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1、二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与连续函数的运算 第一章 三、三、连续函数的运算连续函数的运算分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁l 连续函数是微积分研究的主要对象。l 连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。有关连续的相关概念 自变量的改变量（增量）函数的改变量（增量）说明:1）函数在点一、函数连续性（Continuous）的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存
2、在;机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.函数在一点的连续性2）对自变量的增量 有函数的增量当时,有则函数在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 左连续2.左连续与右连续左连续与右连续右连续 在在 点连续点连续 在 点既左连续又右连续.3.在区间上的连续性在区间上的连续性f(x)在(a,b)内连续 f 在开区间(a,b)内的每一点都连续.在a,b上连续 f 在开区间(a,b)内连续,且在a点处右连续，在b点处左连续.或或 f f 在在(a a,b b)内连续内连续,若若 f f 在在 a a,b b 上连续上连续,则记作continue 若在某区间上每一点都连续,则称它在
3、该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(多项式函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.注意：只有在定义域上连续的函数才是连续函数只要都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.连续函数例例1.证明函数在内连续.证证:即这表明：在内连续.同理可证:函数在内连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设讨论在处的连续性.解解:处连续,需有即故例例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设 f(x)定义在区间上,若 f(x)在连续,证:由由且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.机动 目录 上页
4、下页 返回 结束 再由 f(x)在x=0连续，有，有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;机动 目录 上页 下页 返回 结束 如没定义.但 在在间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.机动 目录 上页
5、下页 返回 结束 各类间断点图示各类间断点图示为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例例5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 判断下列函数在指定间断点的类型显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求函数的间断点并判断其类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求的间断点,并判别其类型.解解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例例8.
6、设函数试确定常数 a 及 b.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.连续的单调递增 函数的反函数在其定义域内连续三、函数连续性的运算法则三、函数连续性的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1,1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.即若 函数则即复合函数又如又如,且即机动 目录
7、上页 下页 返回 结束 例如例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1）复合函数连续性定理可以写成下面两种形式(1)式表示,在定理的条件下,函数符号和极限号可交换.(2)式表示,在定理的条件下,可通过代换化复合函数为简单函数.2）由于连续是由极限定义的,因此计算涉及连续函数的极限时,实际是如下计算的：1.2.3）关于连续函数运算法则,有如下结果:(1)函数 f(x)在 x0 处连续,g(x)在 x0 处间断,则F(x)=f(x)+g(x)在 x0 处必间断.(2)函数 f(x)与g(x)在 x0 处都间断,则F(x)=f(x)g(x)在 x0
8、处可能连续也可能间断.(3)函数 f(x)在 x0 处连续,g(x)在 x0 处间断,则F(x)=f(x)g(x)在 x0 处可能连续也可能间断.(4)函数 u=(x)在 x0 处间断,u0=(x0),y=f(u)在 u0 处连续,则y=f(x)在 x0 处可能连续也可能间断.二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,则连续区间为(端点为单侧连续)，的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极
9、限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、例题分析三、例题分析例例2.求解解:原式例例3.求解解:令则原式说明说明:当时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求求解解:原式说明说明:若则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小
10、结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义在定义域内内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.初等函数的连续性思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:x=1 是第一类可去间断点,续?反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?提示提示:“反之”不成立.第十节 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习