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1、-在-此_-_卷_号证-考上准_-_答_名姓-题-无-效-绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码张贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
2、区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设z 1i1 i 2i，则z（）A0B12C1D22已知集合Ax|x2 x 2 0，则R RA（）Ax|1 x 2Bx|1 x 2Cx|x 1 x|x 2Dx|x 1 x|x 23某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍 实现翻番为更好地了理科数学试题 A第 1 页（共 18 页）解该地区农村的经济收
3、入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记Sn为等差数列an的前n项和若3S3 S2 S4，a1 2，则a3（）A12B10C10D125设函数fx x3a 1x2 ax若fx为奇函数，则曲线y fx在点0，0处的切线方程为（）Ay 2xBy xCy 2xDy x6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A34AB 14ACB134AB 4ACC34A
4、B 14ACD134AB 4AC7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A2 17B2 5C3D28设抛物线C：y2 4x的焦点为F，过点2，0且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM FN（）A5B6C7D89已知函数fxex，x0 x，x 0，gx fx x a，若gx存在 2 个零点，则a的取ln理科数学试题 A第 2 页（共 18 页）值范围是（）A1，0B0，C1，D1，10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由
5、三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则（）Ap1 p2Bp1 p3Cp2 p3Dp1 p2 p3已知双曲线C：x211 y231，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则MN（）A32B3C2 3D412已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A3 34B2 33C3 24D32二、填空题（本题共 4 小题，每小题
6、 5 分，共 20 分）x 2y 2013若x，y满足约束条件x y 10，则z 3x 2y的最大值为_y014记Sn为数列an的前n项和若Sn 2an1，则S6_15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）16已知函数fx 2sin x sin 2x，则fx的最小值是_三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）理科数学试题 A第 3 页（共 18 页）（一）必考题：共 60 分。17（12 分）在平面四
7、边形ABCD中，ADC 90，A 45，AB2，BD 5求cosADB；若DC 2 2，求BC18（12 分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF证明：平面PEF平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值19（12 分）：x2设椭圆C2 y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐理科数学试题 A第 4 页（共 18 页）标为2，0当l与 x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：OMA OMB20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产
8、品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p0 p 1，且各件产品是否为不合格品相互独立记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点p0；现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，
9、是否该对这箱余下的所有产品作检验？理科数学试题 A第 5 页（共 18 页）21（12 分）已知函数fx1x x aln x讨论fx的单调性；若fx存在两个极值点xx21，x2，证明：fx1 fx1 x a 22（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标xOy中，曲线C1的方程为y k x 2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C22的极坐标方程为 2cos 3 0求C2的直角坐标方程；若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程23选修 45：不等式选讲（10 分
10、）已知fx x 1 ax 1 当a 1时，求不等式fx 1的解集；若x0，1时不等式fx x成立，求a的取值范围理科数学试题 A第 6 页（共 18 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】z 1i21i1i 2i 2i2 2i i,则z 1,选 C.2.【答案】B【解析】CRA x|x2 x 2 0 x|1 x 2,故选 B.3.【答案】A【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2 倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的 74%,故选 A.4.【答
11、案】B【解析】令an的公差为d,由3S3 S2 S4,a1 2得3(3a13d)6a17dd 3,则a5 a1 4d 10,故选 B.5.【答案】D【解 析】xR,f(x)f(x)x3(a 1)x2 ax x3(a 1)x2 ax 2(a 1)x20,则a 1,则f(x)x3 x,f(x)3x21,所以f(0)1,在点(0,0)处的切线方程为y x,故选 D.6.【答案】A【解析】BE 1(BA112BD)(BA2BC)12BA11324(AC AB)4AC 4AB,则EB 34AB14AC,故选 A.7.【答案】B【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A所在的母线把圆柱侧面展开成如图所理科数学
12、试题 A第 7 页（共 18 页）示的矩形,从点M到点N的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为2 5,故选B.M(A)M162N(B)4N8.【答案】D2【解析】由方程组y 3(x 2),解得x 1x 4y2 4xy 2或,不妨记M(1,2),N(4,4).y 4又F为(1,0),所以FM FN (0,2)(3,4)8,故选 D.9.【答案】C【解析】若g(x)存在 2 个零点,即f(x)x a 0有 2 个不同的实数根,即y f(x)与y xa的图像有两个交点,由图可知直线y xa不在直线y x 1的上方即可,即a 1,则a 1.故选 C.10.【答案】A【解析】令RtABC角A,B,
13、C分别对应的边长为a,b,c,对 应 的 面 积 分 别 为s11,s2,s3.则s12bc；211 c 21b2b2c2a24bc2a 212bc a2s 4bc38；s22222s38,因为b2c2 a2,所以s122bc.所以s1 s2 p1 p2,故选 A.11.【答案】B【解析】如图所示,不妨记OMF 90,F为(2,0),渐近线为y 33x,所以MOF NOF 30,则OM OF cosMOF 3,MN OM tanMON 3,故选 B.理科数学试题 A第 8 页（共 18 页）16.【答案】3 32【解析】因为f(x)是奇函数,且f(x)f(x 2),即周期为2,12.【答案】A
14、【解析】正方体中,连接顶点M,N,P,Q,三棱锥Q MNP为正三棱锥,侧棱与底所以只需要研究f(x)在,上的图像.又f(x)2cos x 2cos2 x 2(2cos2x cosx 1)2(2cos x 1)(cosx 1),则 3 3f(x)在,上的极值点为x ,因为f()f(),f()0,所面所成的角都相等,所以正方体的每条棱与平面MNP所成的角均相等,不妨令平面平面MNP.易知,当平面截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF时截面 的 面 积 可 以 取 到 最 大 值.不 妨 取AM x(0 x 1),则AF ED BC 2x,AB EF CD 2(1 x),CF/MN且CF
15、 MN 2,等腰梯形ABCF、DEFC的高分别为62(1 x)和62x所以S3ABCDEF SABCF S(2(1 x)DEFC2(2x2 2x1)2)6x22.当x 12时,截面面积的最大值为32323 34.故选 A.二、填空题13.【答案】6【解析】可行域为ABC及其内部,当直线y 3xz22经过点B(2,0)时,zmax 6.14.【答案】63【解析】由a1 S1 2a11得a1 1,当n2时,an Sn Sn1 2an12an11,即ana 2,所 以an是 等 比 数 列,n1S6 12481632 63.15.【答案】16【解析】恰有 1 位女生的选法有C12C212种,恰有 2
16、 位女生的选法有C2142C4 4种,所以不同的选法共有16 种.理科数学试题 A第 9 页（共 18 页）3 3332以f(x)3 3min2.三、解答题（一）必考题：共 60 分。17.【答案】(1)235(2)5【解析】(1)如图所示,在ABD中,由正弦定理BDABsin AsinADB,得sinADB 25,ADC 90,ADB为锐角,cosADB 1sin2ADB 235；(2)ADC 90,cosCDB cos(90 ADB)sinADB 25,若DC 2 2,则在BCD中,由余弦定理BC2 BD2 DC22BDDCcosCDB,得BC 258252 2255.18.【答案】(1)
17、见解析理科数学试题 A第 10 页（共 18 页）ABDC(2)34【解析】(1)证明：四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,PO 3PO3,PD2,则sinPDO,即DP与平面ABFD所成角的正弦2PD4值为PEF/AB/CD且BF EF,PF BF,EFPF F,BF 平面PEF,3.4平面ABFD EFP,方法方法 3 3：作PO EF交EF于点O,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEFzDEAxOBFCyBF 平面ABFD,平面PEF 平面ABFD.(2)方法方法 1 1：由(1)知BF 平面PEF,BF PE,DCOBPO平面ABFD,以E为坐
18、标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.BF/AD,PE AD.令正方形ABCD的边长为 2,AEF令正方形ABCD的边长为 2,OF a(a 0),则F(0,2,0),P(0,2a,1a2),D(1,0,0)PD DC 2,ED1,PE PD2 DE23.作PO EF交EF于点O,连接OD,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEF平面ABFD EF,DPF 90,PF DP 0,即(0,a,1a2)(1,2 a,1a2)0,即a(2 a)(1a2)0,解得a PO平面ABFD,斜线DP在平面ABFD内的射影为OD,PDO等于DP与平面ABFD所成的角.PF CF 1,EF
19、 2,PE2 PF2 EF2,即PE PF且PFE 60,在RtPOF中,OP 1.233.PF 22PO3,即DP与平面ABFD所成角的正弦值为PD433所以DP (1,),22易知平面ABFD的一个法向量为n (0,0,1),故在RtPOD中,sinPDO 3.4方法方法 2 2：作PO EF交EF于点O,连接OD,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEF平面ABFD EF,3nDP3,cos n,DP 2n DP124即DP与平面ABFD所成角的正弦值为19.【答案】(1)直线AM的方程为：y (2)见解析【解析】(1)右焦点为F(1,0),当l与x轴垂直时有l:x
20、 1,则A为(1,直线AM的方程为：y 3.4PO平面ABFD,斜线DP在平面ABFD内的射影为OD,PDO等于DP与平面ABFD所成的角,令正方形ABCD的边长为 2,OF a(a 0),则EO 2a,PO PF2OF21 a2,DO PD2 PO23 a2,由DO2 ED2 EO2得3 a21(2 a)2,解得a 22(x2)或y(x 2)221.222)或(1,),2222(x2)或y(x 2)；22理科数学试题 A第 11 页（共 18 页）理科数学试题 A第 12 页（共 18 页）(2)方法方法 1 1：令直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,当l与x轴重合时有k1 k2 0,所以
21、OMA OMB 0；当l与x轴不重合时,令l:my x 1,A(x1,y1),B(x2,y2),my x 1由x22得(m2 2)y2 2my 1 0,则y2m11 y2,2 y 1m2 2,y1y2m2 2因为k1y2y1y22my1y2(y1 y2)1 k2yx1my,12x22my121(my11)(my21)2m所 以k1 k2m2 22mm2 2(my 0,即 直 线AM,BM的 倾 斜 角 互 补,得11)(my21)OMAOMB.综合所述,得OMAOMB.方法方法 2 2：令直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,由(1)知,当l与x轴垂直时有k1 k2,即直线AM,BM的倾斜角互
22、补,得OMAOMB；当l不与x轴垂直时,令l:y k(x 1),A(x1,y1),B(x2,y2),y k(x 1)由2得(2k21)x2 4k2x 2k2 2 0,则x 2 y21x4k22k221 x22k21,x1x22k21,因为k1 k1y2k(x11)k(x21)k2x1x23(x1 x2)42yxx,1222x12x22(x12)(x22)k2(2k22)4k2所以k1 k22k2132k21 4(x 0,12)(x22)即直线AM,BM的倾斜角互补,得OMAOMB.综合所述,得OMAOMB.理科数学试题 A第 13 页（共 18 页）20.【答案】(1)p1010(2)()EX
23、 490()应该对这箱余下的所有产品都作检验.【解析】(1)由 n 次独立重复事件的概率计算得f(p)C220p2(1 p)18190p2(1 p)18,f(p)380p(1 p)1819018p2(1 p)17 380p(1 p)17(110p)且0 p 1,f(p)0时,得p 110.又当p(0,110)时,f(p)0,f(p)单调递增；当p(110,1)时,f(p)0,f(p)单调递减,所以p 1110是f(p)在(0,1)上唯一的极大值点,也是最大值点,即p010.(2)()已检验的 20 件产品的检验费用为202 40元.该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布B(180,110),
24、估计不合格品件数为18011018,若不对该箱余下的产品作检验,余下的产品的赔偿费用估计为1825450元.所以,若不对该箱余下的产品作检验,则EX 40450 490.()若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用,EX 401802400.因为490400,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.21.【答案】(1)a 2时,f(x)在定义域(0,)上始终单调递减；a 2时,f(x)在(0,a a2 42),(a a2 42,)上递减,在(a a242,a a2 42)上递增.(2)见解析【解析】(1)f(x)1ax2 ax 1x21xx2(x 0)理科数学试题 A第 14 页（共 18
25、 页）令g(x)x2 ax 1,a24.a2,2时,0,f(x)0恒成立,所以f(x)在定义域(0,)上始终单调递减.a2或a 2时,0.由g(x)0即f(x)0解得xa a2 4a a2 412,x22,且x1 x2 a,x1x21.a2时,x1 0,x2 0,f(x)0恒成立,所以f(x)在定义域(0,)上始终单调递减.a 2时,x2 x10,在(0,x1),(x2,)上f(x)0,f(x)单调递减；在(x1,x2)上f(x)0,f(x)单调递增.综上所述,a 2时,f(x)在定义域(0,)上始终单调递减；a 2时,f(x)在(0,a a2 42),(a a2 42,)上递减,a a2在(
26、42,a a2 42)上递增.(2)证明：方法方法 1 1：由(1)知a 2时f(x)存在两个极值点,且x2 x1 0.欲证明f(x1)f(x2)xx a 2等价于证明f(x1)f(x2)(a 2)(x1 x2).12即证明f(x1)(a 2)x1 f(x2)(a 2)x2,其中x1,x2是方程x2 ax1 0的两个根.令h(t)f(t)(a 2)t,则满足t2 at 1 0,即t 1t a.h(t)f(t)(a 2)1t21 a1t(a2)1t21(t 1t)1t(t 1t2)2(t 1t)t 1t a 2,h(t)2(t 1t)0,h(t)f(t)(a 2)t在t(0,)上为减函数.因为x
27、2 x1 0,所以h(x1)h(x2),即f(x1)(a 2)x1 f(x2)(a 2)x2,得证.理科数学试题 A第 15 页（共 18 页）方法方法 2 2：由(1)知x2 x1 0,x1 x2 a 2,x1x21,从而有x21 x1 0.1f(x x11alnx1 x2alnx21)f(x2)xxx1x2 x12x12f(x1)f(x(x2 x11)(1)alnx12)x1x2x2x1 x2x x 2alnx1,12x1 x2x2要 证 明f(x1)f(x2)x a 2等 价 于 证 明2alnx1 a 2,即 证 明1 x2x1 x2x2lnx1x x1 x2.2x211x21,只需证
28、明lnx1 x1x,即证明2ln x11 x1x 0成立即可.11令(t)2lnt t 1t,t(0,1),t)21t2则(2t 1(t 1)2t1t2t2t2 0,(t)在(0,1)上为减函数.所以(t)(1)0,根据x11(0,1),证得2ln x1 x1x 0成立,得证.1（二）选考题：共 10 分。22.【答案】(1)C2的直角坐标方程为x2 y2 2x 3 0(2)C41的方程为：y 3|x|2.【解析】(1)x cos,y sin,所以C2的直角坐标方程为x2 y2 2x 3 0；(2)曲线Ckx 2,x 01：y,kx 2,x 0其图像是关于y轴对称且以(0,2)为端点的两条射线
29、.y2C222：(x 1)y 4,其图像是以(1,0)为圆心,半径为 2 的圆.若C1与C2有且仅有三个公共点,Ox理科数学试题 A第 16 页（共 18 页）则k 0且y kx 2(x 0)与C2相切(如图).由k 2k21 2且k 0,解得k 43,则C41的方程为：y 3|x|2.23.【答案】(1)解集为(12,).(2)0a2.【解析】(1)当a 1时,f(x)x 1 x 1,则x1时,f(x)2,则f(x)1无解；1 x1时,f(x)2x,则f(x)1的解集为(12,1)；x 1时,f(x)2,则f(x)1的解集为1,).综上所述,所求解集为(12,).(2)x(0,1)时不等式f(x)x成立,即x 1 ax 1 x,则ax 1 1成立.所以1 ax110 a 2x.因为0 x 1时,有2x(2,),所以0 a 2.理科数学试题 A第 17 页（共 18 页）理科数学试题 A第 18 页（共 18 页）