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1、20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷天津卷)理科数学理科数学注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第第 I I 卷卷注意事项：注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答
2、案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AU B)P(A)P(B).如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B).棱柱的体积公式V Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.棱锥的体积公式V 1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合Ax 0 x 2，B x x 1，则AI(RB)(A)x 0 x 1(B)
3、x 0 x 1(C)x1 x 2(D)x 0 x 2 x y 5,2x y 4,(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z 3x5y的最大值为x y 1,y 0,(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设xR，则“|x(A)充分而不必要条件(B)必要而不重复条件11|”是“x31”的22(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知a log2e，b ln2，c log121，则a，b，c的大小关系为3(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)c a b(6)将函数
4、y sin(2x5)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数10(A)在区间353,上单调递增(B)在区间,上单调递减444533,上单调递增(D)在区间,2上单调递减422(C)在区间x2y2(7)已知双曲线221(a 0,b 0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交ab于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d2 6，则双曲线的方程为x2y2x2y2x2y2x2y21(B)1(C)1(D)1(A)4121243993(8)如图，在平面四边形ABCD中，AB BC，AD CD，BAD 120，AB AD1.若uu u r uur点E为边CD
5、上的动点，则AEBE的最小值为(A)32125(B)(C)(D)32161620182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷天津卷)数数学学(理工类理工类)第第卷卷注意事项：注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。(9)i 是虚数单位，复数67i.12i(10)在(x12 x)5的展开式中，x2的系数为.(11)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其
6、余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH的体积为.x 122(12)已知圆x y 2x 0的圆心为C，直线y 3则ABC的面积为.(13)已知a,bR，且a3b6 0，则2 a2t,2(为参数)与该圆相交于A，B两点，t2t21的最小值为.8bx22axa,x 0,(14)已知a 0，函数f(x)2若关于x的方程f(x)ax恰有 2 个互异的x 2ax2a,x 0.实数解，则a的取值范围是.三三.解答题：本大题共解答题：本大题共6 6 小题，共小题，共8080 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分（
7、本小题满分 1313 分）分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA acos(B（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和sin(2AB)的值.(16)(本小题满分本小题满分 1313 分分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（i
8、i）设A为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17)(本小题满分 13 分)如图，AD/BC且AD=2BC，AD CD,EG/AD且EG=AD，CD/FG且CD=2FG，6).DG 平面ABCD，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN 平面CDE；（II）求二面角E BC F的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面ADGE所成的角为 60，求线段 DP 的长.(18)(本小题满分本小题满分 1313 分分)设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN)，bn是等差数列.已知a
9、11，a3 a2 2，a4 b3b5，a5 b4 2b6.（I）求an和bn的通项公式；（II）设数列Sn的前 n 项和为Tn(n N)，（i）求Tn；(Tkbk2)bk2n22(nN).（ii）证明n2k1(k 1)(k 2)n(19)(本小题满分本小题满分 1414 分分)x2x25设椭圆221(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为3ab(b,0)，且FB AB 6 2.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：y kx(k 0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若AQPQ5 2sinAOQ(O为原点)，求k的值.4(20)(本小题满分本小题满分
10、 1414 分分)x已知函数f(x)a，g(x)logax，其中a1.（I）求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；（II）若曲线y f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行，证明x1 g(x2)2ln lna；lna1e（III）证明当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线.参考答案：参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 5 分，满分分，满分 4040 分分（1）B（5）D（2）C（6）A（3）B（7）C（4）A（8）A二、填空题：本题考
11、查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 5 分，满分分，满分 3030 分分（9）4 i（12）12（10）52（11）112（13）148)（14）(4，三、解答题三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分13 分（）解：在ABC中，由正弦定理ab，可得bsin A asinB，又由sin Asin Bbsin A acos(B)，得asinB acos(B)，即sinB cos(B)，可得tan B 3又因为666B(0，)，可得B=3，有b
12、2 a2c22accosB 7，故3（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=b=732由bsin A acos(B)，可得sin A因为ac，故cos A 因此677sin2A 2sin AcosA 4 31，cos2 A 2cos2A1774 31133 3727214所以，sin(2A B)sin2AcosB cos2 AsinB（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13 分KS5U（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人
13、，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，33kCk4C3P（X=k）=（k=0，1，2，3）C37所以，随机变量X的分布列为XP随机变量X的数学期望E(X)00123112184121 23353535357（ii）解：设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员工有1 人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以
14、，事件A发生的概率为6767（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13 分uuu ruuuruuu r依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，3，1），N（1，0，2）2uuu ruuu r（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设n n0=(x，y，z)
15、为平面CDEuuu ruuuu r3n n0DC0，2y0，1）uuu r的法向量，则即不妨令 z=1，可得n n0=（1，0，又MN=（1，2x2z0，2n n0DE0，uuuu r1），可得MNn n00，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDEuuu ruuu ruuu rBE(1，2，2)（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），CF=（0，1，2）uuu rn n BC0，x0，r设n n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则uuu即不妨令z=1，可x2y2z0，n n BE0，得n n=（0，1，1）uuu rm mBC0，x0，r设m m=（x，y，z）为平面BCF的法向量
16、，则uuu即不妨令z=1，可得y2z0，m mBF0，m m=（0，2，1）因此有 cos=m mn n3 1010，于是 sin=|m m|n n|10101010所以，二面角EBCF的正弦值为uuu r2，h)（）解：设线段DP的长为h（h 0，2），则点P的坐标为（0，0，h），可得BP(1，uuu r易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故uuu r uuu rBPDCuuu r uuu r2cosBPDCuuu r uuur，2BP DCh5由题意，可得2h25=sin60 =33，解得h=0，223所以线段DP的长为3.3（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等
17、比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.2（I）解：设等比数列an的公比为q.由a11,a3 a22,可得q q2 0.n1因为q 0，可得q 2，故an 2.设等差数列bn的公差为d，由a4 b3b5，可得b13d 4.由a5 b42b6，可得3b113d 16,从而b11,d 1,故bn n.n1所以数列an的通项公式为an 2，数列bn的通项公式为bn n.12n 2n1，故（II）（i）由（I），有Sn122(12n)Tn(2 1)2 n n 2n1n2.12k1k1nknk（ii）证明：因为(Tk+bk+2)bk(2k1k
18、2k 2)kk 2k12k22k1，(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)k 2k 1(Tkbk2)bk232224232n22n12n2()()L()2.所以，(k 1)(k 2)3243n2n1n2k1n（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14 分c25（）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2，又由a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可a9得，FB a，AB 2b，由FB AB 6 2，可得ab=6，从而a=3，b=2x2y21所以，椭圆的方程为94（）解
19、：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故PQ sinAOQ y1 y2又因为AQ AQPQy2，而OAB=，故AQ 2y2由sinOAB45 2sinAOQ，可得 5y1=9y24y kx，6k由方程组x2y2消去x，可得y1易知直线AB的方程为x+y 2=0，由方程21，9k 44 9y kx，组x y 2 0，消去x，可得y22k由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3 9k2 4，两边平方，整理得k 1111，或k 22856k250k 11 0，解得k 111所以，k的值为或228（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指
20、数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（I）解：由已知，h(x)a xlna，有h(x)a lna lna.xx令h(x)0，解得x=0.由a1，可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(,0)00极小值(0,)+h(x)h(x)Z所以函数h(x)的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).xx（II）证明：由f(x)alna，可得曲线y f(x)在点(x1,f(x1)处的切线斜率为a1lna.由g(x)11，可得曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为.x2lnaxl
21、na因为这两条切线平行，故有a1lna x1x2，即x2a1(lna)1.x2lna两边取以a为底的对数，得logax2 x12log2lna 0，所以x1 g(x2)xx2ln lna.lnax（III）证明：曲线y f(x)在点(x1,a1)处的切线l1：y a1 a1lna(x x1).曲线y g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2：y logax21e1(x x2).x2lna要证明当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线，只需证明当a e时，存在x1(,)，x2(0,)，使得l1和l2重合.学*科网1e1x1a lna 1x2lna即只
22、需证明当a ee时，方程组有解，ax1 x ax1lna log x 11a2lna由得x2112ln lnax1x1，代入，得a x a lna x 0.11ax1(lna)2lnalna1e因此，只需证明当a e时，关于x1的方程有实数解.112ln lna设函数u(x)a xa lna x，即要证明当a ee时，函数y u(x)存在lnalnaxx零点.u(x)1(lna)2xax，可知x(,0)时，u(x)0；x(0,)时，u(x)单调递减，又1(lna)2u(0)1 0，u1a 0，故存在唯一的x0，且x00，使得u(x0)0，2(lna)即11(lna)2x0ax0 0.由此可得u
23、(x)在(,x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减.u(x)在x x0处取得极大值u(x0).因为a e，故ln(lna)1，1e所以u(x0)ax0 x0ax0lna x012ln lna12ln lna22ln lna x 0.0lnalnax0(lna)2lnalna下面证明存在实数t，使得u(t)0.由（I）可得a 1 xlna，x当x 1时，lna12ln lna12ln lna，(lna)2x2 x1lnalnalnalna有u(x)(1 xlna)(1 xlna)x所以存在实数t，使得u(t)0因此，当a e时，存在x1(,)，使得u(x1)0.所以，当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线.1e1e