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1、.绝密启用前绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学理工类本试卷分为第卷选择题和第卷非选择题两部分 ,共 150 分,考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页,第卷 3 至 5 页。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第第 I I 卷卷注意事项：注意事项：1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。参考
2、公式：参考公式：如果事件 A,B 互斥,那么P(AB) P(A)P(B).如果事件 A,B 相互独立,那么P(AB) P(A)P(B).棱柱的体积公式V Sh,其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.棱锥的体积公式V 1Sh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.3一一. . 选择题：在每小题给出的四个选项中选择题：在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. .设全集为 R R,集合Ax 0 x 2,B x x 1,则Ax 0 x 1x 0 x 1x 0 x 2(R RB) x1 x 2 x y 5,2x y 4,设变量 x,y 满足约束条件则目标函
3、数z 3x5y的最大值为x y 1,y 0, 6 19 21451 / 10.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入 N 的值为 20,则输出 T 的值为 1 2 34设xR R,则| x11|是x31的22充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件已知a log2e,b ln2,c log121,则 a,b,c 的大小关系为3c b ac a ba b c将函数y sin(2xb a c)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数510在区间在区间3 5,上单调递增443,上单调递减4在区间5 3,上单调递增42在区间3,2上单调递减2x2y2已知双曲线221(a 0
4、, b 0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两ab点. 设 A,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1d2 6,则双曲线的方程为x2y21412x2y2139x2y21124x2y2193如图,在平面四边形 ABCD 中,AB BC,AD CD,BAD 120,AB AD1. 若点 E 为边 CD 上的动点,则AEBE的最小值为21163225163第卷第卷2 / 10.注意事项：注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题,共 110分。二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题小题,
5、,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分。分。 i 是虚数单位,复数67i.12i在(x12 x)5的展开式中,x2的系数为. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M,则四棱锥M EFGH的体积为.x 122已知圆x y 2x 0的圆心为 C,直线y 3的面积为.已知a ,bR R,且a3b6 0,则2 a2t,2与该圆相交于A,B 两点,则ABCt2t21的最小值为.b8x22axa,x 0,已知a 0,函数f (x) 2若关于x的方程f (x) ax恰有 2 个互异的实数解,则x 2ax2a,x 0.a的
6、取值范围是.三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .15本小题满分本小题满分 1313 分分在ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知bsin A acos(B).I 求角 B 的大小；学科*网II 设 a=2,c=3,求 b 和sin(2AB)的值. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7 人,进行睡眠时间的调查.I 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？3 / 106.II
7、 若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.i 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望；ii 设 A 为事件抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工,求事件 A 发生的概率.如图,ADBC且AD=2BC,AD CD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG 平面ABCD,DA=DC=DG=2.I 若 M 为 CF 的中点,N 为 EG 的中点,求证：MN平面CDE；II 求二面角E BC F的正弦值；学.科网III 若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平
8、面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长. 设an是 等 比 数 列 , 公 比 大 于 0, 其 前 n项 和 为Sn(nN N ),bn是 等 差 数 列 . 已 知a11,a3 a22,a4 b3b5,a5 b42b6.I 求an和bn的通项公式；II 设数列Sn的前 n 项和为Tn(nN N ),i 求Tn；(Tkbk2)bk2n22(nN N).ii 证明n2k1(k 1)(k 2)n x2x25设椭圆221b0的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,点 A 的坐标为(b,0),3ab且FB AB 6 2.I 求椭圆的方程；II 设直线 l：y kx(k 0)与椭
9、圆在第一象限的交点为P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.若AQPQ5 2sinAOQ,求 k 的值.4 4 / 10.x已知函数f (x) a,g(x) logax,其中 a1.I 求函数h(x) f (x) xlna的单调区间；II 若曲线y f (x)在点(x1, f (x1)处的切线与曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明x1 g(x2) 2ln lna；lna1eIII 证明当a e时,存在直线 l,使 l 是曲线y f (x)的切线,也是曲线y g(x)的切线.参考答案：参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每
10、小题 5 5 分分, ,满分满分 4040 分分1B5D2C6A3B7C4A8A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分分, ,满分满分 3030 分分94 i121052111121113248)14(4，三、解答题三、解答题15 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力满分13 分解：在 ABC 中,由正弦定理ab,可得bsin A asinB,又由bsin A acos(B ),得sin Asin B6asinB acos(B ),即
11、sinB cos(B ),可得tan B 3又因为B(0，),可得 B=663解：在ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=bsin A acos(B )6,有b2 a2c22accosB 7,故 b=73由,可得sin A37因为ac,故cos A 27因此sin2A 2sin AcosA 4 31,cos2 A 2cos2A1774 31133 3727214所以,sin(2A B) sin2AcosB cos2 AsinB 16 本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13 分学.科网解：由
12、已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 75 / 10.人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人,2 人,2 人i 解：随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,33kCk4C3PX=k=k=0,1,2,3C37所以,随机变量 X 的分布列为XP随机变量 X 的数学期望E(X) 0013511235218353435112184121 23353535357ii 解：设事件 B 为抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有2 人；事件 C 为抽取的3 人中 ,睡眠充足的员工有2 人,睡眠不足的员工有1 人,则 A=BC,
13、且 B 与 C 互斥 ,由 i知,P=P,P=P,故 P=P=P+P=所以,事件 A 发生的概率为676717 本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13 分依题意,可以建立以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系 如图,可得 D0,0,0,A2,0,0,B1,2,0,C0,2,0,E2,0,2,F0,1,2,G0,0,2,M0,3,1,N1,0,22n n0DC 0，即证明：依题意DC=0,2,0,DE=2,0,2设 n n0=为平面 CD
14、E 的法向量,则n n DE 0，02y 0，3不妨令 z=1,可得 n n0=1,0,1又MN=1,1,可得MN n n0 0,又因为直线 MN平22x 2z 0，面 CDE,所以 MN平面 CDE 2， 2),CF=0,1,2解：依题意,可得BC=1,0,0,BE (1，n nBC 0，x 0，即不妨令 z=1,可得 n n=0,1,1设 n n=x,y,z 为平面 BCE 的法向量,则x 2y 2z 0，n nBE 0，m mBC 0，x 0，即不妨令 z=1,可得 m m=0,2,1设 m m=x,y,z 为平面 BCF 的法向量,则y 2z 0，m mBF 0，6 / 10.因此有
15、cos=m mn n3 1010,于是 sin=|m m |n n|10101010所以,二面角 EBCF 的正弦值为 2，h)解：设线段 DP 的长为 hh0,2,则点 P 的坐标为0,0,h,可得BP (1，易知,DC=0,2,0 为平面 ADGE 的一个法向量,故cos BPDC BPDCBP DC2h25,由题意,可得2h2 5=sin60=33,解得 h=0,2 23所以线段DP的长为3.318本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.2I 解：设等比数列an的公比为 q.由a11,a3 a
16、22,可得q q2 0.n1因为q 0,可得q 2,故an 2.设等差数列bn的公差为 d,由a4 b3b5,可得b13d 4.由a5 b42b6,可得3b113d 16,从而b11,d 1,故bn n.n1所以数列an的通项公式为an 2,数列bn的通项公式为bn n.12n 2n1,故IIi 由I,有Sn122(12n)Tn(2 1)2 n n 2n1n2.12k1k1nknkii 证明：因为(Tk+bk+2)bk(2k1k 2k 2)kk 2k12k22k1,(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)k 2k 1(Tkbk2)bk23222423 ()()所以,(k 1
17、)(k 2)3243k1n2n22n12n2() 2.n2n1n27 / 10.19 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力满分14 分c25解： 设椭圆的焦距为2c,由已知知2,又由a2=b2+c2,可得2a=3b 由已知可得,FB a,AB 2b,a9由FB AB 6 2,可得 ab=6,从而 a=3,b=2x2y21所以,椭圆的方程为94解：设点P 的坐标为x1,y1,点 Q 的坐标为x2,y2由已知有y1y20,故PQ sinAOQ y1 y2又AQ5 2y2sinAOQ,可得 5y1=9
18、y2AQ 2y,而OAB=,故2由PQ4sinOAB4因为AQ y kx，6k由方程组x2y2消去 x,可得y1易知直线 AB 的方程为 x+y 2=0,由方程组21，9k 44 9y kx，x y 2 0，消去x,可得y2或k 11282k1 由5y1=9y2,可得5 k+1=3 9k2 4,两边平方,整理得56k250k 11 0,解得k ,k 12111所以,k 的值为或22820 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14分.I 解：由已知,h(
19、x) a xlna,有h(x) a lna lna.令h(x) 0,解得 x=0.由 a1,可知当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表：xxx(,0)00(0,)+h(x)h(x)极小值8 / 10.所以函数h(x)的单调递减区间(,0),单调递增区间为(0,).xxII 证明：证明：由f (x) a lna,可得曲线y f (x)在点(x1, f (x1)处的切线斜率为a1lna.由g(x) 11,可得曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为.x lnaxlna2x因为这两条切线平行,故有a1lna 1x2,即x2a1(lna) 1.x2lna两边取以 a 为底的对数
20、,得logax2 x12log2lna 0,所以x1 g(x2) xx2ln lna.lnaxIII 证明：证明：曲线y f (x)在点(x1,a1)处的切线 l1：y a1 a1lna(x x1).曲线y g(x)在点(x2,logax2)处的切线 l2：y logax21e1(x x2).x2lna要证明当a e时,存在直线 l,使 l 是曲线y f (x)的切线,也是曲线y g(x)的切线,只需证明当a e时,存在x1(,),x2(0,),使得 l1和 l2重合.学*科网1e1x1a lna 1x2lna即只需证明当a ee时,方程组有解,ax1 x ax1lna log x 11a2l
21、na由得x2112ln lnax1x1,代入,得a x a lna x 0.11ax1(lna)2lnalna1e因此,只需证明当a e时,关于 x1的方程有实数解.112ln lna设函数u(x) a xa lna x,即要证明当a ee时,函数y u(x)存在零点.lnalnaxxu(x) 1(lna)2xax,可知x(,0)时,u(x) 0；x(0,)时,u(x)单调递减,又1(lna)2u(0) 1 0,u1a 0,故存在唯一的 x0,且 x00,使得u(x0) 0,即2(lna)1(lna)2x0ax0 0.由此可得u(x)在(,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减.u(x)在x
22、 x0处取得极大值u(x0).因为a e,故ln(lna) 1,9 / 101e1.所以u(x0) a0 x0a0lna x0下面证明存在实数 t,使得u(t) 0.由I 可得a 1 xlna,当x xxx12ln lna12ln lna22ln lna x 0.0lnalnax0(lna)2lnalna1时,lna12ln lna12ln lna, (lna)2x2 x1lnalnalnalna有u(x) (1 xlna)(1 xlna) x所以存在实数 t,使得u(t) 0因此,当a e时,存在x1(,),使得u(x1) 0.所以,当a e时,存在直线 l,使 l 是曲线y f (x)的切线,也是曲线y g(x)的切线.1e1e10 / 10