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1、O2PQBab向量一基础知识回忆1平面向量基本定理对于任意 a，假设以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对 ， ，使a e1 e2.2共线向量定理向量 b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使 b a.如果向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y1或者 x1y2x2y10，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1y2y1，即对应坐标的比值相等如果 OAxOByOC，则 A，B，C 三点共线的充要条件是x y1.3向量的坐标运算a(x1，y1)，
2、b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，a b(x1x2，y1 y2)， a(x1，y1)二例题分析1向量的表示与基本定理例 1.如图，平面内有三个向量OA、OB 、OC ,其中与OA与 OB 的夹角为120，OA与 OC的夹角为30,且|OA| |OB |1，|OC | 32，假设 OC OA+OB ，R,则+的值为.例 2在 ?ABCD 中， A Ba，A Db，A N3N C，M 为 BC 的中点，则M N_.例 3(2013 年绍兴模拟 )如图，点 M 是 ABC 的重心，则 MAMBMC等于 ()A0 B4MEC4MFD4MD例 4：如图，设点P、Q 是线段 AB 的三等分
3、点，假设OAa，OB b，则OP，FCBAEMD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页OQ(用 a、b 表示 )例 5如图，在ABC 中， AB 2，BC3， ABC60 ，AH BC 于点 H，M 为 AH 的中点，假设 AMABBC，则 _.例 6(2013 年菏泽质检 )如图， 已知 AB 是圆 O 的直径， 点 C、D 等分 AB ，已知 ABa，ACb，则 AD等于 ()Aa12bB.12abCa12bD.12ab例 7.中，边上的高为，假设，则( )ABCD例 8(2013 年苏北四市联考)如图，在四边形AB
4、CD 中， AC 和 BD 相交于点O，设 AD a，ABb，假设 AB2DC，则 AO _(用向量 a 和 b 表示 )例 9. 2013 广东卷文 10设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是ABCABCD,0,| 1,| 2CBa CAb a babAD1133ab2233ab3355ab4455ab精选学习资料 -
5、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页A1B2C3D42向量坐标表示与向量共线例 1. 2013 陕西卷文2已知向量), 1 ( ma，)2 ,(mb，假设ab， 则实数m等于 ().A2.B2.C2或2.D 0例 2.2013 辽宁卷理3已知点)3, 1(A，)1, 4(B，则与向量AB同方向的单位向量为.A)54,53(.B)53,54(.C)54,53(.D)53,54(例 3.【2012 高考真题四川理7】设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使|abab成立的充分条件是A、abB、/abC、2abD、/ab且| |ab例 4 (
6、2011 年高考广东卷文科3) 已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc，假设为实数，() /abc，则= A14B12C1D2例 5: (1) 向量( ,12),(4,5),(10, )OAkOBOCk,当k为何值时，,A B C三点共线？例 6、 a，b 是不共线的向量，假设AB1ab，ACa2b(1，2R)，则 A，B，C 三点共线的充要条件为()A1 2 1 B121C1 21 0 D 12 10例 7.设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设A1A3 A1A2( R)，A1A4A1A2( R)，且112，则称 A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c
7、,0)，D(d,0)(c，d R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的选项是()AC 可能是线段AB 的中点BD 可能是线段AB 的中点CC、D 可能同时在线段AB 上DC、D 不可能同时在线段AB 的延长线上例 8.如下图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页的两点 M，N，假设 ABmAM，ACnAN(m， n0)，则1m4n的最小值为 ()A2 B4 C.92D 9例 9(2013 年西安模拟 )已知 ABC 的三
8、个内角A，B， C 所对的边分别为a，b，c.m(1,1)，nsin Bsin C32，cos Bcos C ，且 mn.(1)求 A 的大小；(2)假设 a1，b3c，求 SABC.练习：1已知以下命题：假设|a| |b|，则 ab；假设 ab，bc，则 ac；假设ab，bc，则 ac；假设四边形ABCD 是平行四边形，则ABCD，BCDA，其中真命题的个数是 ()A1 BC3 D42(课本习题改编 )D 是 ABC 的边 BA 上的中点，则向量CD等于 ()A BC12BAB BC12BAC . BC12BAD. BC12BA3.(2013 年北京海淀模拟)如图，正方形ABCD 中，点 E
9、，F 分别是 DC，BC 的中点，那么 EF()A.12AB12ADB12AB12ADC12AB12ADD.12AB12AD4已知向量a (2,3)，b(1,2)，假设 manb 与 a2b共线，则mn()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页A 2 B 2 C12D.125. 2013 江苏卷10设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32， 假设ACABDE2121，为实数， 则21的值为6. ABC中，点 D 在边 AB 上，CD平分 ACB，假设CB= a , CA= b , a= 1 ，
10、b= 2, 则CD=( )A13a + 23b B23a +13b C35a +45b D45a +35b7(2013 年沈阳三校模拟)向量 AB与向量 a(3,4)的夹角为 ，|AB|10，假设点A 的坐标是 (1,2)，则点 B 的坐标是 ()A(7,8)B(9， 4) C( 5,10) D (7， 6)8.平面内给定三个向量a (3,2)，b (1,2)，c(4,1)，请解答以下问题：(1)求满足 am bn c 的实数 m，n； (2)假设 (akc)(2b a)，求实数 k；(3)假设 d 满足 (dc)(ab)，且 |dc|5，求 d.9(2013 年济南调研 )如图， 在 ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点， 假设 APmAB211AC，则实数m 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页