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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 惠州市 2022 届高三第三次调研考试数学（理科）留意事项：1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上；2作答挑选题时,选出每个小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效；3非挑选题必需用黑色字迹签字笔作答,答案必需写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效；一、挑选题：此题共12 小题,每道题5 分,共 60 分. 在每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 .（1）已知集合 A x x 2x 2,集合 B x x,就集
2、合 A U B（）A x x 1 Bx x 2 Cx |0 x Dx | 2 x（2）如复数 z 满意 i z 1 i ,就在复平面内,z 所对应的点在（）A 第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限x 1 0（3）如 x 、 y 满意约束条件 x y 0,就 z x 2 y 的最大值为（）x y 4 0A 2 B6 C7 D8 （4）两个正数 a 、 b 的等差中项是 7,一个等比中项是 2 3 ,且 ab,22 2x y就双曲线 2 2 1 的离心率 e等于（）a bA 5 B15 C5 D33 2 4 4（5）已知函数 y f x 与 y e 互为反函数,函数 xy g x 的图象与
3、 y f x 的图象关于 x 轴对称,如 g a 1,就实数 a 的值为（）A e B1 C e D1e e（6）公元 263 年左右,我国数学家刘徽发觉当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限靠近圆的面积,并创立了“割圆术 ”,利用 “割圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ,这就是闻名的 “徽率 ”；如图是利用刘徽的“ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图,就输出的 n 值为（）A 48 B36 C24 D 12 0 0（参考数据：3 1.732,sin15 0.2588,sin 75 0.1305）1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
4、 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （7）已知直线 l 过点P2,0,当直线 l 与圆x2y22x 有两个交点时,其斜率k 的取值范畴为（）2B2,2C2,2D1 1 ,8 8A 2 2,244（8）一个几何体的三视图如下列图,就这个几何的体积为（）立方单位；A32 3 16B8 3 163 3 3C32 3 6 D 8 3 63（9）已知 F 是抛物线 x 24 y 的焦点, M , N 是该抛物线上两点,MF NF 6,就 MN 的中点到准线的距离为（）A 3 B2 C3 D4 2 uuur uuur（10）在 ABC中,点 D 是 AC 上一点,且 AC 4 AD
5、, P 为 BD 上一点,向量uuurAP uuurAB uuurAC,就4 1的最小值为（）A 16 B8 C4 D2 （11）函数 f x 1cos x 3sin x 0 在 0, 内的值域为 1, 1,2 2 2就 的取值范畴为（）A 2 43 3 , B0, 3 4C0, 3 2 D 0,1ln 2x（12）已知偶函数 f x 满意 f 4 x f 4 x 且 f 0 0,当 x 0,4 时 , f x,x2关于x的不等式 f x a f x 0 在 200,200 上有且只有 200 个整数解,就实数a的取值范畴为（）A 1 ln 6,ln 2 Bln 2, 1ln 63 3C1 l
6、n 6,ln 2 Dln 2, 1ln 63 3二填空题：此题共 4小题,每道题 5分,共 20分. （13）已知 sin 3, ,就 tan _；5 2 4A D （14）如图,在平面四边形 ABCD中, AB BC ,AB 3,BC 1,ACD是等边三角形,就 uuur uuurAC BD 的值为 _；B C 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （15）已知四棱锥 PABCD 的顶点都在半径为1 的球面上, 底面 ABCD 是正方形, 且底面 ABCD经过球心 O , E 是 AB 的中点,PE底面 ABCD
7、 ,就该四棱锥PABCD 的体积等于_立方单位；（16）已知数列 a n 满意 a 1 1,na n 1 n 1 a n n n 1,且 b n a n cos 2 n,3记 S 为数列 b n 的前 n 项和,就 S 24 _；三解答题：共 70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤；第 1721题为必考题,每个考生都必需作答；第 22、23题为选考题,考生依据要求作答；（一）必考题：共 60分；（17）（本小题满分 12 分）在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , S 为其面积,如 4S a 2 c 2b 2 A （1）求角 B 的大小；（2）设
8、 BAC的角平分线 AD 交 BC 于 D ,AD 3,BD 6,求 cosC 的值；B D C （18）（本小题满分 12 分）已知公差为正数的等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,且 a 2 a 3 40,S 4 26 ,数列 nb 的前 n项和 T n 2 n 12 n N；（1）求数列 a n 与 b n 的通项公式；（2）求数列 a n b n 的前 n 项和 M n（19）（本小题满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD 底面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,0BC AD ,ADC 90,BC CD 1,AD 2,PA PD 3, E 为 AD 的中点,
9、 F 为PC 的中点；（1）求证： PA 平面 BEF ；（2）求二面角 FBEA 的余弦值；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （20）（本小题满分 12 分）已知椭圆x2y21ab0过点P1,32,且左焦点与抛物线y24x 的焦点重合；a2b2（1）求椭圆的标准方程；（2）如直线 l : y kx m k 0 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,线段 MN 的中点记为 A ,且线段 MN 的垂直平分线过定点 G 1 0, ,求 k 的8取值范畴；（21）（本小题满分 12 分）设函数 f x a ln xx
10、a 2 a Rx（1）当曲线 y f x 在点 1,f 1 处的切线与直线 y x 垂直时,求实数 a 的值；2（2）如函数 F x f x a有两个零点,求实数 a 的取值范畴；4 x（二）选考题：共 10分；请考生在第 22、23题中任选一题作答；答题时请写清题号并将相应信息点涂黑；（22） 选修 4-4：坐标系与参数方程 x t在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 1（ t 为参数） ,以原点 O 为极点, x 轴y 6 t的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 3 22 2cos 23（1）写出曲线 C 的一般方程和曲线 1 C 的直角坐标方程；2（2）已知点
11、 P 是曲线 C 上的动点,求点 P 到曲线 C 的最小距离（23） 选修 4-5：不等式选讲 已知f x |x1| 2x1|. xa恒成立,求 a 的取值范畴 . （1）求不等式f x 0的解集；（2）如 xR时,不等式f x 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数学（理科）参考答案一、 挑选题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A D C B D C A A D 1【解析】A x | 2 x 1 , B x x 0,集合 A B x x 2应选 B另解：由 B 是
12、A B 的子集,所以选项中包含必有（0,+ ）,排除选项 ACD ,应选 B2【解析】由题得 z= ,所以复数 z 对应的点为（ -1,1）,所以复数 z 对应的点在其次象限；故答案为 B另解：也可以两边同时乘以,化简后可得答案；3【解析】作出可行域,如右图中的阴影部分,易知目标函数过点时取得最大值为,应选 C的图象ab7b ,解方4【解析】由题意可得：ab222,结合 0a2 3c5.应选 A程组可得：a3,就双曲线中：c2 ab25,eb4a35【解析】函数与互为反函数,函数,的图象与关于轴对称,函数,即应选 D. 6【解析】,应选 C.7【解析】直线 l 为kxy2 kk0,又直线 l
13、与圆x22 y2x 有两个交点,2故|kk22 |1,2 4, 应选 B14另解：数形结合,通过相切的临界值找出答案；8【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为2 22 3 ,底面是以4 为底、 3 为高的矩形）和半个圆柱（半径为2,高为 3）组合而成,318 36.应选 D. 就该几何体的体积为V14 32 3329【解析】由题意,抛物线的准线方程为,设,所以,解得,所以的中点的纵坐标为,5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为,应选 C10【解析】由题意可知：,其中
14、B,P,D 三点共线,由三点共线的充分必要条件可得：,就：,当且仅当时等号成立,即的最小值为16.应选. 11【解析】函数当 时,就解得,故 的取值范畴为；应选12【解析】当 0x4时, f x= ,令 f x=0 得 x= ,fx 在（ 0, ）上单调递增,在（,4）上单调递减,fx 是偶函数, fx+4=f4 x=fx 4, fx 的周期为 8,fx 是偶函数,且不等式f 2x+ afx 0 在 200,200上有且只有200 个整数解,不等式在（ 0,200）内有 100 个整数解,fx 在（ 0,200）内有 25 个周期, fx 在一个周期（ 0,8）内有 4 个整数解,如 a0,由
15、 f2x+ a fx 0,可得 fx 0 或 fx a,明显 fx 0 在一个周期（ 0,8）内有 7 个整数解,不符合题意；如 a0,由 f 2x+ afx 0,可得 fx 0 或 fx a,明显 fx 0 在区间（ 0,8）上无解, fx a 在（ 0, 8）上有 4 个整数解,fx 在（ 0,8）上关于直线 x=4 对称, fx 在（ 0, 4）上有 2 个整数解,f1=ln2 , f2= =ln2,f3=,fx a 在（ 0, 4）上的整数解为 x=1,x=2 aln2,解得ln2a故答案为： D 二填空题：此题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分. 13、1 ,14、- 1,1
16、5、2 ,16、304；7 313【解析】由于 所以 cos因此 .6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14【解析】AB BC,AB=,BC=1 , AC=2,BCA=；又 ACD 是等边三角形, AD=AC=2 ,AD AB ,=.（+）=.+.=-+1 2=-1OP OE ,就,又,15【解析】如右图,连接,16【解析】,数列,1 的等差数列是公差与首项都为,可得,令,就,同理可得,就1721 题为必考题,每个三解答题：共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤；第考生都必需作答；第22、23 题为选
17、考题,考生依据要求作答；17【解析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理得:1 分（留意：没有写出此行文字本得分点不给分）2 分3 分6 分4 分5 分（2）在中,由正弦定理得所以7 分7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8 分所以9 分10 分所以11 分18【解析】（1）由题意知a 2a 340,S 44 a 12a 426,a 2a340,a2a 313,8,公差1 分,n 22n 23 分2 分又公差为正数,故a 25,a3d3a n3 n1,由T n2n1（nN*）得T n12n124 分5 分当n1,
18、b 1T 12,当n2,nN 时,b nT n综上得nbn 2（nN*）1 2n6 分（2）由（ 1）知a nb n3 nMn2 25 22L3 n1n 27 分解法 1（错位相减法）2 Mn2 22n3 5 2L23 nn 1 2123L2n8 分得M3 n1n143 2210 分n 2112 分3 n48解法 2（待定系数法的简洁解答过程）设MnAn2B2nB2AB2B8 分4解得A6,B89 分由M14,M24,得4AB2 2B28 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以Mn6n82 n810 分留意：用待定
19、系数法没有说明MnAnBn 2B 的原理,最终结果正确也要扣2 分；解法 3（分合法）Mn2 25 22L3 n1n 27 分2n1n 218 分42 5 212 8 2L3 n12n142 31 2 235 22L33 n4Mn41 2 2 25 22L3 n42n11 6 222L2 12n142Mn3n12n610 分12化简得Mn3 n4n 21812 分假如同学有其余解法,评卷老师可与备课组长争论打算评分细就,并上报给题组长备案；19【解析】（1）连接交于,并连接,1 分A P D D FB C C , 为中点,且,四边形为平行四边形,2 分为中点,又为中点,3 分平面,平面,平面.
20、4 分（2）解法 1（向量法）连接,由 E 为 AD 的中点及,得就,侧面底E N B 面,且交于,面,5 分如下列图,以E 为原点, EA、 EB、EP 分别为x、y、 z 轴建立空间直角坐标系,6 分就,C. P F 为的中点, F,7 分设平面 . F 法向量为,就E ,8 分N 取,9 分A 平面 ABE法向量可取：,10 分设二面角 F-BE-A 的大小为,明显为钝角,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,11 分二面角 F-BE-A 的余弦值为12 分,M D FB C （2）解法 2（几何法1）连接
21、,由 E 为 AD 的中点及得,5 分P 取中点,连,侧面底面,且交于,面,6 分 为的中点, MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角8 分在中,9 分E N 在中,由余弦定理得10 分A ,在中,由余弦定理得cosMEA,11 分所以二面角F-BE-A 的余弦值为.12 分（2）解法 3（几何法2）连接,由 E 为 AD 的中点及得侧面底面,面,5 分P FE D Q B C N A ,6 分连交于点,就为中点,连, 为的中点,面,又,8 分 FNQ 为二面角 F-BE-A 的平面角的补角在中,8 分由勾股定理得9 分cosFNQ3,11 分310 名师归纳总结 - - - - - - -
22、第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以二面角F-BE-A 的余弦值为3.12 分320【解析】（1）解法 1Q 抛物线的焦点为 F（-1,0）,1 分依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为,又椭圆过点P1,32,由椭圆的定义知,2 分,又,3 分1 分椭圆的方程为x2y214 分43（1）解法 2Q 抛物线的焦点为 F（-1,0）,依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为,a2b21又椭圆过点P1,32,1912 分4 2 ba2解得,3 分椭圆的方程为x2y214 分431 分（1）解法 3Q 抛物线的焦点为 F（-1,0）,依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为
23、,又椭圆过点P1,32,b232 分a23 分a2132a23 a20,可解得a2椭圆的方程为x2y214 分4311 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）解法 1由ykxm消去 y 整理得x 2y214334 k2x28 mkx4 m2120,5 分Q 直线与椭圆交于不同的两点,642 m k24 34k24m2120,整理得m24 k23 7 分6 分设Mx y 1,N x 2,y 2,线段 MN 的中点 Ax 0,y 0,就x 1x 238mk2,x x 242 m412,4k3k2x 034 mk2,
24、y0kx 0m4mk22m33 m2,4 k8 分34k4k点 A 的坐标为34mk2,33m2,4k4 k直线 AG 的斜率为k AG3 m2124 m4 k2,3 4 k4 mk32 mk334 k28又直线 AG 和直线 MN 垂直,24 m4 k2k1,m34k2,10 分32 mk38k将上式代入式,可得34k224k23,11 分8 k整理得k21,解得k5或k5201010,5U5,12 分实数 k 的取值范畴为1010（2）解法 2设Mx 1,y 1,Nx2,y2,Ax,y 就2 x 12 y 11 ,x2 2y2 2,1两式相减得.5 分43432 x 14x2 22 y 1
25、3y2 2即y1y23x 1x 2x 1x 24y1y 212 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 A 满意方程y3x.6 分4 k又直线AGMN且过点G 10, 8点 A 也满意方程y1 x k1.7 分8联立解得x1,y3,即A 1,3.8 分28 k28 k点 A 在椭圆内部x2y21.9 分431321.10 分1664 kk21k5或k5.11 分201010k 的取值范畴为,5U5,.12 分1010留意：此题的完整解答过程可以是两问上述解法的一种组合；21【解析】（1）由题意知,函数fx 的定义域
26、为0 +,2 分1 分4 分fxalnx11,x2f 11a1,解得a2.3 分（2）如函数Fxfxa2有两个零点,x4就方程alnxxa2a20恰有两个不相等的正实根,x4x. 即方程恰有两个不相等的正实根13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设函数,定义域为0 +5 分22 x a 2 x a 2 x a x 1. 6 分x x当 a 0 时,g x 0 恒成立,就函数 g x 在 0, 上是增函数,函数 g x 最多一个零点,不合题意,舍去；7 分当 a 0 时,令 g x 0,解得 x a,令 g x
27、0,解得 0 x a,2 2就函数 g x 在 0, a 内单调递减,在 a , 上单调递增 . 8 分2 2易知 x 0 时,g x 0 恒成立,又由于 单调递增,所以 x 时,g x 0 成立,要使函数 g x 有 2 个正零点,就 g x 的最小值 g a 0,9 分22 2即 a ln a aa 2 a a0,即 a ln a a 0,10 分2 4 2 4 2a 0, ln a 1,解得 a 2 e ,11 分2实数 a 的取值范畴为 2 ,e . 12 分留意：结果正确的情形下,没有说明 x 时,g x 0 的情形需要扣 1 分；22.【解析】（1）消去参数 t 得到 y x 6,
28、 1 分故曲线 C 的一般方程为 x y 6 0 2 分2 2 2 x cos3 2 cos 3,由 y sin 3 分（留意：无写出此公式本得分点不给分）得到 3 x 2 y 2 2 x 2 3, 4 分14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即x2y21,故曲线C 的一般方程为x2y21 . 5分33（2）解法 1设点 P 的坐标为 3cos ,sin , 6分分点 P 到曲线C 的距离d|3 cossin6| 2cos266|, 8 分2所以,当 cos61时, d 的值最小, 9分所以点 P到曲线C 的最
29、小距离为22. 10（2）解法 2设平行直线C ：xy60的直线 方程为xym0 6当直线C 与椭圆C 相切于点 P 时, P 到直线 2C 的距离取得最大或最小值；xym0由x2y21得4x26mx2 3 m30, 7分3令其判别式0,解得m2, 8 分经检验,当m2时,点 P 到直线C 的距离最小,最小值为d|62 |22 9 分2所以点 P到曲线C 的最小距离为22. 1023.（1）由题意得 |x1| | 2x1|, 1分所以|x1|2| 2x1|2, 2分化简得 3 x x20 3分解得 0x2, 4分故原不等式的解集为x| 0x2 5分（2）由已知可得,af x x 恒成立,设g x f x x, 6 分2,x1就g x 2 , 1x1, 7分22x2,x12由g x 的单调性可知,x1 时,g x 取得最大值 2 10 分1, 9分所以 a的取值范畴是 1,15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页