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1、学而不思则惘，思而不学则殆第 3 讲平面向量的数量积知 识 梳 理1平面向量的数量积已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为 ，我们把数量 |a|b| cos 叫做向量 a 和b的数量积 (或内积 )，记作 a b|a|b| cos . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2平面向量数量积的几何意义数量积 a b等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)e aa e|a|cos ；(2)非零向量 a，b，ab? a b0；(3)当 a 与 b同向时， a b|a|b|；当 a 与 b 反向时， a b |a|b|；特别地， a
2、 a|a|2；|a|a a；(4)cos a b|a|b|；(5)|a b|a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律(1)a bb a(交换律 )；(2)( a) b (a b)a ( b)( 为实数 )；(3)(ab) ca cb c. 5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A、 B 两点间的距离 |AB|AB|x1x22 y1y22. (3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2
3、)，则 ab? x1x2y1y20.ab? x1y2x2y10. 辨 析 感 悟1对平面向量的数量积的认识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量() (2)(2013 湖北卷改编 )已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 AB在CD方向上的投影为3 22.() (3)若 a b0，则 a 和 b的夹角为锐角；若 a b0，则 a 和 b的夹角为钝角 () 2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(
4、4)a b0，则 a0 或 b0.() (5)(a b) ca (b c)() (6)a ba c(a0)，则 bc.() 感悟提升 三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量设向量a，b 的夹角为 ，当 为锐角时，投影为正值；当 为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为 0；当 0 时，b 在 a 的方向上投影为 |b|，当 180 时，b 在 a方向上投影为 |b|，如(2)；当 0 时， a b0， 180 ，a b0，即 a b0是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是 a b0 不能推出
5、 a0 或 b0，因为 a b0 时，有可能 a b，如(4)考点一平面向量数量积的运算【例 1】 (1)(2013 茂名二模 )若向量 a，b，c满足 ab，且 b c0，则(2ab) c_. (2)(2014 威海期末考试 )已知 a(1,2)，2ab(3,1)，则 a b_. 解析(1) a b，b a. 又 b c0， a c0， (2ab) c2a cb c0. (2) a(1,2)，2ab(3,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆 b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1
6、,3) a b(1,2)(1,3)1235. 答案(1)0(2)5 规律方法求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用【训练 1】 (1)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件 (8ab) c30，则x_. (2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则b1 b2_. 解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab) c(6,3)(3，x)30，即 183x30，解得 x4. (2)b1 b2(e12e2) (3e
7、14e2) 3e212e1 e28e223211cos 386. 答案(1)4(2)6 考点二向量的夹角与向量的模【例 2】 (1)(2013 安徽卷 )若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _(2)已知向量 a，b满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|_. 解析(1)等式平方得 |a|29|b|2|a|24|b|24a b，则|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆即 04|b|24 3|b|2
8、cos ，得 cos 13. (2)因为|2ab|2(2ab)24a2b24a b4a2b2448，故|2ab|2 2. 答案(1)13(2)2 2 规律方法(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|a a常用来求向量的模【训练 2】 (1)(2014 长沙模拟 )已知向量 a， b 夹角为 45 ， 且|a|1， |2ab|10，则|b|_. (2)若平面向量 a，b 满足|a|1，|b|1，且以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则 a 和 b 的夹角 的取值范围是 _解析(1)由|2ab|10平方得，4a24a bb210，即|b|24|b|cos 45410，亦
9、即|b|22 2|b|60，解得|b|3 2或|b|2(舍去)(2)依题意有 |a|b|sin 12，即 sin 12|b|，由|b|1，得12sin 1，又 0 ，故有6 56. 答案(1)3 2(2)6，56考点三平面向量的垂直问题【例 3】 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆(1)求证： ab 与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 akb的模相等，求 (其中 k 为非零实数 )审题路线证明两向量互相垂直， 转化为计
10、算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证 ? 由模相等，列等式、化简求 . (1)证明(ab) (ab)a2b2|a|2|b|2(cos2 sin2 )(cos2 sin2 )0，ab与 ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|k22kcos 1，|akb|12kcos k2. |kab|akb|，2kcos( )2kcos( )又 k0，cos( )0. 0 ，0 ， 2. 规律方法(1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明 a b0? x1x2y1y20. (2)当向量 a，
11、b 是非坐标形式时，要把a，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a b0. (3)数量积的运算a b0? ab 中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有 a b0，但不能说 ab. 【训练 3】 已知平面向量 a( 3，1)，b12，32. (1)证明： ab；(2)若存在不同时为零的实数k 和 t，使 ca(t23)b，dkatb，且 cd，试求函数关系式 kf(t)(1)证明a b3121320，ab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆(
12、2)解ca(t23)b，dkatb，且 cd，c da(t23)b (katb) ka2t(t23)b2tk(t23)a b0. 又 a2|a|24，b2|b|21，a b0，c d4kt33t0，kf(t)t33t4(t0)1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧教你审题 5数量积的计算问题【典例】(2012上海卷 )在矩形 ABCD 中，设 AB，AD 的长分别为 2,1
13、.若 M，N分别是边 BC，CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AM AN的取值范围是 _审题一审：抓住题眼 “矩形 ABCD”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决解析如图，以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0,0)，B(2,0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆C(2,1)，D(0,1)，设|BM|BC|CN|CD|k(0k1)，则点 M 的坐标为 (2，k)，点 N 的坐标为(22k,1)，则AM(2，k)，AN(22k,1)，AM
14、AN2(22k)k43k，而 0k1，故143k4. 答案1,4 反思感悟 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多【自主体验】在ABC 中， C90 ，且 CACB3，点 M 满足BM2AM，则CM CA_. 解析法一由BM2AM可知， A 是线段 MB 的中点，如图所示由题意， ACBC，且 CACB3， CM CA(CAAM) CA(CABA) CA(CACACB) CA(2CACB) CA2CA2CB CA23218. 法二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
15、 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆如图建立平面直角坐标系，则C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)由题意知： |AB|3 2， |BM|6 2.设 M(x，y)，BM2BA (x3，y)2(3,3) 则 x3，y6，即 M(3,6) CM CA(3,6)(0,3)18. 答案18 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、填空题1(2013 湛江二模 )向量 a(1,2)，b(0,2)，则 a b_. 解析a b(1,2) (0,2)10224. 答案4 2(2014 绍兴质检 )在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD120 ，则AC在AB方向上的投影为 _精选学习资料 -
16、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆解析如图所示， AC在AB方向上的投影为 |AC|cos 60 2121. 答案1 3(2013 山东省实验中学诊断 )已知向量 a(3，1)，b(0,1)，c(k， 3)若a2b与 c垂直，则 k_. 解析由题意知 (a2b) c0，即 a c2b c0. 所以3k32 30，解得 k3. 答案3 4 (2014 浙江五校联盟 )若非零向量 a， b 满足|a|b|，且(2ab) b0，则向量 a，b的夹角为 _解析由(2ab) b0，得 2a b|b|20. 2|b|2
17、 cosa，b|b|20， cosa，b12，又a，b0， ，a，b23. 答案235(2013 福建卷改编 )在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为 _解析 AC BD1(4)220， ACBD， S四边形|AC| |BD|252025. 答案5 6(2013 课标全国卷 )已知两个单位向量a，b 的夹角为 60 ，cta(1t)b.若 b c0，则 t_. 解析b cb ta(1t)bta b(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13
18、页学而不思则惘，思而不学则殆t21t1t2. 由 b c0，得 1t20，所以 t2. 答案2 7(2013 重庆卷 )在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中， OA(3,1)，OB(2，k)，则实数 k_. 解析在矩形中， OA(3,1)，OB(2，k)，所以 ABOBOA(2，k)(3,1)(1，k1)，因为 ABOA，所以 AB OA0，即 3k10，解得 k4. 答案4 8. (2014 潍坊二模 )如图，在ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3， AB，AC60 ，则|OA|_. 解析因为AB，AC60 ，所以AB AC|AB| |AC|cos 60 131232，又AO
19、12ABAC，所以AO214(ABAC)214(AB22AB ACAC2)，即AO214(139)134，所以 |OA|132. 答案132二、解答题9已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|. 解(1)若 ab，则 a b1(2x3)x(x)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆整理得 x22x30，故 x1 或 x3. (2)若 ab，则有 1(x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x
20、0 时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|22022. 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2 5. 综上，可知 |ab|2 或 2 5. 10已知 |a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61，(1)求 a 与 b的夹角 ；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求 ABC的面积解(1)(2a3b) (2ab)61，4|a|24a b3|b|261. 又|a|4，|b|3，644a b2761，a b6. cos a b|a|b|64312. 又 0 ， 23. (2)|ab|2(ab)2|a|22a b|b|2422(6)3213，|a
21、b|13. (3)AB与BC的夹角 23， ABC 233. 又|AB|a|4，|BC|b|3，SABC12|AB|BC|sinABC1243323 3. 能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆一、填空题1(2013 泰州一模 )若两个非零向量a，b 满足 |ab|ab|2|a|，则向量 ab与 a 的夹角为 _解析由|ab|ab|， 得 a22a bb2a22a bb2， 即 a b0， 所以(ab) aa2a b|a|2. 故向量 ab 与 a 的
22、夹角 的余弦值为cos ab a|ab|a|a|22|a|a|12.所以 3. 答案32已知向量 p的模为2，向量 q的模为 1，p 与 q 的夹角为4，且 a3p2q，bpq，则以 a，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为_解 析由题 意可 知 较 小 的 对角 线 为 |a b| |3p 2qp q| |2p 3q|2p3q24p212p q9q2812 222929. 答案29 3(2013 浙江卷 )设 e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2的夹角为6，则|x|b|的最大值等于 _解析因为 e1 e2cos 632，所以 b2x2y22xye1
23、e2x2y23xy.所以x2b2x2x2y2 3xy11yx23yx，设 tyx，则 1t23tt3221414，所以011t2 3t4，即x2b2的最大值为 4，所以|x|b|的最大值为 2. 答案2 二、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学而不思则惘，思而不学则殆4设两向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为 60 ，若向量 2te17e2与向量 e1te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围解由已知得 e214，e221，e1 e221cos 60 1. (2te17e2) (e1te2)2te21(2t27)e1 e27te222t215t7. 欲使夹角为钝角，需2t215t70，得 7t12. 设 2te17e2 (e1te2)( 0)，2t ，7t ，2t27.t142，此时 14. 即 t142时，向量 2te17e2与 e1te2的夹角为 .当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是7，142 142，12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页