概率论与数理统计考试卷与答案.pdf

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1、0506一.填空题(每空题2 分，共计6 0 分)1、A、B 是 两 个 随 机 事 件，已知 p(A)=0.4,P(8)=0.5,p(A B)=0.3 ,则p(A u B)0.6,p(A -B)0.1,P(A-B)=0.4,p(A|B)=0.6。2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：l/3 o (2)若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/2 5 o (3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：2 1/5 5。3、设随机变量X服

2、 从 B (2,0.5)的二项分布，则一 X N 1 =2 7 5,Y服从二项分布 B(9 8,0.5),X 与 Y 相互独立，则 X+Y 服从 B(1 0 0,0.5),E(X+Y)=5 0,方差D(X+Y)=2 5O4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1,0.1 5.现从由甲厂、乙厂的产品分别占6 0%、4 0%的一批产品中随机抽取一件。(1)抽到次品的概率为：0.1 2。(2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为5、设 二 维 随 机 向 量(x,y)的 分 布 律 如 右，则E(X)=0.4,X 与y 的协方差为：-0.2,：0.5.Z1 2概率0.

3、6 0.46、若随机变量 XN(2,4)且(1)=0.8413,中(2)=0.9772,则 P：2X 4=0.815,y=2X+lJUyN(3 16)o7、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)=-1,E(Y)=2,方差 D(X)=1,D(Y)=2,且 X、Y相互独立，贝U：E(2xy)=W，o(2xy)=g。8、设。(x)=25,D(y)=i,Cou(x,y)=2,则。(x+y)=9、设X”,X26是总体N(8,16)的容量为2 6的样本，又为样本均值，$2为样本方差。贝！:X-N(8,8/13),S2 2(2 5),16-s/y/25-10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：“弃 真

4、，即H。为真时拒绝借第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之a,而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为：显著性检验。二、(6分)已知随机变量X的密度函数/(X)*0 ,其它求:(1)常数 a,(2)p(0.5X1.5)(3)X 的分布函数 F 求)。解：(1)由f(x)dx=l,a=32,J-0 0(2)“(0.5 X 1 5)=f(x)dx=f=0.8 7 5 2，0 x 0(3)F(x)-x3,0 x 1 2，1 ,1 X三、(6分)设随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)=2 y，0,其匕

5、求：(1)X,Y的边缘密度，(2)讨论X与Y的独立性。解：(1)X,Y的边缘密度分别为:f 2 y J y =1 0 x 1/x*)=J。0其他o y l其他/y(y)=f(x,y)dx=(2ydx=2y,J-oc JO0 由 可 见/(x,y)=/x(x)/(y)，可知:X,Y相互独立2 四、(8分)设总体X M 0,a2),o X”.,X “是一个样本，求的矩估计量，并证明它为4的无偏估计。解:X的二阶矩为：E(X 2)=b 2 1 x的二阶样本矩为 人=1令：E(X2)=A2,r1n解得:/0 0 2 5(1 5)=2.1 3 ,2分经计算，公 与 当=等 二=2 2.1 3 ,不在拒绝

6、域内，因此接受H o.认为这批工件的5/V 1 6 0.7/4均值符合标准。2分其次首先对工件的方差进行检验:H o：/o.52l分取统计量为/=当萨，可得拒绝域为：/=桨”之忌。5（1 5）=2 5 2分经计算，炉=（16-1产=2 9.4 2 5,在拒绝域内，因此拒绝H o,认为这批工件的方差不符合标准。2分XX大 学（本科）试 卷（B 卷）2 0 0 5-2 0 0 6学年第一学期填 空 题（每小题2分，共计6 0分）L设随机试验E对应的样本空间为S。与其任何事件不相容的事件为不可能事件,而与其任何事件相互独立的事件为必然事件;设E为等可能型试验，且S包 含1 0个样本点，则按古典概率的

7、定义其任一基本事件发生的概率为1/1 0。2.P（A）=0.4,P（8）=0.3。若A与8独立，则-8）=0。2 8；若已知A,8中至少有一个事件发生的概率为0.6,则P（A-B）=2 ,P（件忸）=1/3。3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为：1 5/2 8。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为：1 5/3 2。4、E(X)=D(X)=1 o若 X服 从 泊 松 分 布，则 P X wO =上若X服从 均 匀 分 布，则 P X wO =。5、设 X N(),且 PX 2,P 2 X 0 =0.8 o6、某体育彩票设有两个等级

8、的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3 和 0.5,且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为：买(买，不买或无所谓)。7、若随机变量 X 。(1,5),则 (0 X =0.7 5;E(2 X+1)=_ 7 一,D(3 X+1)=1 2.8、设 X 0(,p),E(X)=2.4,D(X)=L 4 4 ,则 P X=(,并 简 化 计 算台 女4*0.66-*=6x04x0.6+(6x04)2=7.2。9、随机变量X、Y 的数学期望E(X)=T,E(Y)=2,方差D(X)=1,D(Y)=2,且X、Y 相互独立,则:E(2 X _ y)=W，D(2 X-y)=6o1

9、0、设X”,X1 6是总体N(2 0,4)的容量为1 6的样本，为样本均值，0 为样本方差。贝 U：X-N(2 0,1/4),/X-2 0|l=0.05 5 6,1O-X-205/715 t(1 5)o此题中(2)=0.9 7 7 2。1 1、随机变量X 的概率密度/(x)=j V，则称X 服从指数分布，E(X)=；。1 2、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是：“弃 真，即 H。为真时拒绝H 0,第二类错误是：取伪错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增加另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使 之 a,而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a称为显

10、著水平。1 3、设二维随机向量(x,y)的分布律是:则X的方差。(X)=0 2 1；X与丫的相关系数为：Pyv=3/7。二、(7分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占1 5%,8 0%,5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率.解：设A 1,A 2，A 3分别表示产品取自甲、乙、丙厂，有：p(A1)=1 5%,P(A2)=8 0%,P(A3)=5%2,B 表示取到次品,p(B 内)=0.2,P(B 4)=0.1,P(BA?)=0.3,2 3由贝叶斯公式：p(A j B)=p(A)

11、P闺A J/堡(用4)=0.2 4 4，k=l三、(7分)已知随机变量X的密度函数0,匕求：(1)常数%(2)p(0 X 0.5)(3)X 的分布函数 F(X)。解：(1)由 f f(x)dx=1,得a=2 2 j-00(2)P(O.X 1-5)=5 fx)dx=02xdx=0.2 5 3 0 x 0(3)F(x)=x2,0 x l 2 1 ,1 )公=：4孙 公=2)，00 x l其他50 yzr)-w)2 12 k=令：d(lng,)=(_)=,1，du 念解得：力”的最大似然估量力 xj 几h lk=lE(u)=E Xk)=u,它为的无偏估计量.七、(5 分)某人寿保险公司每年有1000

12、0人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知。=0.8413,。=0.9772。解：设 X为该保险公司一年内的投保人死亡人数，则 XBdOOOO,0.0064)o该保险公司的利润函数为：L=120000-lOOOxX o 2 所以 PL 2 48000=P 1200001000 x X 48000=PX 2VL5=0.0456,1 5 q21-S,2 2(15),F(15,7)o16-S；此题中中=0.8 413,(2)=0.9 772

13、(3)=0.9 9 8 78、设X”.X 2，X 3是总体X的样本，下列的统计量中，A,B,C是成X)的无偏统计量,E(X)的无偏统计量中统计量1 最有效。A.X +X,-X 3B.2X 1-X 3C.(X +X、X、)D.X,+X9.设某商店一天的客流量X是随机变量，服从泊松分布万。)，X”.,X 7为总体X的样本，E(X)的矩估计量为X，160,168,152,153,159,167,161为样本观测值，则E(X)的矩估计值为16010、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：H。成立的条件下拒绝H。的错误，也称为弃真错误。a二、(6分)已知随机变量X的密度函数/(x)=7 0,其它

14、求：(1)常数 a,(2)p(0.5 X 4)(3)X 的分布函数 F (X)。解：由=1,得a =2 2，4.4 9/?(0.5 X 4)=.f(xdx=ti r =0.5 2J F(X)=0 x 22 2 1 2 W x 4-00 x三、(6 分)设随机变量X,Y的概率密度分别为：fx)=e：0 2 X 。解：X,Y相互独立，可 见(X,Y)的联合概 率 密 度 为fC x,丁)=人(外,43)，/(x,y)=I。0 x,0 y 2 X)=j j f(x,Y)dxdy=exdy3y2x=3 1 -1 1 四、(8 分)从总体X N(,c r 2)中抽取容量为2 5 的一个样本，样本均值和样

15、本方差分别是:X=8 0,S2=9,/。.侬Q 4)=2.06 39,x,97 5(2 4)=1 2.4,无 乃(2 4)=39.36求 u的置信度为0.9 5 的置信区间和4 的置信度为0.9 5 的置信区间。解：n=2 5,置信水平 1 一 c =0.95,a /2 =0.02 5 ,?0,02 5(2 4)=2.06 39,X =8 O,S2=9 由此u的置信水平为0.95 的置信区间为3(8 0 x 2.06 39),即(8 0 1.2 38)4 V 2 5 n=2 5,置信水平 1 一a =0.95,a/2 =0.02 5,97 5(2 4)=1 2.4,x 02 5(2 4)=39

16、.36S2=9 由此a?的置信水平为0.9 5 的置信区间为:2 4 x 9 2 4 x 9苏必(2 4)区97 5(2 4)=(5.4 9,1 7.4 2)4 五、(8分)设总体X服从均匀分布U(a,b),X”,X”是 X的一个样本，求a,匕的矩估计量解：设x的一阶样本矩、二阶样本矩分别为4V a hix的一阶矩、二阶矩分别为E（X）=E（X2）=+,令 42 3七。）=等=4，222 2E（X?）=a 4可解出b=J 3（4-A?）+A 2，a =A,-7 3（A2-A,2）六、（8分）某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布N（Q 2）,b 2未知，该校校长声称学生平均成绩为7 0分

17、，现抽取1 6名学生的成绩，得平均分为6 8分，标准差为3分，请在显著水平a =0.05下，检验该校长的断言是否正确。（此题中%.02 5（1 5）=2.1 31 5 ）解：按题意学生成绩X N（,/）,/未知，现取c =0.05检验假设：Ho:u=u0=7 0,/）：工 “=7 0 2 用 t 检验,现有=1 6,a =0.05,/002 5（1 5）=2.1 31 5，拒绝域为：2.=王7-7？（）2.1 31 5,2,/7 1 6r _70由：元=6 8,s =3,t=-2.67 ,P5/V 1 6t值在拒绝域内，故拒绝“。,认为该校长的断言不正确.1 七、（8分）设某衡器制造厂商的数显

18、称重器读数近似服从正态分布N（,b 2）,b 2,“未知，现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过1 0克，现检验了一组1 6只数显称重器，得标准差1 2克，试检验制造商的言是否正确（取a =0.05）,此题中%嬴（1 5）=2 4.996。解：按题意数显称重器读数乂（。2）,4未知，现取。=0.05检验假设H()H：1 0 2,在“0成立的条件下，用/检 验，现有 =1 6,a =0.05,/2 5（1 5）=2 4.996 ,2拒绝域为，就。5（1 5）=2 4.996 2 1 0算得：Z2 (n-l)52 1 5 X 1 221 021 02=2 1.6 pQ-0.9,乩：p Po=0

19、.9 2右 区皿为总体乂的样本,在“。成立条件下，选择统计量Z =上，由中心极限定理，Z近似服从标准正态分布,/P o O-P o）则拒绝域为 Z l =0.3 17 4,7q 2-S f Z2(9),F(9,1 4)O2S 2此题中=0.8 4 13 o 此题中(1)=0.8 4 13,0(2)=0.9 7 7 2,0(3)=0.9 9 8 78、设 X”.X 2，X 3 是总体X的样本，下列的E(X)统计量中，最 有 效。A.X.+X.-X,B.2X.-X,C-(X,+X,-%,)9.设某商店一天的客流量X是随机变量，服从泊松分布乃(乃，X.,X 7 为总体X 的样本，E(X)的矩估计量为

20、X，15,16,18,14,16,17,16 为样本观测值，则 E(X)的矩估计值为1610、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指H o 成立的条件下拒绝H。的错误，第二类错误是指乩成立的条件下拒绝H,的错误.显著水平a是指控制第一类错误的概率小于a.a二、(6 分)已知随机变量X的密度函数/(x)=0 ,其它求：(1)常数 4,(2)p(-l x 6)(3)X 的分布函数 F(X)。解：由p”2力工)公=1,得4 =2J r 7T(/2)p(-l X V 3厂)=fM f(x)dx=2-1-dx=2-r,JT)1 +x 3 0 x 0 尸(x)=乃 2 a r c t a nx 0

21、 x X2 o解：（1）X,Y 相互独立，可 见（X,Y）的联 合 概 率 密 度 为f （x,丁）=/外 丫。），f(x,y)=盯，0 x 2,0 y X2)=J j f(x,Y)dxdy=J dx2 xydy=-3),y F 6四、（8分）从总体X N（,b 2）中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是X =8 0,52=9,九05(2 4)=1.7 1,x：9 5(2 4)=1 3.8 5,Q4)=3 6.4 2分别求u、/的置信度为0.9 5 的单侧置信下限。解：n=2 5,置信水平 1 a =0.9 5,a =0.05,（2 4）=1.7 1,又=8 0,S?=9由此u的

22、置信水平为0.9 5 的单侧置信下限为:38 0一=x 1.7 1 =7 8.9 7 4 ,4 V 2 5(2)n=2 5,置信水平 1 a =0.9 5,a =0.05,x；05(2 4)=3 6.4 2S 2 =9由 此 的 置 信 水 平 为 0.9 5 的单侧置信下限为:2 4 x9=5.9 3 4,ZO.O5(24)五、（8分）设 总 体X服从廿 已 知，未知。X1,X”是X的 一 个 样 本,求的极大似然估计量，并证明它为“的无偏估计。解：样 本 乂,.”,X ”的 似 然 函 数 为：L Oi，.,x,w）=（2万）一 入 邛 _：才（为 一“）2 2 而 In L(x,xn,u

23、)=-n/2 1 n(2 zr)-w)2 12 k=令：d(ln g,.,w)=(x,一 )=o,du i=ir解得的最大似然估量x 2 几 k=ln A=1E（u）=E（X Q =u,它为“的无偏估计量.2 k=l.六、（8分）一工厂生产化学制品的日产量（以吨计）近似服从正态分布，当设备正常时一天产8 00吨，现测得最近5天的产量分别为：7 8 5,8 05,7 9 0,7 9 0,8 0 2,问是否可以认为日产量显著不为8 00吨。（取a =0.05 ）,此题中/2 5（4）=2.7 7 6 4。解：按题意日产量X N（u,a2）,u,a2未知，现 取=0.05检验假设：Ho:u=8 00

24、,Hf u 8 00 1 1用 t 检验，现有“=5,a =0.05,%,02 5（4）=2.7 7 W，拒绝域为：-8 00s电 2.7 7 6 7,1算得：元 =7 9 4.4,s =8.6 1 6 9,/=-1.4 5 2 7,2 5/V 5t值不在拒绝域内，故接受“。，认为日产量没有显著变化.1七、（8分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布N（“,b 2）,b 2,“未知，现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5,现检验了一组1 6只温度计,得标准0。7度，试检验制造商的言是否正确（取a=0.05）,此题中/温（1 5 ）=2 4.9 9 6。解：按题意温度计读数X 刈,

25、（72）,”,72未知，现取1=0.05检验假设：H0:cr 0.5 1用/检验,现有=5,a =0.05,?0025（4）=2.7764,拒绝域为：力2=力；.。5（15）=24.9962=（n-l）s-=15x0 7-=2 9 42 4 9%20.52 0.52在拒绝域内，故拒绝认为温度计读数的标准差为显著超过0.5.1八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品，试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知Zo.05=L645,提示用中心极限定理）解总体x服

26、从为参数的0-1分布，:/?/?（）=0.9,Hi:p =0.9 2XX|。为总体X的样本，在“。成立条件下，选择统计量Z二毒由中心极限定理，z近似服从标准正态分布,PoO-Po）V n则拒绝域为Z -z005经计算该体z=-2 f l =O.O 5 j i f l 1 0 82.5,=0.84 1 3；(2)=0.9 7 7 2,(1.6 4 5)=0.9 52 x o%15.已知随机变量X的密度函数/(x)=0 ,其匕则：p(0.5 X l-5)=0.7 50 x 0(2)X的分布函数F (x)=/(=/，0 x l o1 ,1 0的电子元件独立工作，(1)若把它们串联成一个系统，则系统的

27、可靠性为：三；(2)若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：)2；8、若随机变量 X U(O,3),则 p-lX 2 =经；E(X、=L 5,Z)(2 X+1)=3.二、(6分)计算机中心有三台打字机A,B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1,打字机发生故障的概率依次为0.0 1,0.0 5,0.0 4o已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设 程序因打字机发生故障而被破坏”记 为 事 件“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N”N 2，N 3。则根据全概率公式有3P(M)=ZP(N,)P(M|/V,.)=0

28、.6 x 0.0 1+0.3 x 0.0 5 +0.1 x 0.(M =0.0 2 5 ,i=根据B ay e s公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(M|M)=P(N J P(M N J _ 0.6x 0 0 1P(M)-0.0 2 5=0.2 4 ,P(N八 M)尸生”(2/3X0Q5=o.6O,P(M)0.0 2 5P(N.)P(MN.)_ 0.1 x 0.0 4P(M)0.0 2 5=0.1 6 o三、(6分)设 随 机 变 量X,Y的 概率密度分别为：/x(x)=00%,其它fy(y)=2 y，二，且随机变量x,Y相互独立。0 ,其匕(1)求(X,Y)的联合概率密度为：f(

29、x,y)(2)计算概率值p Y 2 X o解：X,Y相互独立，可 见(X,Y)的联合概率密度为于(x,丁)=兀0)4丫(了)，P(M|M)=2e-于(x,y)=彳 0 x,0 y 1其它P(y 2 X)=J j f(x,Y)dxdy=dyle-ydx=2 -e-l/2 3 2四、(8分)一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量(以某种单位计)1 6.0,1 5.2,1 2.0,1 6.9,1 4.4,1 6.3,1 5.6,1 2.9,1 5.3,1 5.11 5.8,1 5.5,1 2.5,1 4.5,1 4.9,1 5.1,1 6.0,1 2.5,1 4.3,1

30、5.41 5.4,1 3.0,1 2.6,1 4.9,1 5.1,1 5.3,1 2.4,1 7.2,1 4.7,1 4.8设样本来自正态总体N 3 b2),均未知。经计算元=1 4.7 2,-J)2=1.9 0 7 2 ,f o o 5(2 9)=L 69 9 1,x；9 5(2 9)=1 7.7 O8,x；o 5(2 9)=4 2.557 一1仁求（1）的置信水平为9 0%的置信区间；（2）1的置信水平为9 0%的置信区间。解：（1）的置信水平为9 0%的置信区间为元 ：MO5 5 T)I,“1.3 8 0 7 51 4.7 2 =-xV 3 O1.69 9 1 =(1 4.7 2 0.4

31、 2 8)=(1 4.2 9 2,1 5.1 4 8)(2 )(r2的置信水平为9 0%的置信区间为(n-1)s1%黑(2 9)(n-l)S2%黑(2 9)=(5.4 9,1 7.4 2)五、（1 0分）设总体X N（/j,az）,参数4已知，（72（/0 ）未知,玉为 为一相应的样本值。求的最大似然估计量。，并证明它为人的无偏估计。解：似然函数为L，）(2加 2 /“，相应的对数似然函数为lnL(a2)=-2a-2令对数似然函数对的一阶导数为零，得到，的最大似然估计值为7f（）2 2，）=a E（Xj）2=,，它/为的无偏估计量.六、（1 0分）测得某地区1 6个成年男子的体重（以公斤计）为

32、7 7,1 8,8 0.8 1,65,8 3,66.2 8,7 1.2 8,7 9.4 5,7 8.54,62.2 069.0 1,7 7.63,7 4,0 0,7 7.1 8,61,2 9,7 2.1 9,9 0.3 5,59.4 7设 样 本 来 自 正 态 总 体 均 未 知，试取a =0.05检验假设：O：=72.64,&7 72.64。（取a =0.05）,此 题 中 品25（15）=2.1315解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得 到:*邙 竺=0.0134。8.338/716检验的临界值为1 2 5（1 5）=2.1 3 1 5 o因为|/|=0.0 1 3 4 2.1 3 1 5,所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设”。，即认为该地区成年男子的平均体重为7 2.6 4公斤。