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1、- 1 - / 7 第一章集合与常用逻辑用语第3 课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5 6 页 ) 考情分析考点新知了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“ 或”“且”“非” 的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义会分析四种命题的相互关系. 会判断必要条件、充分条件与充要条件. 能用 “ 或”“且”“非” 表述相关的数学内容(真值表不做要求). 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容 . 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 . 1. (选修11P20 第 4(1)题
2、改编 )命题“若a、b、 c 成等比数列，则ac b2”的逆否命题是_ 答案：若acb2，则 a、b、c 不成等比数列2. (选修 11P20 第 6 题改编 )若命题 p 的否命题为q，命题 q 的逆否命题为r，则 p 与 r 的关系是_答案：互为逆命题3. (选修 11P20 第 7 题改编 )已知 p、q 是 r 的充分条件， r 是 s 的充分条件，q 是 s 的必要条件，则 s 是 p 的_条件答案：必要不充分4. (原创 )写出命题 “ 若 xy5，则 x3 且 y2” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假答案：逆命题：若x3 且 y2，则 xy5.是真命题否命题：若xy5
3、 ，则 x3 或 y2. 是真命题逆否命题：若x3 或 y2 ，则 xy5. 是假命题5. 下列命题中的真命题有_(填序号 ) xR， x1x2；xR， sinx 1；xR，x20；xR，2x0. 答案： 解读：对于 ，x1 时， x1x2，正确；对于 ，当x32时， sinx 1，正确；对于 ，x0 时， x2 0，错误；对于 ，根据指数函数的值域，正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页- 2 - / 7 6. 命题 p：有的三角形是等边三角形命题綈p：_答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1
4、) 四种命题命题表述形式原命题若 p，则 q 逆命题若 q，则 p 否命题若非 p，则非 q 逆否命题若非 q，则非 p (2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分条件与必要条件(1) 如果 pq，那么称p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(2) 如果 pq，且 qp，那么称p 是 q 的充要条件，记作pq. (3) 如果 pq，qp，那么称p 是 q 的充分不必要条件(4) 如果 qp，pq，那么称 p 是 q 的必要不充分条件(5) 如果 p/ q，且 q/ p ，那
5、么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词 “ 且 ” 联结命题p 和命题 q，记作 pq，读作“ p 且 q” (2) 用联结词 “ 或 ” 联结命题p 和命题 q，记作 pq，读作 “p 或 q” (3) 对一个命题p 全盘否定记作綈p，读作 “ 非 p” 或“p 的否定 ” (4) 命题 p q，pq，綈 p 的真假判断pq 中 p、q 有一假为假， pq 有一真为真， p 与非 p 必定是一真一假4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语 “ 所有 ”“任意 ”“每一个 ” 等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示含有全称
6、量词的命题，叫做全称命题全称命题 “ 对 M 中任意一个x，有 p(x)成立 ” 可用符号简记为x M， p(x)，读作 “ 对任意 x 属于 M，有 p(x)成立 ” (2) 存在量词与存在性命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页- 3 - / 7 短语 “ 有一个 ”“有些 ”“存在一个 ” 等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“ x”表示含有存在量词的命题，叫做存在性命题存在性命题 “ 存在 M 中的一个x，使 p(x)成立 ” 可用符号简记为xM，p(x)，读作 “ 存在一个x 属于 M，使 p(x
7、)成立 ” 5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x M，p(x) xM， p(x)；xM，p(x) xM，p(x). 备课札记 题型 1否命题与命题否定例 1(1) 命题 “ 若 ab，则 2a2b1” 的否命题为 _；(2) 命题： “ 若 x2x m0 没有实根，则m 0”是_(填“ 真” 或“ 假”)命题；(3) 命题 p： “ 有些三角形是等腰三角形” ，则p 是_答案： (1) 若 ab，则 2a2b1(2) 真(3) 所有三角形都不是等腰三角形解读： (2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m0 时显然方程有根，其实不然，由x2xm0 没实根可推得m14，而 m|m
8、14是m|m 0 的真子集，由m0，则x2x m0 有实根 ” 显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题(3) p 为“ 对任意 xA，有 p(x)不成立 ” ，它恰与全称性命题的否定命题相反变式训练把下列命题改写成“ 若 p 则 q” 的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知 a、 b、c、d 是实数，若a b，cd，则 acbd. 解： (1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等逆否命题：若一个三角形的三个内角
9、不全相等，那么这个三角形不是正三角形(2) 原命题：已知a、b、c、 d 是实数，若ab，cd，则 acbd.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页- 4 - / 7 逆命题：已知a、 b、c、d 是实数，若a cbd，则 ab 且 cd.否命题：已知a、 b、c、d 是实数，若a 与 b，c 与 d 不都相等，则acbd. 逆否命题：已知a、b、 c、d 是实数，若acb d，则 a 与 b，c 与 d 不都相等题型 2充分必要条件例 2已知p：x28x200 ，q：x2 2x1m20(m0)，若p 是q 的必要不充分
10、条件，求实数m 的取值范围解：p：x28x 200，得 x 2 或 x10，设 Ax|x 2 或 x10，q：x22x1m20，得 x1m，或 x1m，设 Bx|x 1m 或 x1mp 是q 的必要非充分条件， B真包含于A，即1m 21m 10m9. 实数 m 的取值范围为m 9.备选变式（教师专享）下列四个结论正确的是_(填序号 ) “x0”是 “x|x|0 ” 的必要不充分条件； 已知 a、bR，则 “|a b| |a| |b| ” 的充要条件是ab0； “a0，且 b24ac0”是“ 一元二次不等式ax2bxc0 的解集是R” 的充要条件； “x1”是 “x21”的充分不必要条件答案：
11、 解读： 因为由 x0 推不出 x |x|0 ，如 x 1，x|x| 0，而 x |x|0 x0，故 正确；因为a0 时，也有 |a b| |a| |b| ，故 错误，正确的应该是“|a b| |a| |b| ”的充分不必要条件是ab0；由二次函数的图象可知 正确； x 1 时，有x21，故 错误，正确的应该是“x 1”是“x21”的必要不充分条件题型 3全称命题与存在性命题的否定例3命题“所有不能被2整除的 整数都是奇数” 的 否定是_答案：存在一个不能被2 整除的整数不是奇数备选变式（教师专享）若 命题 改 为“存 在一 个 能被2整 除 的 整数 是 奇数 ”， 其否 定 为_答案：所有
12、能被2 整除的整数都不是奇数题型 4求参数范围例 4已知命题p：方程 a2x2 ax2 0 在 1，1上有解；命题q：只有一个实数x 满足不等式 x22ax2a0 ，若命题 “p 或 q” 是假命题，求实数a 的取值范围解：由 a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0，显然 a0 ， x2a或 x1a. x1，1，故2a1 或1a1， |a| 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页- 5 - / 7 由题知命题q“ 只有一个实数x 满足 x22ax2a0”，即抛物线yx2 2ax2a 与 x 轴只有一个交点， 4
13、a28a 0， a0 或 a2， 当命题“ p 或 q” 为真命题时 |a| 1或 a0. 命题 “p 或 q” 为假命题， a 的取值范围为a|1a0 或 0a1备选变式（教师专享）已知命题p：函数yloga(12x)在定义域上单调递增；命题q：不等式 (a2)x22(a 2)x40 对任意实数x 恒成立若pq 是真命题，求实数a 的取值范围解： 命题 p：函数 yloga(12x)在定义域上单调递增， 0a1. 又命题 q：不等式 (a2)x22(a2)x40 对任意实数x 恒成立， a2 或a20， 4（a 2）216（a2）0，即 2a 2. pq 是真命题， a 的取值范围是2a2.
14、命题 “ 所有能被 2 整除的数都是偶数” 的否定是 _ _答案：存在一个能被2 整除的数不是偶数2. 设 、为两个不同的平面，直线l ，则 “l”是“”成立的 _条件答案：充分不必要解读：根据定理知由l可以推出 .反之不成立，仅当l 垂直于 、的交线时才成立3. “ 若a b为 偶 数 ， 则a 、 b必 定 同 为 奇 数 或 偶 数 ”的 逆 否 命 题 为_答案：若a、b 不同为奇数且不同为偶数，则ab 不是偶数4已知命题p1：函数 yln(x1x2)，是奇函数，p2：函数yx12为偶函数，则下列四个命题： p1 p2； p 1p2； (p1)p2； p 1(p2)其中，真命题是_ (
15、填序号 ) 答案： 解读：由函数的奇偶性可得命题p1 为真命题，命题p2 为假命题，再由命题的真假值表可得为假，为真1. 若 a、b 为实数，则“ 0ab1 ”是“ b1a”的 _条件答案：既不充分也不必要解读： 0ab1，a、 b 都是负数时，不能推出b1a；同理 b1a也不能推出0ab1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页- 6 - / 7 2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为 f(p)，已知命题p：“ 若两条直线l1： a1xb1yc1 0，l2：a2xb
16、2yc20 平行，则a1b2a2b10” 那么 f(p)_答案： 2 解读：若两条直线l1：a1xb1yc10 与 l2：a2xb2yc20 平行，则必有a1b2a2b10，但当a1b2a2b10 时，直线l1 与 l2 不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有 2 个正确命题，即f(p)2. 3. 设命题p：关于x 的不等式2|x 2|a 的解集为；命题 q：函数ylg(ax2xa)的值域是 R.如果命题p 和 q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围
17、解：由不等式2|x 2|0 14a200a12或 a0 即 0 a12. 由命题 p 和 q 有且仅有一个正确得a 的取值范围是( ，0)12，1 . 4. 设数列 an、 bn 、 cn满足： bn an an 2， cn an 2an 1 3an 2(n 1， 2，3， )，求证： an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且bnbn 1(n 1， 2，3， )证明：必要性：设an是公差为d1 的等差数列，则bn1bn(an1 an3) (anan2) (an1 an) (an3an2) d1 d10，所以 bnbn1(n1，2，3， )成立又 cn1cn(an1an)2(an 2an
18、1)3(an3an2) d12d1 3d1 6d1(常数)(n1，2，3， )，所以数列 cn为等差数列充分性：设数列 cn是公差为d2 的等差数列，且bnbn1(n1，2， 3， ) cnan2an13an2， cn2an22an33an 4， ，得 cncn2(anan2)2 (an1an3)3 (an2an4)bn 2bn13bn2. cncn 2(cncn1)(cn1 cn2) 2d2， bn 2bn13bn2 2d2，从而有 bn12bn 23bn3 2d2， ，得 (bn 1bn)2 (bn 2bn 1)3 (bn3bn2)0. bn 1bn 0，bn2bn1 0，bn 3bn 2
19、0， 由 得 bn 1bn0(n1，2，3， )由此不妨设bnd3 (n1，2，3， )，则 anan 2d3(常数 )由此 cnan2an13an2cn4an2an13d3，从而 cn14an12an2 5d3，两式相减得cn1cn2(an1an) 2d3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页- 7 - / 7 因此 an 1an12(cn1 cn)d312d2d3(常数 ) (n1，2，3， )， 数列 an为等差数列1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系
20、要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的 “ 逆命题 ”“否命题 ”“逆否命题 ” ；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手2. 充要条件的判断，重在“ 从定义出发 ” ，利用命题 “ 若 p，则 q” 及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“ 谁是条件 ”“谁是结论 ” ，如 “A 是 B 的什么条件 ” 中， A 是条件， B是结论，而 “A 的什么条件是B” 中， A 是结论， B 是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) pq：p、q 中有一个为真，则pq 为真，即一真全真；(2) pq：p、q 中有一个为假，则pq 为假，即一假即假；(3) p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反请使用课时训练(A)第 3 课时 (见活页 )备课札记 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页