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1、精选优质文档-倾情为你奉上3.1 3.2 柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2.已知a、b、c、d为实数，求证证法：（比较法）=.=定理：若a、b、c、d为实数，则.变式： 或 或.定理：设，则 （当且仅当时取等号，假设）变式：. 定理：设是两个向量，则.等号成立？（是零向量，或者共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证. 证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式： 定理：设，则.变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数的最大值？ 分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 变式： 推广：例2：若，求证
2、：.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造） 要点： 讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知，求的最小值. 解答要点：（凑配法）.讨论：其它方法 （数形结合法）练习：已知、，求证：.例1：已知，求的最小值.练习：若，且，求的最小值.变式：若，且，求的最小值. 变式：若，且，求的最大值.例2：若，求证：. 要点：例3已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故例4 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。练习：已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 3.3 排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:;.是，的任一排列,则有 + (同序和)+ (乱序和)+ (反序和) 当且仅当=或=时，反序和等于同序和.排序不等式的应用：例1：设是n个互不相同的正整数，求证：. 证明过程： 设是的一个排列，且，则. 又，由排序不等式，得 小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知为正数，求证：. 解答要点：由对称性，假设，则，于是 ， 两式相加即得.专心-专注-专业