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1、数学试卷第 1 页（共 16 页）数学试卷第 2 页（共 16 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分,考试时间 120分钟.第卷参考公式：如果事件，互斥，那么. .AB P ABP AP B如果事件，相互独立，那么. .AB P ABP A P B棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高. .VShSh棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高. .1 3VShSh一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
2、要求的)1.设全集为，集合，则( )R|02Axx|1Bx xRAC BA.B.|01xx|01xxC.D.|12xx|02xx2.设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为( )xy5, 24, 1, 0,xy xy xy y 35zxyA.6B.19C.21D.453.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为 20，则输出的值为NT( )A.1B.2C.3D.44.设，则“”是“”的( )xR11 22x 31x A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知，则，的大小关系为( )2logaeln2b 1 21log3c abcA.B.C.
3、D.abcbaccbacab6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )sin 25yx10A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减35,44 3,4 C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减53,42 3,22 7.已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于轴的直线与222210,0xyababx双曲线交于,两点.设,到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且A BA B1d2d，则双曲线的方程为( )126ddA.B.22 1412xy22 1124xyC.D.22 139xy22 193xy8.如图，在平面四边形中，ABCDABBCADCD120BAD.若点为边上的动点，则
4、的最小值为1ABADECDAE BE ( )毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 3 页（共 16 页）数学试卷第 4 页（共 16 页）A.B.C.D.321 163 225 16第卷二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填写在题中横线上)9. 是虚数单位，复数 .i6+7 12i i10.在的展开式中，的系数为 .512xx2x11.已知正方形的棱长为 1，除面外，该正方体其余各面的中1111ABCDABC DABCD心分别为点，（如图） ，则四棱锥的体积为 .EFGHMMEFGH12.已知圆的圆心为，直线（
5、为参数）与该圆相交于2220xyxC21,2 232xtyt t，两点，则的面积为 .ABABC13.已知，且，则的最小值为 ., a bR360ab128a b14.已知，函数若关于的方程恰有 2 个0a 222,0,22 ,0.xaxa xf xxaxa xx f xax互异的实数解，则的取值范围是 .a三、解答题：共 80 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。15.(本小题满分 13 分)在中，内角，所对的边分别为，.已知ABCABCabc.sincos6bAaB （1）求角的大小；B （2）设，求和的值.2a 3c bsin 2AB16.(本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙
6、、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人 做进一步的身体检查. 用表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；XX设为事件“抽取的 3 人，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事A 件发生的概率.A数学试卷第 5 页（共 16 页）数学试卷第 6 页（共 16 页）17.(本小题满分 13 分)如图，且，且ADBC2ADBCADCDEGAD ，且
7、，平面，.EGADCDFG2CDFGDG ABCD2DADCDG （1）若为的中点，为的中点，求证：平面；MCFNEGMNCDE （2）求二面角的正弦值；EBCF （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段PDGBPADGE60 的长.DP18.(本小题满分 13 分)设是等比数列，公比大于 0，其前项和为， nannSnN nb是等差数列.已知，.11a 322aa435abb5462abb（1）求和的通项公式. na nb（2）设数列的前项和为， nSnnTnN求；nT证明. 2 2122122nn kkkkTbbnNkkn 19.(本小题满分 14 分)设椭圆的左焦点为，上顶点为
8、.已知222210xyababFB椭圆的离心率为，点的坐标为，且.5 3A,0b6 2FBAB（1）求椭圆的方程. （2）设直线 ：与椭圆在第一象限的交点为，且 与直线交于点l0ykx kPlAB.若（为原点） ，求的值.Q5 2sin4AQAOQPQOk20.(本小题满分 14 分)已知函数，其中. xf xa logag xx1a （1）求函数的单调区间； lnh xf xxa（2）若曲线在点处的切线与曲线在点处 yf x 11,xf x yg x 22,x g x的切线平行，证明； 122lnln lnaxg xa （3）证明当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线1 eaell y
9、f x的切线. yg x-在-此-卷-上-答-题-无-效- - 毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _数学试卷第 7 页（共 16 页）数学试卷第 8 页（共 16 页）2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学答案解析一、选择题1 【答案】B【解析】由于，所以|1RC Bx x |01RAC Bxx【考点】集合的运算2 【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域，其是由5, 24, 1, 0xy xy xy y 围成的五边形区域（包括边界） ，对于目标 0,0 ,2,0 ,3,2 ,2,3 ,0,1OABCD函数，结合图象可知过点时取得最大值，最大值为35zxyC3 2+5 3=
10、21【考点】简单的线性规划3 【答案】B【解析】模拟程序框图的运行，输入，此时是整数，则有20,2,0NiT10N i，此时不满足条件；接下来有不是整数，则01 1,213Ti 5i 20 3N i有，此时不满足条件；接下来有是整数，则有3 14i 5i 5N i，此时满足条件，结束循环，输出1 12,415Ti 5i 2T 【考点】算法的程序框图4 【答案】A【解析】由解得，由解得，则知“”是“11 22x 01x31x 1x 11 22x ”的充分不必要条件31x 【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定5 【答案】D【解析】根据函数的图象与性质可知，故1222 21loglog 3log
11、log 21lnln23ee 有cab【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质6 【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到sin 25yx10，由，解得sin 2sin2105yxx222,22kxkkZ，当时，则知函数在区间上单调递,44kxkkZ1k 35,44 增【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质7 【答案】C【解析】由双曲线的离心率，可得，则知，将代入双曲2cea2ca3ba2xa线，可得，设点，双曲线的一条渐近线222213xy aa3ya 2 ,3,2 , 3AaaBaa方程为，可得，30xy12 332 33 22aa da，所以，解22 332
12、33 22aa da122 332 332 3622ddaaa得，故双曲线的方程为3a 22 139xy【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式8 【答案】A【解析】如图，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为ACDDAxDC轴建立平面直角坐标系，则有点，由于y331,0 ,22AB，则有，由，,1ABBC ADCD ABADRt CDARt CBAAA120BAD可得，则有，设点，则有60CAD3CD 0,0, 3Eyy，则知当233333211,2222416AE BEyyy yy 数学试卷第 9 页（共 16 页）数学试卷第 10 页（共 16 页）时，的最小值为3 4y
13、 AE BE 21 16【考点】平面直角坐标系的建立、平面几何图形的性质、平面向量的坐标运算与数量积、函数的图象与性质二填空题9 【答案】4i【解析】由题可得 67126+720541212125iiiiiiii【考点】复数的四则运算10 【答案】5 2【解析】由题知展开式中的项为，则其系数为2x2232 2 1515 22TCxxx5 2【考点】二项式定理11 【答案】1 12【解析】结合空间几何体的性质知四棱锥是正四棱锥，底面边长为，MEFGH2 2高为，则四棱锥的体积为1 2MEFGH21211=32212V【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积12 【答案】1 2【解析】将圆的方程
14、配方可得，则其圆心，半径，由直线2211xy1,0C1r （ 为参数）可得其直角坐标方程为，则圆心到直线的21,2 232xtyt t2xyC距离为，则，则的面积为1022 21 1d2222ABrdABCA11 22SABd【考点】直线的参数方程、直线与圆的位置关系、弦长公式、三角形的面积公式13 【答案】1 4【解析】由于，可得，结合基本不等式可得360ab36ab ，当且仅当，33363112222 222 22 22 284aababab b322ab即时等号成立33ab 【考点】基本不等式14 【答案】4,8【解析】由题可设函数当时， 220 ,20 ,xaxa xg xf xaxx
15、axa x0x ；当时，；根据题目条件可知函数恰有 2 个不2 1=4aa0x 2 2=8aa g x同的零点（前提条件是） ，可以分为以下三种情况：当时，解得0a 12=0=0 ，不满足条件，此时无解；当时，解得，此时函数0a 0a 1200 ，48a的两个零点均为负数；当时，此时无解；综上分析可 g x1200 ，得48a【考点】分段函数、函数的图象与性质、函数与方程15 【答案】 （1）在中，由正弦定理，可得，又由ABCAsinsinab ABsinsinbAaB，得，即，可得sincos6bAaBsincos6aBaBsincos6BB又因为，可得tan3B 0,B3B数学试卷第 11
16、 页（共 16 页）数学试卷第 12 页（共 16 页）（2）在中，由余弦定理及，有，ABCA2,3,3acB2222cos7bacacB故7b 由，可得因为，故因此sincos6bAaB3sin7Aac2cos7A，4 3sin22sincos7AAA21cos22cos17AA 所以4 31133 3sin 2sin2 coscos2 sin727214ABABAB【考点】同角三角函数的基本关系、两角差的正弦与余弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识16 【答案】 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分3:2:2层抽样的方法从中抽取 7 人，因此
17、应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3人，2 人，2 人（1） （i）随机变量的所有可能取值为 0,1,2,3X3 43 3 70,1,2,3kkCCP XkkC所以随机变量的分布列为X随机变量的数学期望X112184120123353535357EX （ii）设事件为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人” ；B事件为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人” ，则C，且与互斥由（i）知，故ABCBC 2 ,1P BP XP CP X 6217P AP BCP XP X【考点】随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事
18、件的概率加法公式等基础知识17 【答案】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，D,DA DC DG xy轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，可得z 30,0,0 ,2,0,0 ,1,2,0 ,0,2,0 ,2,0,2 ,0,1,2 ,0,0,2 ,0,1 ,1,0,22DABCEFGMN（1）依题意0,2,0 ,2,0,2DCDE设为平面的法向量，则即不妨令，0, ,nx y zCDE000,0,nDCnDE20, 220,y xz1z 可得又，可得，又因为直线平面01,0, 1n 3= 1,12MN 00MN n MN ，所以平面CDEMN ACDE（2）依题意，可得1,0,0
19、,1, 2,2 ,0, 1,2BCBECF 设为平面的法向量，则即不妨令，, ,nx y zBCE0,=0n BCn BE ，0, 220,x xyz 1z 可得0,1,1n 设为平面的法向量，则即，不妨令，, ,mx y zBCF0,0,m BCm CF 0, 20,x yz 1z 可得0,2,1m 因此有，于是3 10cos,10m nm nm n10sin,10m n 数学试卷第 13 页（共 16 页）数学试卷第 14 页（共 16 页）所以二面角的正弦值为EBCF10 10（3）设线段的长为，则点的坐标为，可DP0,2h hP0,0,h得易知，为平面的一个法向量，故1, 2,BPh
20、= 0,2,0DCADGE， 22cos, 5BP DC BP DC BP DCh 由题意，可得，解得 223sin6025h 30,23h 所以线段的长为DP3 3【考点】直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识18 【答案】 （1）设等比数列的公比为，由，可 naq1321,2aaa得因为，可得，故220qq0q 2q 12nna设等差数列的公差为由，可得由，可得 nbd435abb134bd5462abb，从而，故131316bd11,1bdnbn（2） （i）由（1） ，有，故122112n n nS1112122122212nnn kkn n kkTnnn（ii）因为，
21、1121 2222222 12121221kkkk kkkkkkTbbk kkkkkkkk 所以 3243212 2122222222123243212nnnn kkkkTbbkknnn 【考点】等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识n19 【答案】 （1）设椭圆的焦距为，由已知有，又由，可得2c225 9c a222abc由已知可得，由，可得，从23ab,2FBa ABb6 2FBAB6ab 而3,2ab所以椭圆的方程为22 194xy（2）设点的坐标为，点的坐标为由已知有，故P11,x yQ22,xy120yy，又因为，而，故12sinPQAOQyy2sinyAQOA
22、B4OAB，由，可得22AQy5 2sin4AQAOQPQ1259yy由方程组消去，可得，易知直线的方程为22,1,94ykxxyx12694ky k AB，由方程组消去，可得，由，可20xy, 20,ykx xyx22 1kyk1259yy得，两边平方，整理得，解得或2513 94kk25650110kk1 2k 11 28k 所以的值为或k1 211 28【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识20 【答案】 （1）由已知，有 lnxh xaxa lnlnxh xaaa令，解得 0h x0x 由，可知当变化时，的变化情况如下表：1a x h x h x所以函数的单调递减区间为，
23、单调递增区间为 h x,00,（2）由，可得曲线在点处的切线斜率 lnxfxaa yf x 11,xf x为由，可得曲线在点处的切线斜率为1lnxaa 1 lngxxa yg x 22,gxx因为这两条切线平行，所以有，即，两边21 lnxa121lnlnxaaxa122ln1xx aa取以为底的对数，得，所以a21log2log ln0aaxxa 122lnln lnaxg xa （3）曲线在点处的切线为：.曲线 yf x1 1,xx a1l11 1lnxxyaaaxx在点处的切线为：. yg x22,logaxx2l22 21loglnayxxxxa要证明当时，存在直线 ，使 是曲线的切线
24、，也是曲线的切1 eaell yf x yg x数学试卷第 15 页（共 16 页）数学试卷第 16 页（共 16 页）线，只需证明当时，存在，使得与重合.1 eae12,0,xx 1l2l即只需证明当时，1 eae方程组有解.1112121ln,ln1lnloglnxxx aaaxaax aaxa 由得，代入，得1221lnxx aa11 1112lnlnln0.lnlnxxaax aaxaa因此，只需证明当时，关于的方程存在实数解.1 eae1x设函数， 12lnlnlnlnlnxxau xaxaaxaa即要证明时，函数存在零点.1 eae yu x，可知时，；时，单调递增， 21lnxu
25、xaxa ,0x 0ux0,x ux又，故存在唯一的，且，使得 21ln 21010,10 lnauua a 0x00x ， 00ux即.由此可得在上单调递增，在上单调递减，0201ln=0xax a u x0,x0,x 在处取得极大值. u x0xx 0u x因为，所以，1 eaelnln1a 所以 00 00002 012lnln12lnln22ln lnln0.lnlnlnlnlnxxaaaau xax aaxxaaaaxa下面证明存在实数 ，使得.t 0u t 由（1）可得，1lnxaxa 当时，有1 lnxa 2212lnln12lnln1ln1lnln1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa ，所以存在实数 ，使得.t 0u t 因此，当时，存在，使得1 eae1,x 10 .u x 所以当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线的切1 eaell yf x yg x线【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法