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1、1 惠州市 2019 届高三第三次调研考试数学（理科）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .（1）已知集合2|2Ax xx，集合|Bx x，则集合ABU（）A|1x xB|2x xC|0 xxD|
2、2xx（2）若复数z满足1i zi，则在复平面内，z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（3）若x、y满足约束条件10040 xxyxy，则2zxy的最大值为（）A 2 B6 C7 D8 （4）两个正数a、b的等差中项是72，一个等比中项是2 3，且ab，则双曲线22221xyab的离心率e等于（）A53B152C54D34（5）已知函数yfx与xye互为反函数，函数yg x的图象与yfx的图象关于x轴对称，若1g a，则实数a的值为（）AeB1eCeD1e（6）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了
3、“ 割圆术 ” ，利用 “ 割圆术 ” 刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的 “ 徽率 ” 。如图是利用刘徽的“ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）A 48 B36 C24 D 12 （参考数据：0031.732,sin150.2588,sin 750.1305）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 （7）已知直线l过点2,0P，当直线l与圆222xyx有两个交点时，其斜率k的取值范围为（）A2 2,22B22,44C2,2D1 1,8 8（8）一个几何体的三视图如图
4、所示，则这个几何的体积为（）立方单位。A32 31633B168 33C32 363D8 36（9）已知F是抛物线24xy的焦点，M，N是该抛物线上两点，6MFNF，则MN的中点到准线的距离为（）A32B2 C3 D4 （10）在ABC中，点D是AC上一点，且4ACADuuu ru uu r，P为BD上一点，向量APABACuuu ruu u ruuu r，则41的最小值为（）A16 B8 C4 D2 （11）函数13cossin022fxxx在0,内的值域为11,2，则的取值范围为（）A2 4,3 3B40,3C20,3D0,1（12）已知偶函数fx满足44fxfx且00f，当0,4x时 ,
5、ln 2xfxx，关于x的不等式20fxa fx在200,200上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围为（）A1ln 6,ln 23B1ln 2,ln 63C1ln 6,ln 23D1ln 2,ln 63二填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分. （13）已知3sin,52，则tan4_。（14） 如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，3AB，1BC，ACD是等边三角形，则AC BDu uu r uu u r的值为 _。A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 （15） 已知四棱锥PABC
6、D的顶点都在半径为1 的球面上， 底面ABCD是正方形， 且底面ABCD经过球心O，E是AB的中点，PE底面ABCD，则该四棱锥PABCD的体积等于_立方单位。（16）已知数列na满足11a，111nnnanan n，且2cos3nnnba，记nS为数列nb的前n项和，则24S_。三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。（17） （本小题满分12 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，S为其面积，若2224Sacb（1）求角B的大小；（2）设BAC的角
7、平分线AD交BC于D，3AD，6BD，求cosC的值。（18） （本小题满分12 分）已知公差为正数的等差数列na的前n项和为nS，且2340aa，426S,数列nb的前n项和122nnTnN。（1）求数列na与nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nM（19） （本小题满分12 分）在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BCAD，090ADC，1BCCD，2AD，3PAPD，E为AD的中点，F为PC的中点。（1）求证：PA平面BEF；（2）求二面角FBEA的余弦值。B D C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 3 页，共 15 页4 （20） （本小题满分12 分）已知椭圆222210 xyabab过点312P，且左焦点与抛物线24yx的焦点重合。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线:0lykxm k与椭圆交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点108G，求k的取值范围。（21） （本小题满分12 分）设函数ln2axfxxaaRx（1）当曲线yfx在点11f，处的切线与直线yx垂直时，求实数a的值；（2）若函数24aFxfxx有两个零点，求实数a的取值范围。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信
9、息点涂黑。（22） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为tytx6（t为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22232cos3（1）写出曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）已知点P是曲线2C上的动点，求点P到曲线1C的最小距离（23） 选修 4-5：不等式选讲 已知( ) |1|21|f xxx. （1）求不等式( )0f x的解集；（2）若xR时，不等式( )f xxa恒成立，求a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，
10、共 15 页5 数学（理科）参考答案一、 选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B B C A D C B D C A A D 1 【解析】| 21 ,|0AxxBx x，集合|2ABx x故选 B另解：由B 是 A B 的子集，所以选项中包含必有（0,+ ） ，排除选项ACD ，故选 B2 【解析】由题得z=,所以复数z 对应的点为（ -1,1） ，所以复数z 对应的点在第二象限。故答案为B另解：也可以两边同时乘以，化简后可得答案。3 【解析】作出可行域，如右图中的阴影部分，易知目标函数过点时取得最大值为，故选 C4 【解析】由题意可得：27222 3abab
11、，结合0ab，解方程组可得：34ab，则双曲线中：2255,3ccabea.故选 A5 【解析】函数与互为反函数，函数，的图象与的图象关于轴对称，函数，即故选 D. 6 【解析】，故选C.7 【解析】直线l为20kxyk，又直线l与圆222xyx有两个交点，故2|2 |11kkk，2244k，故选 B另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。8 【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为2 3，底面是以4 为底、 3 为高的矩形）和半个圆柱（半径为2，高为 3）组合而成，则该几何体的体积为2114 32 3 238 3632V.故选 D. 9 【解析】由题意，抛物线的准线方程为，设，所以
12、，解得，所以的中点的纵坐标为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选 C10 【解析】由题意可知：，其中 B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值为16.故选. 11 【解析】函数当时，则解得，故的取值范围为。故选12 【解析】当0 x4时， f (x)= ，令 f (x)=0得 x= ，f(x)在（ 0， ）上单调递增，在（，4）上单调递减，f(x)是偶函数，f(x+4)=f(4 x)=f(x 4)， f(x)的周期为8
13、，f(x)是偶函数，且不等式f 2(x)+ af(x)0 在 200，200上有且只有200 个整数解，不等式在（ 0，200）内有 100 个整数解，f(x)在（ 0，200）内有 25 个周期， f(x) 在一个周期（0，8）内有 4 个整数解，若 a0，由 f2(x)+a f(x) 0，可得 f(x) 0或 f(x) a，显然 f(x) 0 在一个周期（ 0，8）内有 7 个整数解，不符合题意；若 a0，由 f 2(x)+af(x)0，可得 f(x) 0或 f(x) a，显然 f(x) 0 在区间（ 0，8）上无解，f(x) a在（ 0， 8）上有 4 个整数解，f(x)在（ 0，8）上
14、关于直线x=4 对称， f(x) 在（ 0， 4）上有 2 个整数解，f(1)=ln2 ， f(2)=ln2，f(3)=，f(x) a 在（ 0， 4）上的整数解为x=1，x=2 aln2，解得 ln2a 故答案为： D 二填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13、71，14、- 1，15、32，16、304。13 【解析】因为所以 cos因此.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 14【解析】ABBC， AB=， BC=1 ， AC=2， ， BCA=； 又 ACD 是等边三角形， AD=AC=
15、2 ，AD AB ，=? （+）=?+?=-+1 2=-115 【解析】如右图，连接,OP OE，则，又，16 【解析】，数列是公差与首项都为1 的等差数列，可得，令，则，同理可得，则三解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17 【解析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理得:1 分（注意：没有写出此行文字本得分点不给分）2 分3 分4 分5 分（2）在中,由正弦定理得6 分所以7 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
16、 15 页8 8 分所以9 分所以10 分11 分18 【解析】（1）由题意知142344)(40262aaaaS，23234013aaaa，1 分又公差为正数，故25a，38a,3d公差，2 分31nan，3 分由1*22nnTnN（）得当111,2nbT，4 分当2,nnN时，1122222nnnnnnbTT5 分综上得*2nnbnN（）6 分（2）由（ 1）知31 2nnnabn22 25 2312nnMnL7 分解法 1 （错位相减法）23122 25 231 2nnMnL8 分得12331243 222nnnMnL10 分13428nn12 分解法 2 （待定系数法的简单解答过程）设
17、2nnMAnBB8 分由124,24MM，得2224224ABABBB解得6,8AB9 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 所以6882nnMn10 分注意：用待定系数法没有说明2nnMAnBB的原理，最后结果正确也要扣2 分。解法 3 （分合法）22 25 2312nnMnL7 分12142 5 28 2312nnL12142 (32) 2(35) 23342nnL12112142 2 25 23426 222nnnLL8 分12 1242312612nnnnMMn10 分化简得13428nnMn12 分如果
18、学生有其余解法，评卷老师可与备课组长讨论决定评分细则，并上报给题组长备案。19 【解析】（1）连接交于，并连接，1 分，为中点，且，四边形为平行四边形，2 分为中点，又为中点，3 分平面，平面，平面.4 分（2） 解法 1 （向量法）连接，由 E 为 AD 的中点及，得则，侧面底面，且交于，面，5 分如图所示，以E 为原点， EA、 EB、EP 分别为x、y、 z 轴建立空间直角坐标系，6 分则，C. 为的中点， F，7 分设平面 ?F 法向量为，则,8 分取,9 分平面ABE法向量可取：,10 分设二面角F-BE-A 的大小为，显然为钝角，P FC B E D A N P FC B E D
19、A N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 ,11 分二面角F-BE-A 的余弦值为12 分（2） 解法 2 （几何法1）连接，由 E 为 AD 的中点及，得，5 分取中点，连，侧面底面，且交于，面，6 分为的中点， MEA 为二面角F-BE-A 的平面角8 分在中，9 分在中，由余弦定理得10 分在中，由余弦定理得cosMEA，11 分所以二面角F-BE-A 的余弦值为.12 分（2） 解法 3 （几何法2）连接，由 E 为 AD 的中点及，得侧面底面，面，5 分，连交于点，则为中点，连，为的中点，面，6 分
20、又， FNQ 为二面角F-BE-A 的平面角的补角8 分在中，8 分由勾股定理得9 分cosFNQ33，11 分P FC B E D A N Q P FC B E D A N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 所以二面角F-BE-A 的余弦值为33.12 分20 【解析】（1） 解法 1Q抛物线的焦点为F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，1 分又椭圆过点312P，由椭圆的定义知，2 分，又，3 分椭圆的方程为22143xy4 分（1） 解法 2Q抛物线的焦点为F（-1,0） ，依题意知
21、，椭圆的左右焦点坐标分别为，1 分又椭圆过点312P，222219141abab2 分解得，3 分椭圆的方程为22143xy4 分（1） 解法 3Q抛物线的焦点为F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为，1 分又椭圆过点312P，232ba2 分221323202aaaa，可解得，3 分椭圆的方程为22143xy4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 （2） 解法 1由22143ykxmxy消去y整理得2223484120kxmkxm，5 分Q直线与椭圆交于不同的两点，2222644 34412
22、0m kkm，整理得2243mk 6 分设1122,Mx yN xy，线段MN的中点 A00,xy，则21212228412,3434mkmxxx xkk，7 分024,34mkxk20022433434mkmykxmmkk，点 A 的坐标为2243,3434mkmkk，8 分直线 AG 的斜率为22232434413234348AGmmkkmkmkkk，又直线 AG 和直线 MN 垂直，22413234mkmkk，2348kmk，10 分将上式代入式，可得22234438kkk，整理得2120k，解得551010kk或11 分实数k的取值范围为55,1010U12 分（2） 解法 2设),(
23、),(),(2211yxAyxNyxM则,1342121yx, 1342222yx两式相减得.5 分3422212221yyxx即2121212143yyxxxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 点A满足方程xky43.6 分又直线MNAG且过点)0 ,81(G点A也满足方程)81(1xky.7 分联立解得kyx83,21，即)83,21(kA.8 分点A在椭圆内部13422yx.9 分16431612k.10 分2012k105105kk或.11 分k的取值范围为55,1010U.12 分注意：本题的
24、完整解答过程可以是两问上述解法的一种组合。21 【解析】（1）由题意知，函数fx的定义域为0 +，1 分2ln11axfxx，2 分 111fa，解得2a.3 分（2）若函数24aFxfxx有两个零点，则方程2ln204axaxaxx恰有两个不相等的正实根，4 分即方程恰有两个不相等的正实根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 设函数，定义域为0 +，5 分22221xaxaxaxxx.6 分当0a时，0gx恒成立，则函数g x在0,上是增函数，函数g x最多一个零点，不合题意，舍去；7 分当0a时，令0g
25、x，解得2ax，令0gx，解得02ax，则函数g x在0,2a内单调递减，在,2a上单调递增 .8 分易知0 x时，0g x恒成立，又因为单调递增，所以x时，0g x成立，要使函数g x有 2 个正零点，则g x的最小值02ag，9 分即22ln202424aaaaaa，即ln02aaa，10 分0a，ln12a，解得2ae，11 分实数a的取值范围为2 , e.12 分注意：结果正确的情况下，没有说明x时，0g x的情况需要扣1 分。22.【解析】（1）消去参数t得到6yx， 1分故曲线1C的普通方程为60 xy2分22232cos3，由cossinxy3 分（注意：无写出此公式本得分点不给
26、分）得到2223()23xyx，4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 即2213xy,故曲线2C的普通方程为2213xy. 5分（2） 解法 1设点P的坐标为( 3cos ,sin)，6分点P到曲线1C的距离| 2cos()6|3 cossin6|622d，8分所以，当cos()16时，d的值最小， 9分所以点P到曲线1C的最小距离为22. 10分（2） 解法 2设平行直线1C：60 xy的直线 方程为0 xym6 分当直线1C与椭圆2C相切于点P 时， P 到直线1C的距离取得最大或最小值。由22013
27、xymxy得2246330 xmxm，7分令其判别式0，解得2m，8分经检验，当2m时，点 P 到直线1C的距离最小，最小值为|62|222d9 分所以点P到曲线1C的最小距离为22. 10分23.（1）由题意得|1| |21|xx，1分所以22|1| 21|xx，2分化简得3 (2)0 x x3分解得02x， 4分故原不等式的解集为|02xx5 分（2）由已知可得，( )af xx恒成立，设( )( )g xf xx，6 分则2,11( )2 , 12122,2xg xxxxx, 7 分由( )g x的单调性可知，12x时，( )g x取得最大值1，9分所以a的取值范围是1,) 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页