的联合概率分布为的联合概率分布为n维正态分布，则称维正态分布，则称X(t), t T为为正态过程正态过程（或（或高斯过程高斯过程）。）。 概率分布：概率分布：-1121
9、221 211( ,; , , )exp()()(2 )|2nnnf x xx t ttx C x C12()()()nm tm tm t111212122212( ,)( ,)( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnC t tC t tC t tC ttC ttC ttC ttC ttC ttC特征函数：特征函数：121( ,)exp()2nu uui uu Cu4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 性质：性质： （1 1）正态过程）正态过程X(t), t T的的n维维概率密度及概率密度及特征函数完特征函数完全由它的均值向量和协方差矩阵所确
10、定。（全由它的均值向量和协方差矩阵所确定。（二阶矩过程二阶矩过程） （2 2）对于正态过程，独立性和不相关性是等价的。）对于正态过程，独立性和不相关性是等价的。 若一个正态过程若一个正态过程X(t), t T在在任意任意n个时刻个时刻t1, t2, tn T, 采样，所得的采样，所得的n维随机变量维随机变量X(t1), X(t2), X(tn) 两两互不相关，两两互不相关，则，这些则，这些随机变量也是相互独立的。随机变量也是相互独立的。 对于多个正态过程，若两两对于多个正态过程，若两两互不相关，则互不相关，则两两相互独立。两两相互独立。 证明证明 X(t1), X(t2), X(tn) 两两互
11、不相关，则协方差函两两互不相关，则协方差函数数 20, ,( ,), .ikiikC t tik当当21222000000nC212122100100100nC21| C |nii-1111221 2222112221111( , ,; , , )exp()()(2 )|2()11exp(2 )2()1exp( , )22nnnniinininniiiiiiiif x xx t ttxmxmf x tx C x Cn维正态概率密度维正态概率密度等于等于n个一维正态个一维正态概率密度的乘积。概率密度的乘积。4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 性质性质： （3
12、 3）对于正态过程，宽平稳与严平稳是等价的。）对于正态过程，宽平稳与严平稳是等价的。严平稳过程严平稳过程二阶矩存在二阶矩存在宽平稳过程宽平稳过程( )( )()()iiiim tE X tE X tm tm22( ,)( ,)(,)(,)ijijijijC t tR t tmR ttmC tt宽平稳过程宽平稳过程:n维分布相同，不随时间、位置的推移而变化维分布相同，不随时间、位置的推移而变化严平稳过程：严平稳过程：4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 性质性质： （4 4）正态过程的线性不变性。）正态过程的线性不变性。 正态过程的线性组合仍为正态过程；正态过
13、程的线性组合仍为正态过程； 正态过程经过线性系统（变换）后仍为正态过程。正态过程经过线性系统（变换）后仍为正态过程。 4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 性质性质： （5 5）正态过程的均方微积分）正态过程的均方微积分 定理定理1 1 设设 为为k k维正态随维正态随机向量机向量, ,且且 均方收敛于均方收敛于 , ,则则X X也是也是k维正态随机向量维正态随机向量。 定理定理2 设设X(t), tT是正态过程是正态过程,且在且在T上均方可导上均方可导,则该则该过程的导数过程的导数X(t), tT也是正态过程。也是正态过程。 定理定理3 设设X(t), t
14、T是正态过程是正态过程,且在且在T上均方可积上均方可积,则则该过程的积分该过程的积分 是正态过程。是正态过程。 ()()()()12(,)nnnnkXXXX12(,)nXXXX()nX( )( ), ( ,) tats dsa tTYX4.1.2 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 复正态过程复正态过程： 设设X(t), t T和和Y(t), t T为两个实为两个实正态过程，定义正态过程，定义 为为复正态过程复正态过程。 对于复正态过程，在对于复正态过程，在n个时刻采样，得到个时刻采样，得到n个复个复正态正态随随机变量，机变量，2 n个实个实正态正态随机变量；随机变量
15、； n个复个复正态正态随机变量的联随机变量的联合概率密度，应是合概率密度，应是2 n维实维实正态正态随机变量的联合概率密度。随机变量的联合概率密度。 ( )( )( ), Z tX tiY ttT4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程） 例题：例题：设有设有随机随机过程过程 ，式中，式中 为常数，为常数，U和和V是相互独立的正态是相互独立的正态随机变量，且均值皆为随机变量，且均值皆为0，方差都是方差都是 。求。求X(t) 的一维、二维概率密度。的一维、二维概率密度。 解解：在任意时刻，该随机在任意时刻，该随机过程是正态过程是正态随机变量随机变量U和和V的线性的线性组合，因此
16、，是一正态过程。求出均值和方差函数，即可求组合，因此，是一正态过程。求出均值和方差函数，即可求出其出其概率密度。概率密度。 ( )cossinX tUtVt2( )( )0E UE V2( )( )D UD V( )( )(cossin) () cos() sin0m tE X tE UtVtE UtE Vt22222222222222( )( )cossin2sincoscossin2 sincoscossinD X tE XtE UtVtUVttE UtE VtE U E Vtttt221( )exp()22xfx 4.1.2 正态随机过程（高斯过程）正态随机过程（高斯过程）1212112
17、2212121221221212( ,)( )( )(cossin)(cossin)coscos(sincoscossin) sinsincoscos sin()C t tE X t X tE UtVtUtVtE UttUVttttVttE UttE U E VttE V212222121221sinsincoscossinsincos()tttttttt12( ), ()0, 0m tm t2211122122212221( , )( , )cos ()( , )( , )cos ()C t tC t tttC t tC t tttC111212121 2211(, ,)exp2|2xf x
18、 x t txxxCC 定义：定义：如果随机过程如果随机过程X(t), t T，对应于任意，对应于任意n个时刻个时刻t1, t2, tn T的的n个个随机变量随机变量X(t1), X(t2), X(tn)相互独立，相互独立，则称该则称该随机过程为随机过程为独立过程独立过程。 n维概率分布维概率分布由一维分布确定：由一维分布确定： 当时间参数是离散时，若当时间参数是离散时，若X(n) ( n=1,2,)是是相互独立的随相互独立的随机变量，称机变量，称X(n), n=1,2,是是独立独立随机序列随机序列。 独立独立随机序列随机序列在实际中是存在的，如重复抛硬币试验结果就形成一个在实际中是存在的，如
19、重复抛硬币试验结果就形成一个独独立立随机序列；而对于任何连续参数过程，当随机序列；而对于任何连续参数过程，当t1与与 t2充分接近时，充分接近时，X(t1)和和X(t2)将不可能完全独立。因此将不可能完全独立。因此参数连续的参数连续的独立过程独立过程实际上是不存在的，是一种理实际上是不存在的，是一种理想化的随机过程。想化的随机过程。12121(,; ,)(;)nXnnXkkkFxxxt ttFxt1211(,;1,2, )(; )nXnkkFx xxnF xk4.2 独立过程独立过程 例例1 1：伯努利随机序列：伯努利随机序列。伯努利试验仅有两种结果，各。伯努利试验仅有两种结果，各次试验结果互
20、不影响，伯努利随机序列次试验结果互不影响，伯努利随机序列 X X( (n n), n=1,2,), n=1,2,是是独立随机序列。独立随机序列。 定义概率分布：定义概率分布：均值：均值：均方值：均方值：方差：方差：相关函数：相关函数：协方差函数：协方差函数：( )0, 1 ( )1,P X nqpqP X np( )0( )0 1( )1E X nP X nP X np 222( )0( )01( )1E XnP X nP X np22() ( ), ;( , )()( )( ), .E X m E X npmnR m nE X m X nE Xnpmn20, ;( , )( , )( ) (
21、 ), .pp pmnC m nR m nE X m E X npp ppq mn222 ( )( ) ( )D X nE XnE X npppq4.2 独立过程独立过程 例例2 2：高斯白噪声。：高斯白噪声。 如果随机过程如果随机过程X(t), -t+ 的均值为的均值为0，方差为，方差为 ，相关函数满足相关函数满足功率谱为常数，即功率谱为常数，即 ，则称，则称 X(t), -t+ 为为连续参数连续参数白噪声白噪声（过程）。（过程）。 如果对于每个如果对于每个t (-, + ), X(t)是正态是正态随机变量，随机变量，则称则称 X(t), -t+ 为为高斯高斯白噪声白噪声（过程）（过程）。
22、高斯高斯白噪声白噪声是独立是独立随机过程。如热噪声。随机过程。如热噪声。1221221120, ;( ,)(), .ttR t ttttt 22( ), - S4.2 独立过程独立过程 例例2 2：高斯白噪声。：高斯白噪声。 如果随机序列如果随机序列X(n), n=0,1,2,的均值为的均值为0，方差为，方差为 ，相关函数满足相关函数满足功率谱为常数，即功率谱为常数，即 ，则称，则称 X(n), n=0,1,2,为为白噪声序列白噪声序列。 如果如果白噪声序列白噪声序列X(n), n=0,1,2, 都都服从正态分布，服从正态分布，则称则称 X(n), n=0,1,2,为为高斯高斯白噪声序列白噪声
23、序列。 高斯高斯白噪声序列白噪声序列是独立是独立随机序列。随机序列。20, ;(, ), .mnR m nmn22( ), - S4.2 独立过程独立过程 定义：定义：设设X(t), t T是一是一随机过程，如果对于任意正整随机过程，如果对于任意正整数数n2，以及任意的，以及任意的t1, t2, tn T, 且且0t1 t200，以及，以及任意的任意的t1, t2, t1+ , t2+ T，随机变量随机变量X(t2+ )- X(t1+ ),与与X(t2)- X(t1)有相同的分布，有相同的分布，称称X(t), t T为为平稳平稳独立增量过程独立增量过程。如抛硬币，布朗运动等。如抛硬币，布朗运动
24、等。4.3 独立增量过程独立增量过程 定义：定义：对于对于任意的任意的t1 t2 T, 如果随机过程如果随机过程X(t), t T的的增量增量X(t2)- X(t1)的概率分布，只与的概率分布，只与时间间隔的长度时间间隔的长度t2- t1有关，有关，而与起点而与起点t1无关，则称无关，则称X(t), t T为为平稳增量过程平稳增量过程。 例例1 1 和过程和过程。设设X(n), n=1,2,是是独立随机序列，称独立随机序列，称 为为和过程和过程。若。若PPX(0)=0=1,则则Y(n), n=0,1,2,是是独立增量过独立增量过程。程。 若若X(n), n=1,2,的各个的各个随机变量具随机变
25、量具有相同的分布，有相同的分布，称称X(n), n=1,2,是是独立独立同分布同分布随机序列。则随机序列。则 Y(n), n=0,1,2,是平稳是平稳独立增量过程。独立增量过程。0( )( )nkY nX k4.3 独立增量过程独立增量过程 例例1 1 证明证明 在这两个在这两个Y(n)的增量中，没有共同的的增量中，没有共同的X(n)。由。由独立序列独立序列X(n)的相互独立性知，的相互独立性知，和过程和过程Y(n)是是独立增量过程。独立增量过程。 又又Y(n2)- Y(n1)与与Y(n2+m)- Y(n1+m)都是都是X(n) 的的n2 - n1个个随机变量随机变量之和。当之和。当X(n)是
26、是独立独立同分布同分布随机序列时，随机序列时，Y(n2)- Y(n1)与与Y(n2+m)- Y(n1+m) 有相同的概率分布，这时，有相同的概率分布，这时，和过程和过程Y(n)便便是平稳是平稳独立增量过程。独立增量过程。 也可得也可得Y(n2 -n1) 与与Y(n2)- Y(n1)同分布。同分布。0( )( )nkY nX k2112( )( )(1)( )Y nY nX nX n4334( )( )(1)( )Y nY nX nX n2112()()(1)()Y nmY nmX nmX nm4.3 独立增量过程独立增量过程 性质性质1 1：如果如果X(t), t 0是平稳是平稳独立增量过程，
27、且独立增量过程，且X(0)=0，则则 （1）均值函数）均值函数 m(t)=mt, （m为常数）；为常数）； （2）方差函数）方差函数 D(t)=2t , (为常数）；为常数）； （3）协方差函数）协方差函数 C(t1,t2)= 2min (t1,t2) =D(min (t1,t2) ).证明证明（略）（略）（1 1）设）设 m(t) = EEX(t) m(t+s)=EX(t+s)=EX(t+s)-X(s)+X(s)-X(0) =EX(t+s)-X(s)+ EX(s)-X(0) =EX(t)-X(0)+ EX(s)-X(0) =EX(t)+ EX(s) =m(t)+m(s) 根据线性算子的可加性
28、条件，根据线性算子的可加性条件， m(t)=mt （m=m(1). 4.3 独立增量过程独立增量过程证明证明（略）（略）（2）方差函数）方差函数 D(t)=2t , (为常数）；为常数）； 设设 D(t) = D X(t) D(t+s)=EX(t+s)-m(t+s)2=EX(t+s) 2-m(t+s)2 =EX(t+s)-X(s)+X(s)-X(0) 2-m(t+s)2 =EX(t+s)-X(s) 2 + EX(s)-X(0) 2 +2EX(t+s)-X(s) X(s)-X(0) m(t+s)2 = EX(t) 2 - (mt) 2 +EX(s) 2 - (ms) 2 + 2EX(t+s)-X
29、(s) X(s)-X(0)-2(mt)(ms) =DX(t)+ DX(s)+2CX(t+s)-X(s), X(s)-X(0) =D(t)+D(s) 根据线性算子的可加性条件，根据线性算子的可加性条件， D(t)= 2t （ 2=D(1). 4.3 独立增量过程独立增量过程证明证明（略）（略）（3）协方差函数）协方差函数 C(t1,t2)= 2min (t1,t2) 当当t1 t2 , C(t1,t2) = D(t2)= 2 t2 所以，所以， C(t1,t2)= 2Dmin (t1,t2)= 2 min (t1,t2) 。 即，即，两时刻的协方差等于较小时刻状态的方差两时刻的协方差等于较小时刻
30、状态的方差。4.3 独立增量过程独立增量过程 性质性质2 2：独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和增量过程的概率分布确定。增量过程的概率分布确定。 证明证明（略）（略）：首先证明独立增量过程可以表示成若干个：首先证明独立增量过程可以表示成若干个独立的增量过程之和。独立的增量过程之和。 对于独立增量过程对于独立增量过程 X(t), t 0，X(0)=0， 令令Yn =X(tn)- X(tn-1)为为增量过程增量过程, ,有有 Y1 =X(t1)，Y2 =X(t2)- X(t1) , Yn =X(tn)- X(tn-1) X(tn)= Yn+ X(tn-
31、1)= Yn+ Yn-1+ X(tn-2)= = Yn+ Yn-1+ + Y2+ Y1 =1nkkY4.3 独立增量过程独立增量过程 性质性质2 2：独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和增独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和增量过程的概率分布确定。量过程的概率分布确定。 证明证明（略）（略） 独立增量过程独立增量过程X(t), t 0，X(0)=0， 令令Yn =X(tn)- X(tn-1)为为增量过程增量过程, ,有有 Y1 =X(t1)，Y2 =X(t2)- X(t1) , Yn =X(tn)- X(tn-1)，相互独立，相互独立 X(t1) = Y1, X(t2) =Y1 +Y2
32、, , X(tn) = Y1 + Y2 + + Yn X(t) 的的n维特征函数：维特征函数：4.3 独立增量过程独立增量过程 性质性质2 2：独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和增独立增量过程的有限维分布由初始随机变量和增量过程的概率分布确定。量过程的概率分布确定。 11221 121211212211121221()()()1212()()()()()()(,; ,)(nnnnkknnnnnn nnnn ni u X tu X tu X tXnni u YuYYuYiuuuYuuYuuYu Yi uuuYi uuYiu YYu uut ttE eE eE eE eE eE eu2111
33、122122()12()()2)()()()()()()nkkknYnYnnYnYknknX tnX tX tknkuuuuuuuuuuuuuuu4.3 独立增量过程独立增量过程（略）（略） 例例2 2 二项计数二项计数过程过程。设设X(n), n=1,2,是是伯努利独立伯努利独立同同分布分布随机序列，随机序列，各个各个随机变量的分布律为随机变量的分布律为 则其和过程则其和过程Y(n), n=0,1,2,称为称为二项计数二项计数过程过程。表示。表示n次伯次伯努利试验中某事件发生的次数。努利试验中某事件发生的次数。 显然，显然，二项计数二项计数过程过程 是平稳是平稳独立增量过程。独立增量过程。一
34、维概率分布：一维概率分布：二维概率分布：二维概率分布：0( )( )nkY nX k( )0, ( )1, 1 P X nq P X np pq ( )kkn knP Y nkC p q1111212121211212221211211122112121() () ( ), ( ) ( ) ( )( )kknkkkkknnkkkkkknknnnnnnPY nk Y nkPY nk PY nY nkkC p qCpqC Cp p12()nn4.3 独立增量过程独立增量过程 例例2 2 二项计数二项计数过程：过程：均值函数：均值函数：方差函数：方差函数：协方差函数：协方差函数：0( )( ), (
35、0)0nkY nX kY( )0, ( )1, 1 P X kq P X kp pq( )0( )0 1( )1E X kP X kP X kp ( ) ( )(1)YmnE Y nnE Xnp( ) ( )(1)YD nD Y nnD Xnpq, ;( , )min( , ), .YYmpq mnCm nDm nnpq mn222 ( )( ) ( )D X nE XnE X npppq4.3 独立增量过程独立增量过程 布朗运动 1827年，布朗发现的悬浮在液体中的花粉年，布朗发现的悬浮在液体中的花粉微粒在液体分子不断随机碰撞下的不规则运动。若取水面微粒在液体分子不断随机碰撞下的不规则运动。
36、若取水面上平面坐标系的原点为花粉的起始位置，任意时刻上平面坐标系的原点为花粉的起始位置，任意时刻t花粉所花粉所处的位置可用横坐标处的位置可用横坐标X(t)和纵坐标和纵坐标Y(t)表示。特点：表示。特点： （1 1）起始时刻位于原点）起始时刻位于原点 (X(t)=0, Y(t) =0)。 （2 2）时间和取值都是连续的）时间和取值都是连续的 (t0)。 （3 3）在任意时刻花粉的位移方向和位移量都是随机的；）在任意时刻花粉的位移方向和位移量都是随机的；且朝各个方向运动的概率相等，每次的位移量都很小。对且朝各个方向运动的概率相等，每次的位移量都很小。对于一个方向，如于一个方向，如x坐标，符合坐标，
37、符合伯努利试验伯努利试验( (向左向右位移的概率向左向右位移的概率相等相等, ,分别为分别为1/2)1/2)；在该方向上的位移；在该方向上的位移X(t)为为和过程和过程. .因因X(t)=0, X(t)为为独立增量过程独立增量过程。4.4 维纳过程维纳过程 布朗运动布朗运动 （4）在各个不相交时间间隔，花粉沿某个方向的位移）在各个不相交时间间隔，花粉沿某个方向的位移是相互独立的，且相同时间间隔的概率分布相同，是一是相互独立的，且相同时间间隔的概率分布相同，是一平平稳独立增量过程稳独立增量过程。 （5 5）根据中心极限定理，花粉在某个方向的位移，如）根据中心极限定理，花粉在某个方向的位移，如X(
38、t)及其增量及其增量X(t2)- X(t1) （ 0t1 t2）都服从）都服从正态分布正态分布。 （6 6）在）在x方向上，由于左移和右移距离的概率分布是对方向上，由于左移和右移距离的概率分布是对称的，称的， X(t)的的均值为均值为0 0 ( EX(t)=0 ) 。 （7 7）刻画位移分散程度的）刻画位移分散程度的方差正比于时间间隔的长度方差正比于时间间隔的长度( DX(t)=C2t )。 维纳维纳1918年年给出了这类运动（过程）的数学描述给出了这类运动（过程）的数学描述维纳过程维纳过程。4.4 维纳过程维纳过程维纳过程定义：维纳过程定义： 若随机过程若随机过程W(t), 0t0; W(t
39、2)- W(t1) N(0, 2|t2 - t1|)则称则称W(t), 0t 为为维纳过程维纳过程。 W(t) N(0, 2 t) 称称 =1=1的维纳过程为的维纳过程为标准维纳过程标准维纳过程。 W(t2)- W(t1) N(0, |t2 - t1|)4.4 维纳过程维纳过程 维纳过程的统计特征：维纳过程的统计特征： 均值：均值：EW(t)=EW(t) - W(0)=0 方差：方差：D(t)= DW(t)2= DW(t) - W(0)2 = 2| t - 0 |= 2 t 自相关函数：自相关函数：当当t1 t2 ， R(t1,t2)= EW(t1) W(t2) =EW(t1) - W(0)W
40、(t2)- W(t1) + W(t1) - W(0) =EW(t1) - W(0)2+ EW(t2)- W(t1) W(t1) - W(0) = EW(t1) 2= 2 t1 R(t1,t2)= 2 min(t1,t2) 自协方差函数：自协方差函数： C(t1,t2)= R(t1,t2)= 2 min(t1,t2)4.4 维纳过程维纳过程维纳过程的统计特征：维纳过程的统计特征： n维概率密度：维概率密度：正态分布正态分布 n维均值向量维均值向量 n维协方差矩阵维协方差矩阵 C(t1,t2)= R(t1,t2)= 2 min(t1,t2)000 u22211122212222212ntttttt
41、tttC4.4 维纳过程维纳过程维纳过程的性质：维纳过程的性质： （1）维纳过程是平稳独立增量过程；）维纳过程是平稳独立增量过程； （2）维纳过程的增量是正态分布，维纳过程是正态过）维纳过程的增量是正态分布，维纳过程是正态过程；程； （3）维纳过程具有无后效性）维纳过程具有无后效性, 是马尔可夫过程；是马尔可夫过程； （4）维纳过程是非维纳过程是非平稳过程；平稳过程； （5）维纳过程是均方连续、均方不可导、均方可积的维纳过程是均方连续、均方不可导、均方可积的二阶矩过程。二阶矩过程。 均方可导准则均方可导准则：存在。存在。00(,)(, )( ,)( , )limhkR th tkR th tR
42、 t tkR t thk4.4 维纳过程维纳过程4.5.1 4.5.1 计数过程计数过程 定义定义：在：在0, t)内出现随机事件内出现随机事件A的总数组成的过程的总数组成的过程N(t), t 0 称为称为计数过程计数过程。计数过程满足：。计数过程满足：（1） N(t) 0 ；（2）N(t)是正整数；是正整数；（3）如果有两个时刻）如果有两个时刻t1, t2，且，且t1t2，则，则N(t1) N(t2); （4）对于）对于t1t2，N(t2)-N(t1)表示在时间间隔表示在时间间隔 t1, t2）内事件内事件A出现的次数。出现的次数。 若计数过程在不相交的事件间隔内事件若计数过程在不相交的事件
43、间隔内事件A出现的次数是出现的次数是相互独立的，则称此计数过程为相互独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔若计数过程在时间间隔 t1, ,t1+s)内出现事件内出现事件A的次数只与的次数只与时间差时间差S有关，而与起始时间有关，而与起始时间t1无关，则称此计数过程为无关，则称此计数过程为平稳平稳增量计数过程增量计数过程。 4.5 泊松过程泊松过程4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程泊松过程定义定义： 定义定义1 如果计数过程如果计数过程 N(t), t 0 满足：满足：（1） PN(0)=0=1 ；（2）N(t)是平稳独立增量
44、过程；是平稳独立增量过程；（3）在）在 t, t+t)内出现一次事件的概率为内出现一次事件的概率为（4）在）在 t, t+t)内出现二次及二次以上事件的概率为内出现二次及二次以上事件的概率为则称则称N(t), t 0 是是参数为参数为的的泊松过程泊松过程( (齐次齐次) )。显然，显然，在在 t,t+t)内不出现事件的概率为内不出现事件的概率为()( )1()P N ttN ttot ()( )2()P N ttN tot ()( )01()P N ttN ttot 4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程泊松过程定义定义： 定义定义2 如果计数过程如果计数过程 N(t)
45、, t 0 满足：满足：（1）PN(0)=0=1 ；（2）N(t)是独立增量过程；是独立增量过程；（3）对于任意）对于任意0t1t2，N(t2)-N(t1)服从参数为服从参数为(t2-t1)的泊松的泊松分布，即分布，即则称则称N(t), t 0 是是参数为参数为的的泊松过程泊松过程。 定义定义1给出在小的时间间隔内增量分布的极限性质，从给出在小的时间间隔内增量分布的极限性质，从微观上给出增量的分布；微观上给出增量的分布； 定义定义2从宏观上给出了增量的具体概率分布。从宏观上给出了增量的具体概率分布。21()2121 ()( )( ) 0,1,2,!kttttP N tN tkekk4.5.24
46、.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征： 均值：均值： 显然显然,0111()( )(0, )!() ()()(1)!ktkkkktttktE N tkPtkektetet etk( )( )E N tN tEtt单位时间内事件发生的统计平均次数单位时间内事件发生的统计平均次数, 即平均频率即平均频率.4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征：均方值：均方值：220002122 221( )(0, )(1)(0, )(0, )()() ()()(2)!(1)!kkkkkkkkttkkE Ntk Ptk k
47、PtkPtttetetttkk22222( )( ) ( ) ()D N tEN tE N ttttt方差：方差：4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征： 相关函数：相关函数：1212121121211222121111 21( ,)( )()( )()( )( )( ) ()( )( ) ()R t tE N tN tEN tN tN tN tE N tE N tN tEN ttttttt tt当当t1 t22121 22( ,)R ttt tt2121 212( ,)min( ,)R t tt tt t12121212( ,)( ,)(
48、) ( )min( ,)C t tR t tE N tE N tt t协方差函数：协方差函数：综合：综合：4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征： 一维概率分布：一维概率分布： 二维概率分布：二维概率分布：()( ) k=0,1,!kttP N tkek121212121()121121( ),( )( ) ( )( )() ()!()!()!()!jkjtttkjkjtP N tj N tkP N tj P N tN tkjttteejkjtttej kj（t1 t2）4.5.24.5.2 泊松过程及其性质泊松过程及其性质泊松过程的性质泊松
49、过程的性质： （1）泊松过程是泊松过程是平稳独立增量过程；平稳独立增量过程； （2）泊松过程是马尔可夫过程；泊松过程是马尔可夫过程； （3 3）泊松过程是非）泊松过程是非平稳过程，但其增量具有平稳性；平稳过程，但其增量具有平稳性； （4 4）泊松过程是是均方连续、均方不可导、均方可积）泊松过程是是均方连续、均方不可导、均方可积的二阶矩过程。的二阶矩过程。 （5）对于强度为）对于强度为的的泊松过程泊松过程，各次事件出现的，各次事件出现的时间时间间隔间隔是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为的的指数分布指数分布。 4.5.24.5.2 泊松过程及其性质
50、泊松过程及其性质泊松过程的性质泊松过程的性质： 定理定理: 计数过程是泊松过程的充分必要条件是事件计数过程是泊松过程的充分必要条件是事件发生的发生的时间间隔时间间隔是独立的指数分布。是独立的指数分布。 4.5.34.5.3 泊松过程的特点泊松过程的特点泊松过程泊松过程的特点：的特点：（1）计数过程）计数过程 ；（2）增量是独立、平稳的；）增量是独立、平稳的；（3）在充分小的时间间隔内事件出现二次及二次以上的）在充分小的时间间隔内事件出现二次及二次以上的概率趋于概率趋于0；（4）强度）强度为常数，单位时间内事件出现的次数不变；为常数，单位时间内事件出现的次数不变； -齐次泊松过程齐次泊松过程4.