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1、函数极限与连续函数第一页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数1.1函数、常量与变量在观察过程中保持不变的量，称为常量。在观察过程中变化着的量，称为变量。cba,tyx,习惯上，常量用字母等表示，变量用等表示.例如，当密闭的容器被加热时，其中气体的体积和分子；而容器的温度和压强在加热过程中是变化的，因此它们是变量。数量保持不变，它们都是常量。第二页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数二、区间与邻域（1）开区间：设 为实数,且则区间的记号和定义如下：ba,ba|),(bxaxba ),(baxbao（2）闭区间：|,bxaxba ,baxbao（3）半开半闭区间：以
2、上区间都称为有限区间，,|),bxaxba|,(bxaxba 称为区间的长度.ab 和称为区间的端点，ab第三页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数|),(axxa|,(bxxb|),(Rxx )(为为实实数数集集其其中中R某个确定的数，因此它们不能参与数的运算.注：都只是表示无限性的一种记号，它们都不是 ,（4）无限区间：|),(bxxb|),axxa aox),aobx),(b第四页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数邻域的概念),(0 x的邻域，记作,0 x其中称为邻域的中心点，称为邻域的0 )x,(x00 设，以点为中心的开区间称为0 x0 x)(0 x
3、时，简记为半径，当不需要强调，o0 x0 x （）0 x .，),(),(0000 xxxx0 x),(0 x称为的去心邻域，记作分别记为.0()x )(0 x，的右邻域，),(00 xx 其中称为的左邻域，),(00 xx0 x称为0 x第五页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数三、函数的概念x是变量的函数，记作(),yf xxD 定义D和xy设是两个变量，是一个非空实数集合，若有一个f，都有一个确定的实数Dx y，使得对于每一个与对应法则yfD为定义在上的函数，或称变量之对应，则称这个对应法则.其中x称为自变量，yD称为因变量，称为函数的定义域，fD也记作.第六页，讲稿共三
4、十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数.或)(xfy 0 x)(0 xf称为函数在点处的函数值，记作0y值,0|xxy,)(00 xfy 即.当Dx 0)(xf0 x0 x时，称在点处有定义，与所对应的)(xfy fR函数的函数值全体组成的集合称为其值域，记作)(Df或即),(|)(DxxfyyDfRf .(),yf xxD 第七页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数)(xfy 注：（1）一般函数的定义域就是使数学表达式)(xf.x有意义的一切.例如，xy 1(,1 的定义域为，)1ln(xy),1(的定义域为.但在实际问题中，除了考虑数学表达式本身的意义外，还应考虑函数的
5、实际意义.第八页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数 有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.若无特别（3）函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.是不相同的函数.（2）若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是只声明，本教材中的函数均指单值函数.xyln2 与 2ln xy 例如，两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则均相同.第九页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数 在平面直角坐标系xoy中，点集),(|),(DxxfyyxC 称为函数)(xf的图形.许多函数都是由它们“构成”的，所以它们称为基本初等函数.y）xfy(00(,)xyo
6、x0 x0y例1 初等数学中的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数，是最基本的函数，第十页，讲稿共三十四页哦例2 常数函数yk（k为常数）的定义域(,),D 值域 .fRk 图1-3oyk ykx它图形是一条平行x轴的直线（如图1-3）.微积分 函数极限与连续1.1 函数第十一页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数例3 绝对值函数 0,0,|2xxxxxxy的定义域),(D，值域),0 fR，见图 1-4.图1-4o|xy yx第十二页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数例4 2|1,11|,122xxxxy该函数的定义域为 2,1()1,1()1,
7、2 D，其图形见图1-5.图1-5y3o121 2 1 x和 1 x称为其分段点.一个函数在其定义域内的不同部分，其对应法则由不同的算式表达，这样的函数通常称为分段函数，对于例4，第十三页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数四、函数的特性设函数)(xfy 的定义域为 D，数集 DX .1函数的有界性若存在一个正数 M，使得对于任一 Xx，都有 Mxf|)(|，则称函数 在()yfxX上是有界函数，称 M为它的界.例如，函数 xysin 在),(内有界，.)2,0(xy1 在 内无界.函数第十四页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数函数)(xfy 在一个区间,ba
8、上有界的 几何解释是：)(xfy 在该区间上的图形位于两条直线 My 和 My 之间.图16)(xfyxyMM第十五页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数 2函数的单调性 Xxx 21,21xx 若对于任意两点，当时，恒有)()(21xfxf（)()(21xfxf）则称函数)(xfy 在X上是单调增加（减少）函数.若总有)()(21xfxf（)()(21xfxf），)(xfX则称在上是严格单调增加（减少）函数.y）xfy(ox单调增加y）xfy(ox单调减少第十六页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数0,(在上是单调减少的，),(内不是单调的.在),0 上是单调
9、增加的；在有时一个函数在其整个定义域上不是单调的，而在定义域中的部分区间上是单调的，这些部分区间称为该函数的单调区间.2,yx 函数例如，y=x20 xy第十七页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数3函数的奇偶性XXx 设关于原点对称，若对于任一，恒有)()(xfxf （)()(xfxf ）)(xfy X则称函数在上为偶（奇）函数.2xxcos例如，是偶函数，、y=x20 xy0 x 0 x0()f x第十八页，讲稿共三十四页哦2xxcos例如，是偶函数，、3xxsin、是奇函数，2xx 既非奇函数，又非偶函数.y=x20 xy0 x 0 x0()f x0 xy=x3y0 x0
10、()f x0 x 0()fx 偶函数的图形是关于y轴对称的，而奇函数的图形是关于原点对称的.第十九页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数例5 判断函数 的奇偶性.1212)(xxxf解21()21xxfx 所以 1212)(xxxf为奇函数.因为1212xx ()f x 第二十页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数4函数的周期性若存在一个不为零的常数 T，使得对于任一 Xx，都有 XTx ，且关系式)()(xfTxf 恒成立，则称函数)(xfy 在 X上是周期函数，常数 T称为)(xf的一个周期，通常所说的周期函数的周期是指其最小正周期.例如，函数 xsinxc
11、os 2、是以为周期，xx2sin,tan是以为周期.第二十一页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数五、反函数以速度 v匀速行驶的汽车，其行驶距离 s（因变量）与行驶时间，所需的时间为 t （自变量）的函数关系为 svt.则要行驶距离 s,stv 此时，s为自变量，t为因变量.svt()ss tstv()tt s s为自变量，t为因变量.s为自变量，t为因变量.第二十二页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数设函数)(xfy 的定义域为 D，值域为 fR，如果对于 fRy，都有唯一的 Dx，使得 yxf)(，则 x是 y的函数，记为 1 f即)(1yfx ，称之为
12、函数)(xfy 的反函数.习惯用 x表示自变量，用 y表示因变量，因此，将反函数常改写为)(1xfy .称)(1xfy 与)(xfy 为互为反函数.第二十三页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数习惯用 x表示自变量，用 y表示因变量，因此，将反函数常改写为)(1xfy .称)(1xfy 与)(xfy 为互为反函数.)(1xfy 的图形和)(xfy 的图形关于直线 xy 对称.如图 1-7.指数函数 xay 与对数函数 xyalog)1,0(aa互为反函数.图1-7y）xfy(),(yx),(xyo）xfy(1 xy x第二十四页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函
13、数反函数存在定理：定理 如果一个函数在某数集上是严格单调增加（或严格单调减少），则它必定存在反函数，而且反函数也是严格单调增（或例6 求给出函数的反函数：（1）112 xxy；（2）2 xey.解 112 xxy（1）由 yyx 21，解得 因此所求反函数为 xxy 21.严格单调减少）.第二十五页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数（2）由 2 xey，得 2ln xy故所求反函数为 2ln xy.从而 2ln yx.解例6 求给出函数的反函数：（1）112 xxy；（2）2 xey.第二十六页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数六、复合函数与初等函数1复合函
14、数8009.0某汽车以每小时公里的速度匀速行驶，每公里耗油量为升，汽车在行驶过程中的耗油量 y是行驶距离 S的函数 Sy09.0，行驶距离 S又是时间 t的函数 tS80.汽车的耗油量 y，通过距 离 S（中间变量）与时间 t建立了关系，0.09807.2ytt .ySt第二十七页，讲稿共三十四页哦设函数)(ufy 的定义域为 fD，若函数()ux 值域 R，且 RDf（表示空集），则称 ()yfx 是为)(ufy 和()ux 复合而成的复合函数，其中称 由()ux 为中间变量（或称内层函数），)(ufy 为外层函数.例如，由函数 sin,xyu ue构成的复合函数是 sin.xye微积分 函
15、数极限与连续1.1 函数1复合函数第二十八页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数注（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.例如，uufyarcsin)(，2)(2 xxu 不能复合成复合函数.（2）复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.sin,xye,sin,uyeuvvx 由复合而成.第二十九页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数例7 设 uufyarctan)(，vvu )(，21)(xxv ，求 )(xf 解 ()arctanfxu 与复合相反，函数 21arctanxy 可看成由函数uufyarctan)(，vvu )(，21)(xxv 复合得
16、到，这种找出中间变量的方法，称为复合函数分解.arctan v 2arctan1x 第三十页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数例8 将函数 xey1cos 分解成基本初等函数的复合.,)1cos(xueyu ),1(cosxvvu .1xv 解 复合函数 xey1cos 可以分解为如下基本初等函数：注 称函数)0)()()()(xuxuxfxv为幂指函数.显然)(ln)()()(xuxvxvexu 第三十一页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次加、减、乘、除的四则运算和有限次复合运算所构成的能用一个式子表示的函数，称为
17、初等函sin,yx).1ln(2xxy 数.例如21211xyxxe 初等数学中的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数，称为基本初等函数.第三十二页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数七、常用经济函数1总成本函数、总收益函数与总利润函数固定成本:是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本.总成本=固定成本+可变成本可变成本:是指随产量变化的那部分成本.销售收入(或收益)是指产品出售后所得的收入，而利润就是收入扣去成本后的余额.总成本C，总收入(或收益)R和总利润 L通常称为经济变量.第三十三页，讲稿共三十四页哦微积分 函数极限与连续1.1 函数这些经济变量都只与其相应的产量或者说销售量 x有关.它们可看成是x的函数.分别称为总成本函数、总收益函数和总利润函数，分别记作)(xC、)(xR)(xL和.总成本函数)(xC是产量 x的单调增加函数；xpxR)(；而总利润)(xL等于总收入减去总成本，即 总收益函数)(xR是销售量 x与销售单价 p的乘积，即)()()(xCxRxL .第三十四页，讲稿共三十四页哦