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1、概率论与数理统计考试试卷与答案(汇编)精品文档0506一.填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事务，已知 p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则 p(A?B)? 0.6 ,p(A-B)?0.1，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。（1）从中不放回地任取 2 只， 则第一次、其次次取红色球的概率为：1/3 。（2）若有放回地任取 2 只，则第一次、其次次取红色球的概率为：9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取其次只，则第一次、其次次
2、取红色球的概率为：21/55 。3、设随机变量 X 听从 B（2，0.5）的二项分布，则 p?X?1?0.75, Y 听从二项分布 B(98, 0.5), X与 Y 相互独立,则 X+Y 听从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)=25。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15现 从由甲厂、乙厂的产品分别占 60%、40%的一批产品中随机抽取一件。（1）抽到次品的概率为：0.12。（2）若发觉该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.55、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则 a?0.1,E(X)?0.4，X 与 Y 的协
3、方差为: - 0.2 ，XY 0 10.2 0.30.4 a-1 1 Z?X?Y2 的分布律为:z120.6 0.4 概率6、若随机变量 XN(2, 4)且?(1)?0.8413，?(2)?0.9772,则 P?2?X?4?0.815 ，Y?2X?1,则 YN( 5 ， 16 ）。精品文档精品文档7、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)=-1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X?Y)? - 4 ，D(2X?Y)?6 。8、设 D（X）?25，D（Y）?1，Cov(X,Y)?2，则 D（X?Y）?30 9、设 X1,?,X26 是总体 N(8
4、,16)的容量为 26 的样本，X 为样本均值，S2 为样本方 差。则：XN（8 ，8/13 ）， X?8252 t(25)。S?2(25)， 16s/2510、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：弃真 ,即 H0 为真时拒绝 H0,其次类错误是：取伪错误。一般状况下，要削减一类错误的概率，必定增大另一类错误的概率。假如只对犯第一类错误的概率加以限制，使之<a， 而不考虑犯其次类错误的概率，这种检验称为：显著性 检验。?ax2,0?x?1 二、（6 分）已知随机变量 X 的密度函数 f(x)? ,其它?0 求：（1）常数 a， （2）p(0.5?X?1.5)（3）X 的分布函数 F（
5、x）。解:(1)由?f(x)dx?1,得 a?323x2dx?0.875 2(2) p(0.5?X?1?5)=?0.5f(x)dx?0.51.51?0x?0? (3) F(x)?x3,0?x?12?1,1?x?0?x?1,0?y?1?2y,三、（6 分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)?0 ,其它?求：（1）X，Y 的边缘密度，（2）探讨 X 与 Y 的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为:1?0?x?1?02ydy?1fX(x)? 其他 ?0 ? 0?y?1?f(x ， y)dx?02ydx?2y ， fY(y)? 其他?0 精品文档?14精品文档?f（?f（(2)
6、由(1)可见 f（x，y）,可知: X，Y 相互独立 2 Xx）Yy）四、（8 分）设总体XN(0，?2),。X1,.,Xn 是一个样本，求?2 的矩估计量，并证明它为?2 的无偏估计。解: X 的二阶矩为:E(X2)?2 11n2X 的二阶样本矩为 A2?Xi1nk?1 令：E(X2)?A2,11n 解得:?Xi2 , nk?1?21n?的矩估计量?Xi2 2nk?12 ?21n?)?E(?Xi2)?, 它为?2 的无偏估计量.3 E(?nk?12 五、（10 分）从总体 XN(u, ?2)中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本 22 方差分别是 X?75,S2?4， t0.975(
7、15)?2.1315,x015)?27.5 .025(15)?6.26,x0.975(求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和?2 的置信度为 0.95 的置信区间。解: (1)n=16,置信水平 1?0.95,?/2?0.025,t0.975(15)?2.1315,X?75,S2?4 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为:(75?216?2.1315), 即(75?1.0658)5(2) n=16,置信水平 1?0.95,?/2?0.025,x02.025(15)?6.26,x02.975(15)?27.5S2?4 由此?2 的置信水平为 0.95 的置信区间为:(15?415?
8、4,)?(2.182,9.585)5 22?0(15)?(15).9750.025六 、 （10分）设某工厂生产工件的直径听从正态分布，要求它们的均值 u?8,?2?0.25，现检验了一组由 16 只工件，计算得样本均值、样本方差分 精品文档精品文档别 x?7.65,s2?0.49，试在显著水平?0.05 下，对该厂生产的工件的均值和方差进行检验，看它们是否符合标准。此题中，t0.5(15)?1.76,t0.025(15)?2.13,?0.052(15)?25,?0.0252(15)?27.5,解:（1）首先对工件的均值进行检验: H0: u?8,H1:u?81 分取统计量为 t?经计算, t
9、?X?8s/16, 可得拒绝域为: t?X?8s/16?t0.025(15)?2.13 ，2 分x?8s/16?7.65?8?2?2.13,不在拒绝域内,因此接受 H0.认为这批工件的 0.7/4 均值符合标准。 2 分其次首先对工件的方差进行检验: H0: ?2?0.52,H1:?2?0.52 1 分(16?1)s215?0.4922 取 统 计 量 为 ?, 可 得 拒 绝 域 为 : ?0.05(15)?25 2 分 220.50.52(16?1)s2?29.4?25,在拒绝域内,因此拒绝 H0.认为这批工件的方差经计算, ?20.52 不符合标准。2 分精品文档精品文档XX 高校（本科
10、）试卷（ B 卷）2005 -2006 学年第一学期一. 填空题（每小题 2 分，共计 60 分）1. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S。与其任何事务不相容的事务为不行能事务， 而与其任何事务相互独立的事务为 必定事务；设 E 为等可能型试验，且 S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本领件发生的概率为 1/10。2P(A)?0.4,P(B)?0.3。若 A 与 B 独立，则 P(A?B)? 0。28 ；若已知 A,B 中至少有一个事务发生的概率为 0.6，则 P(A?B)? 0.3，P(AB)? 1/3 。3、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只，从中不放回地任取
11、 2 只，则取到球颜色不同 的概率为：15/28。若有放回地回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为：15/32 。4、E(X)?D(X)?1。若 X 听从泊松分布，则 PX?0?1?e?1；若 X 听从匀称分布，则 PX?0? 0。5、设 XN(?,?2)，且 PX?2?PX?2,P2?X?4?0.3，则? 2；PX?0?0.8。6、某体育彩票设有两个等级的嘉奖，一等奖为 4 元，二等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为：买 （买，不买或无所谓）。0X4?0.75 ；E(2X?1)?_7_， 7、若随机变量 XU(1
12、,5)，则 p?D(3X?1)?128、设 Xb(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则 PX?n?0.43，并简化计算 ?6?k6?k2k?k?0.40.6?6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。k?0?629、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)=-1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独 立，则：E(2X?Y)? -4 ，D(2X?Y)?6。10、设 X1,?,X16 是总体 N(20,4)的容量为 16 的样本，X 为样本均值，S2 为样本方差。则：XN（20，1/4 ），pX?20?1=0.0556，?精品文档精品文档X?2015
13、2S?2(15)， t(15)。16s/15 此题中?(2)?0.9772。?e?x, x?0111、随机变量 X 的概率密度 f(x)? ，则称 X 听从指数分布，E(X)?。x?0?0, 12、做假设检验时，简单犯两类错误，第一类错误是：弃真 ,即 H0 为真时拒绝 H0, 其次类 错误是：取伪 错误。一般状况下，要削减一类错误的概率，必定 增加 另一类错误的概率。假如只对犯第一类错误的概率加以限制，使之a， 而不考虑犯其次类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a 称为 显著水平。13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是： 则 X 的方差 D(X)? 0.21； X 与 Y 的相关系数为:
14、?XY? 3/7 。0 1 XY 0 0.4 0.3 1 0.30 二、 （7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 0.2，0.1，0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发觉是次品，求该次品为甲厂生产的概率解：设 A1,A2,A3 分别表示产品取自甲、乙、丙厂，有：p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5% 2B 表示取到次品，p(BA1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3， 2/?p(Ak)?P(BAk)?0.244 由贝叶斯公式：p(A1B)=p(A1)?P(BA1)（k?
15、130?x?1?ax,三、（7分）已知随机变量 X 的密度函数 f(x)? ,其它?0 求：（1）常数 a， （2）p(0?X?0.5)（3）X 的分布函数 F（x）。解:(1)由?f(x)dx?1,得 a?22? (2) p(0.?X?1?5)=?f(x)dx?2xdx?0.25 3000.50.5 精品文档精品文档?0x?0? (3) F(x)?x2,0?x?12?1,1?x?0?x?1,0?y?1?4xy,四、（7 分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)? ,其它?0 求：（1）X，Y 的边缘密度，（2）由（1）推断 X，Y 的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为
16、:?1?0?x?1?f(x ， y)dy?04xydy?2x ， fX(x)? 其他 ?0 ? 0?y?1?f(x ， y)dx?04xydx?2y ， fY(y)? 其他?0?15(2)由(1)可见 f（x，y）?f（?f（,可知: X，Y 相互独立 2 Xx）Yy）五、（7 分）从总体 XN(u, ?2)中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是 22X?75,S2?4， t0.975(15)?2.1315,x015)?27.5 .025(15)?6.26,x0.975(求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和?2 的置信度为 0.95 的置信区间。解: (1)n=16,置
17、信水平 1?0.95,?/2?0.025,t0.025(15)?2.1315,X?75,S2?4 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为:(75?216?2.1315), 即(75?1.0658)422(2) n=16,置信水平 1?0.95,?/2?0.025,x0 .025(15)?6.26,x0.975(15)?27.5S2?4 由此?2 的置信水平为 0.95 的置信区间为:(15?415?4,)?(2.182,9.585)3?02.025(15)?02.975(15)六 、（7 分）设总体 XN(u，1), u 未知。X1,.,Xn 是一个样本，求 u 的最大似然估计量，并证
18、明它 为 u 的无偏估计。解: 样本 X1,.,Xn 的似然函数为:精品文档精品文档L(x1,.,xn,u)?(2?)?n/21nexp?(xi?u)222k?11n2 而 lnL(x1,.,xn,u)?n/2ln(2?)?(xi?u)12k?1nd(lnL(x1,.,xn,u)?(xi?u)?0,1 令: duk?11n1n?xi u 的最大似然估量 u?Xk1 解得:unk?1nk?11n?)?E(?Xk)?u, 它为 u 的无偏估计量. E(unk?1 七、（5 分）某人寿保险公司每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元的保费，假如该年内投保人死亡，保险公司应付 1000元的赔偿
19、费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率。已知?(1)?0.8413， ?(2)?0.9772。解:设 X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则 XB(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L?120000?1000?X。2所以 PL?48000?P120000?1000?X?48000?PX?72?PX?6410000?0.0064?0.9936?72?64 用 中 心 极 限 定 理 7.996?(1)?0.84133答：该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率为 0。8413精品文
20、档精品文档XX 高校（本科）试卷（ A 卷）答案2006-2007 学年其次学期二. 填空题（每小题 2 分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事务，已知 p(A)?0.5,p(B)?0.3，则a) 若 A,B 互斥，则 p(A-B)?0.5 ;b) 若 A,B 独立,则 p(A?B)? 0.65 ;c) 若 p(A?B)?0.2,则 p(AB)? 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球 7 只，黑球 3 只， (1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：7/15 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：21/50 。(3)若第一次取一只
21、球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取其次只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55.3、设随机变量 X 听从泊松分布?(?),pX?7?PX?8，则 E?X?8.4、设随机变量 X 听从 B（2，0. 8）的二项分布,则 p?X?2? 0.64 , Y 听从 B（8，0. 8）的二项分布, 且 X 与 Y 相互独立，则 PX?Y?1=1- 0.210，E(X?Y)?8 。5 设某学校外语统考学生成果 X 听从正态分布 N（75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成果超过 85 分的学生占比 PX?85为0.0228 。其中标准正态分布函数值?(1)?0.84
22、13,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987.6、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有 0 1 X则 a?_0.1_，X 的数学期望 E(X)?_0.4_，Y -1 0.3 0.3 数?xy?_-0.25_。0.3 a17、设 X1,.,X16 及 Y1,.,Y8 分别是总体 N(8,16)的容量 2 独立样本，X,Y 分别为样本均值，S12,S2 分别为样本方差。X 与 Y 的相关系 为 16，8 的两个 则：X N(8,1) ，X?Y N(0,1.5) ，pX?Y?21.5=0.0456 ，?精品文档精品文档S121522S1?(15)，2F(15,7)。16S2 此题中?(1)?
23、0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99878、设 X1,.X2,X3 是总体 X 的样本，下列的统计量中，A，B，C是 E(X)的无偏统计量，E(X)的无偏统计量中统计量C最有效。A. X1?X2?X3 B. 2X1?X3C. 1(X1?X2?X3)D.X1?X2 39. 设某商店一天的客流量 X 是随机变量,听从泊松分布?(?),X1,.,X7 为总体 X 的样本， E(X)的矩估计量为 X，160，168，152，153，159，167，161 为样本观测值，则 E(X)的矩 估计值为16010、在假设检验中，简单犯两类错误，第一类错误是指：H0 成立的条件下拒绝 H0的
24、错误 ,也称为弃真错误。?a2?x?2,二、（6 分）已知随机变量 X 的密度函数 f(x)?x?0 ,其它?求：（1）常数 a， （2）p(0.5?X?4)（3）X 的分布函数 F（X）。解:(1)由?f(x)dx?1,得 a?22? (2) p(0.5?X?4)=?f(x)dx?0.54422dx?0.52 x2x?2?0 (3) F(x)?221-2?x?x?e?x,0?x,三、 （6 分）设随机变量 X，Y 的概率密度分别为：fX(x)?0 ,其它?0?y?1,?1,fY(y)?，且随机变量 X，Y 相互独立。 ,其它?0 （1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)（2）计算概率
25、值 p?Y?2X 解:(1) X，Y 相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为 精品文档?。f（x，y）?f（?f（, Xx）Yy）精品文档?e?x,0?x,0?y?12 f(x,y)?0 ,其它?（2）P(Y?2X)?y?2x?f(x,Y)dxdy?dx?e?xdy302x11=3e?1?1 1四、（8 分）从总体 XN(u, ?2)中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是：22X?80,S2?9， t0.025(24)?2.0639,x0.975(24)?12.4,x0.025(24)?39.36求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和?2 的置信度为 0.95 的置信区
26、间。解: (1)n=25,置信水平 1?0.95,?/2?0.025,t0.025(24)?2.0639,X?80,S2?9 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为(80?325?2.0639), 即(80?1.238)422(2) n=25,置信水平 1?0.95,?/2?0.025,x0.975(24)?12.4,x0.025(24)?39.36S2?9 由此?2 的置信水平为 0.95 的置信区间为:(24?924?9,)?(5.49,17.42)4 22?0.025(24)?0.975(24)五 、（8 分）设总体 X 听从匀称分布 U(a,b),X1,?,Xn 是 X 的一个
27、样本，求 a,b 的矩估计量1n1n2 解:设 X 的一阶样本矩、二阶样本矩分别为 A1?x1,A2?xk，nk?1nk?1a?ba2?b2?ab2,E(X)?,令4 X 的一阶矩、二阶矩分别为 E(X)?23a?b?A1,2 2 22a?b?abE(X2)?A23E(X)?可解出精品文档精品文档?3(A?A2)?Ab211?A1?3(A2?A1)a22六、（8 分）某地区参与外语统考的学生成果近似听从正态分布 N(u,?),u,?未知,该校校长声 22 称学生 平均成果为 70 分，现抽取 16 名学生的成果，得平均分为 68 分，标准差为 3 分，请在显著水平?0.05 下，检验该校长的断
28、言是否正确。（此题中 t0.025(15)?2.1315）解: 按题意学生成果 X N(u,?2),u,?2 未知,现取?0.05 检验假设:H0:u?u0?70, H1：u?u0?702t0.025(15)?2.1315,拒绝域为: 2 用 t 检验,现有 n?16，?0.05，?x?70?2.1315, 2 ?t?s/16?由:x?68,s?3, t?x?70s/16?2.67,1t 值在拒绝域内,故拒绝 H0,认为该校长的断言不正确.1七、（8 分）设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似听从正态分布 N(u,?2),?2,u 未知,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克, 现检验
29、了一组16只数显称重器,得标准差 212 克，试检验制造商的言是否正确（取?0.05），此题中?0.05(15)?24.996。解: 按题意数显称重器读数 X N(u,?2),u,?2 未知,现取?0.05 检验假设H0:?10, H1：?10 2t0.025(15)?24.996, 2 在 H0 成立的条件下，用?2 检验,现有 n?16，?0.05，拒绝域为,(n?1)s22?> ?0.05(15)?24.996 2 2102(n?1)s215?122?21.6?24.9961 算得: ?2210102不在拒绝域内,故接受 H0,认为读数的标准差不显著超过 10 克. 1八、（6 分
30、）某工厂要求供货商供应的元件一级品率为 90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发觉有 84 件为一级品,试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商供应的元件的一级品率是精品文档精品文档否达到该厂方的的要求。（已知 Z0.05?1.645，提示用中心极限定理）解 总体 X 听从 p 为参数的 0-1 分布， H0:p?p0?0.9,H1:p?p0?0.9 2X1,.,X100 为总体 X 的样本，在 H0 成立条件下，选择统计量Z?X?p0p0(1?p0)n，由 中心极限定理，z 近似听从标准正态分布，则拒绝域为 z?z0.05经计算该体 z?2?z0.05，即得 Z
31、 在拒绝域内,故拒绝 H0，认为这个供应商供应的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求XX 高校（本科）试卷（ B 卷）2006-2007 学年其次学期1、A、B 是两个随机事务，已知 p(A)?0.25,p(B)?0.5,P(AB)?0.125，则p(A-B)?0.125 ;p(A?B)? 0.875 ;p(AB)? 0.5 . 2、袋子中有大小相同的 5 只白球， 4 只红球， 3 只黑球， 在其中任取 4 只11C52C4C3(1)4 只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：. 4C1231C8C4?C84(2) 4 只中至少有 2 只白球的概率为：1?. 4C12C74(3
32、) 4 只中没有白球的概率为：4C123、设随机变量 X 听从泊松分布?(?),pX?5?PX?6，则 E?X 精品文档?6 .精品文档4、设随机变量 X 听从 B（2，0. 6）的二项分布,则 p?X?2? 0.36 , Y 听从 B（8，0. 6）的二项分布, 且 X 与 Y 相互独立，则 PX?Y?1= 1-0.410 ，E(X?Y)? 6 。5 设某学校外语统考学生成果 X 听从正态分布 N（70，16），则该学校学生的及格率为0.9938 ，成果超过 74 分的学生占比 PX?74为 0.1587 。其中标准正态分布函数值?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(2.5)?
33、0.9938.6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占 60%，次品率为 10%；乙生产的产品占 40%，次品 率为 20%。(1) 若随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为 0.14；（2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .7、设 X1,.,X10 及 Y1,.,Y15 分别是总体 N(20,6)的容量为 10，15 的两个独立样本，X,Y 分别为 2 样本均值，S12,S2 分别为样本方差。则：X N(20,3/5) ，X?Y N(0,1) ，pX?Y?1=0.3174 ，?S12322S1?(9) ， 2F(9,14)。2S
34、2 此 题 中 ?(1)?0.8413 。此 题中?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99878、设 X1,.X2,X3 是总体 X 的样本，下列的 E(X)统计量中，C 最有效。A. X1?X2?X3 B. 2X1?X3C. 1(X1?X2?X3)39. 设某商店一天的客流量 X 是随机变量,听从泊松分布?(?),X1,.,X7 为总体X 的样本， E(X)的矩估计量为 X，15,16,18,14,16,17,16 为样本观测值，则 E(X)的矩估计值为1610、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H0 成立的条件下拒绝 H0的错误 ,其次类错误是指H1
35、 成立的条件下拒绝 H1的错误,显著水平?是指限制第一类错误的概率 小于? .?a,0?x?二、（6 分）已知随机变量 X 的密度函数 f(x)?1?x2?0 ,其它?求：（1）常数 a， （2）p(?1?X?3)（3）X 的分布函数 F（X）。解:(1)由?f(x)dx?1,得 a?2?2精品文档精品文档 (2) p(?1?X?3)=?3?1f(x)dx?30122 dx?1?x232x?0?0 (3) F(x)?2arctanx0?x?2?第 2 页共5 页?x0?x?2,?,三、（6 分）设随机变量 X，Y 的概率密度分别为：fX(x)?2? ,其它?0 0?y?1,?2y,fY(y)?
36、，且随机变量 X，Y 相互独立。 ,其它?0 （1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)（2）计算概率值 p?Y?X2?。f（x，y）?f（?f（, Xx）Yy）解:(1)X，Y 相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为 0?x?2,0?y?1?xy,2 f(x,y)?0 ,其它?（2）P(Y?X2)?y?x2?f(x,Y)dxdy?dx?2xydy= 0x111 3 6 四、（8 分）从总体 XN(u, ?2)中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是 22X?80,S2?9，t0.05(24)?1.71,x0.95(24)?13.85,x0.05(24)?36.42分别
37、求 u、?2 的置信度为 0.95 的单侧置信下限。解: (1)n=25,置信水平 1?0.95,?0.05,t0.05(24)?1.71,X?80,S2?9 由此 u 的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为:80?325?1.71?78.974,42(2) n=25,置信水平 1?0.95,?0.05,x0.05(24)?36.42S2?9 由此?2 的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为:24?9? 5.93 4?02.05(24)精品文档精品文档五 、（8 分）设总体 X 听从 N(u,?),?已知,u 未知。X1,?,Xn 是 X 的一个样本，求 u 的极大似然估计量，并证明它为
38、u 的无偏估计。解: 样本 X1,.,Xn 的似然函数为:22L(x1,.,xn,u)?(2?)?n/21nexp?(xi?u)222k?11n2 而 lnL(x1,.,xn,u)?n/2ln(2?)?(xi?u)12k?1nd(lnL(x1,.,xn,u)?(xi?u)?0,1 令: duk?11n1n?xi u 的最大似然估量 u?Xi2 解得:unk?1nk?11n?)?E(?Xk)?u, 它为 u 的无偏估计量.2E(unk?1. 六、（8 分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似听从正态分布,当设备正常时一天产800 吨, 现测得最近 5 天的产量分别为:785,805,790,
39、790，802，问是否可以认为日产量显著不为800 吨。（取?0.05），此题中 t0.025(4)?2.7764。解: 按题意日产量 X N(u,?2),u,?2 未知,现取?0.05 检验假设:H0:u?800, H1：u?8001t0.025(4)?2.7764, 拒 绝 域 为 : 用 t 检 验 , 现 有 n?5 ， ?0.05 ， ?x?800t?2.7767, 1 ?s/5?算得:x?794.4,s?8.6169, t?x?800s/5?1.4527, 2t 值不在拒绝域内,故接受 H0,认为日产量没有显著改变.1七、（8 分）设温度计制造厂商的温度计读数近似听从正态分布 N(
40、u,?2),?2,u 未知,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过 0.5, 现检验了一组 16 只温度计,得标准 0。7 度，试检验制 2 造商的言是否正确（取?0.05），此题中?0.05(15)?24.996。解: 按题意温度计读数 XN(u,?2),u,?2 未知,现取?0.05 检验假设:精品文档精品文档H0:?0.5, H1：?0.51t0.025(4)?2.7764,拒绝域为: 用?2 检验,现有 n?5，?0.05，(n?1)s22?>?0.05(15)?24.996 20.52(n?1)s215?0.72?29.4?24.9962 220.50.52 在拒绝域内,故拒绝
41、 H0,认为温度计读数的标准差为显著超过 0.5.1八、（6 分）某工厂要求供货商供应的元件一级品率为 90%以上，现有一供应商有一大批元件， 经随机抽取 100 件，经检验发觉有 84 件为一级品,试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商供应的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知 Z0.05?1.645，提示用中心极限定理）解 总体 X 听从 p 为参数的 0-1 分布，H0:p?p0?0.9,H1:p?p0?0.9 2X1,.,X100 为总体 X 的样本，在 H0 成立条件下，选择统计量Z?X?p0p0(1?p0)n，由 中心极限定理，z 近似听从标准正态分布，则拒绝域为 z?z
42、0.05经计算该体 z?2?z0.05，即得 Z 在拒绝域内,故拒绝 H0，认为这个供应商供应的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求2008-2009 学年其次学期三. 填空题（每空题 3 分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事务，已知 p(A)?0.6,p(B)?0.5,p(AB)?0.3，则p(A?B)? 0.8 、p(AB)? 0.6 ,事务 A,B 的相互独立性为：相互独立 。2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 3 只、白球 1 只， (1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到红球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到红球的概率为：9/25 。精品文档精品文档(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取其次只球,则第一、二次取到红球的概率为： 21/55.3、设随机变量 X 听从参数为 100 的泊松分布，则 E（X）?D(X)?100,利用3? 法则，可以认为 X 的取值大多集中在 70 -130 范围。4、设随机变量 X 听从 N（500，1600）的正态分布,则 p?X?580? 0.0228 , Y 听从 N（500，900）的二项分布, 且 X 与