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1、名师整理优秀资源高中数学的平面向量知识任意一个向量的可用若干个向量线性表示。我们把能用最少个数的若干个向量线性组合叫基底人为规定的两个不共线向量，e1，e2，使得平面上任意一向量e3=me1+ne2 （m，n 是实数）e1，e2 就是基底。特别的，在直角坐标系下，e1，e2 分别是平行于 x 轴，y 轴的单位向量a 和 b 同向，则它们和空间的任何向量都不能构成空间的一个基底。-对的。只有不共线的三个单位向量才能构成空间的基底。向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量 （物理学中叫做矢量 ） ， 向量可以用a， b， c， .表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向
2、的量叫做 数量 （物理学中叫做标量 ）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段 ，以 A 为起点， B 为终点的有向线段记作AB 。（AB 是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个）有向线段AB 的长度叫做 向量的模 ，记作 |AB |。有向线段包含3 个因素 ：起点、方向、长度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页名师整理优秀资源相
3、等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 或共线向量 ，向量 a、b 平行，记作a/b，零向量与任意向量平行，即0/a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0 的向量叫做 零向量 ，记作 0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“ 0”是有区别的）零向量 的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。模等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 。平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、 j
4、作为基底。任作一个向量a，由 平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把（ x，y）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页名师整理优秀资源有点都可以用
5、（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一 点 的 横 纵 坐 标 比 例 关 系 与 向 量 坐 标 的 比 例 关 系 是 一 样 的 。向量的运算加法运算向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作 AB=a ，BC=b ，再作向量AC，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记做a+b ，即 a+b=AB+BC=ACAB+BC =AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 （首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作AB=a, 且 AD=BC, 再作平行AD 的 BC=b ，连接 DC，因为AD BC，且 AD=BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，A
6、C 叫做 a 与 b 的和，表示为： AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连） 。已知两个从同一点O 出发的两个向量OA、OB ，以 OA 、OB 为邻边作平行四精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页名师整理优秀资源边形 OACB ，则以 O 为起点的对角线OC 就是向量OA、OB 的和，这种计算法则叫做 向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有： 0+a=a+0=a。|a+b| |a|+|b|。向量的加法 满足所有的加法运算定律。减法运算AB-AC=CB, 这种计算法则叫做向
7、量减法的三角形法则。 （共起点，连终点，方向指向被减向量）与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ， (a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a+(a)=(a)+a=0（2）ab=a+(b)。数乘运算实数与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作a， | a|=| |a|，当 0 时，a 的方向和a 的方向相同，当 0 时， a 的方向和a 的方向相反，当 = 0 时，a = 0。设、是实数，那么： （1）( )a = ( a)（2）(+ )a = a + a（3） (a b) = a b（4）( )a =( a) = (a)。向量的加法运算、减法运算、数
8、乘运算统称线性运算 。坐标运算已知 a=（x1，y1 ） ，b=（x2，y2） ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页名师整理优秀资源a+b=（ x1i+y1 j） +（x2i+y2j）=(x1+x2) i+(y1+y2) j即 a+b=（x1+x2 ，y1+y2 ） 。同理可得a-b =（x1-x2 ，y1-y2 ） 。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。根据上面的结论又可得若 a=(x,y), 则 a=(
9、 x, y) 这就是说， 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。向量的数量积向量数量积定义：（1）向量 a 与向量 b 的夹角：已知两个非零向量，过O 点做向量OA= a，向量 OB= b，则角 AOB= 叫做向量 a 与 b 的夹角。（2）已知两个非零向量a、b，那么 |a|b|cos 叫做a 与 b 的数量积 或内积 ，记作 a b，是 a 与 b 的夹角 ，|a|cos （ |b|cos ）叫做向量 a 在 b 方向上（ b 在a 方向上）的 投影 。零向量与任意向量的数量积为0。a b 的几何意义 ： 数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的
10、投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若 a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 a b=x1x2+y1y2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页名师整理优秀资源向量的数量积的性质(1) a a=a2 0 (2) a b=b a(3)k( ab)=(k a)b=a(kb) (4) a (b+c)=a b+a c(5) a b=0 a b（6）a=kba/b（7）e1 e2=|e1| e2|cos =cos 向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量 a、b 的向量积a
11、b，再和向量c 作数量积 (a b) c，所得的数叫做三向量a、b、c 的混合积，记作(a,b,c)或(abc )，即(abc )=(a,b,c)=(a b) c混合积具有下列性质：1、三个不共面向量a、b、c 的混合积的绝对值等于以a、b、c 为棱的平行六面体的体积V，并且当 a、b、c 构成右手系时混合积是正数；当a、b、c 构成左手系时，混合积是负数，即(abc )= V（当 a、b、c 构成右手系时 =1；当 a、b、c 构成左手系时 =-1）2、上性质的推论：三向量a、b、c 共面的充要条件是(abc )=0 3、(abc )=(bca )=( cab )=-(bac )=-( cb
12、a )=-( acb ) 4、(a b) c=a (b c) 平面向量的基本定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页名师整理优秀资源如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a= *e1+ *e2 。相关练习1若 a =0，则对任一向量 b ，有 a b=0. 2若 a 0，则对任一非零向量b ,有 a b 0 错（当 a b 时，a b=0）3若 a 0，a b =0，则 b=0 错（当 a和 b 都不为零，且a b 时，a b=0）4若 a b=0，则
13、a b 中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当 a b 时，a b=0 成立）5若 a 0，a b= b c，则a=c 错（当 b=0 时）6若 a b = a c ,则 b c,当且仅当 a= 0 时成立错（a 0 且同时垂直于 b，c 时也成立）7对任意向量a 有 a*a=a* a向量与三角形有关的特殊规律1.三角形 ABC 内一点 O，向量 OA 向量OB= 向量 OB向量OC= 向量 OC向量OA，则点 O 是三角形的垂心。2.若 O 是三角形 ABC 的外心 ,点 M 满足向量 OA+ 向量 OB+ 向量 OC= 向量 OM，则 M 是三角形 ABC 的垂心。3 若 O 和三角形A
14、BC 共面，且满足向量OA+ 向量 OB+ 向量 OC= 零向量，则 O 是三角形ABC 的重心。来源向量又称为 矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前350 年前， 古希腊 著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页名师整理优秀资源来自力学、 解析几何 中的有向线段 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以
15、画出箭头表示方向但是在 高等数学 中还有更广泛的向量例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以指导线性代数 方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此， 向量空间 的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用而向量及其线性运算 也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型从数学发展史来看， 历史上很长一段时间， 空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到 1
16、9 世纪末 20 世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数abi， 并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系 19 世纪中期，英国数学家
17、汉密尔顿发明了 四元数（包括数量部分和向量部分） ，以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础随后，电磁理论 的发现者，英国的 数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页名师整理优秀资源三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪 8O 年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积 并把向量代数推广到变向量的向量
18、微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的 数学工具 . 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面向量一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。如：已知 A （1,2） ， B（4,2） ， 则把向量AB按向量 a（1,3） 平移后得到的向量是 _（答： （3,0） ）2零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；3单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是|ABAB)；4
19、相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！ （因为有 0 )；三点ABC、 、共线AB AC、共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如下列命题：（1）若ab，则ab。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3
20、）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。 （5）若,a bbc，则ac。 （6）若/ , /a bb c，则/ac。其中正确的是 _ （答： （4） （5） ）二向量的表示方法 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页名师整理优秀资源1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ， c等；3坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系， 以与 x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向
21、量a可表示为,axiy jx y ，称, x y 为向量 a 的坐标，a, x y 叫做向量 a的坐标表示。 如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。如（1）若(1,1),ab(1, 1),( 1,2)c，则c_ （答：1322ab） ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeB. 12( 1,2),(5,7)eeC. 12(3,5),(6,10)eeD. 1213(2, 3),(,
22、)24ee（答： B） ；（3）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _ （答：2433ab） ；（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是_ （答： 0）四实数与向量的积 ：实数与向量 a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aa当0 时，a的方向与 a的方向相同，当0；当 P点在线段P1P2的延长线上时0 时a与a方向相同；0 时a与a方向相反； =0 时a=0；（3）运算定律 (a)=()a，( + )a=a+a， (a+b)=a+ b精选学习资料 - - - -
23、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页名师整理优秀资源8 向量共线定理向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a。9. 向量 a和 b 的数量积： a b =| a| |b |cos，其中 0， 为 a和b 的夹角。|b|cos称为 b 在 a的方向上的投影。 a b 的几何意义是： b 的长度 |b |在 a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若a=（1x，1y）, b=（x2，2y）, 则2121yyxxba运算律： a b=b a, ( a)b=a ( b)=（ a b）
24、， （a+b） c=a c+b c。a和 b的夹角公式： cos=abab222221212121yxyxyyxx2aaa|a|2=x2+y2，或|a |=222ayx| a b | | a | | b |。11两向量平行、垂直的充要条件设a=（1x，1y）, b=（2x，2y）a ba b=0 ，baab=1x2x+1y2y=0；ba/（a 0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a。0/1221yxyxba12.点 P 分有向线段21PP所成的比的：21PPPP，P 内分线段21PP时, 0; P 外分线段21PP时, 0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：精选学习资
25、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页名师整理优秀资源112121yyyxxx1、222121yyyxxx、)3,3(321321yyyxxx（二） 、专题训练：一、填空题1若有以下命题： 两个相等向量的模相等； 若 a 和b 都是单位向量，则ba； 相等的两个向量一定是共线向量；ba/，bc/，则ca/； 零向量是唯一没有方向的向量； 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。2. 在水流速度为4hkm/的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8hkm/的速度航行，则船自身航行速度大小为_hkm/。3. 任给两个向量 a
26、和 b，则下列式子恒成立的有 _ 。|baba|baba|baba|baba4. 若aAB3 ，aCD5 且|BCAD，则四边形ABCD的形状为 _。5梯形ABCD的顶点坐标为)2, 1(A，)4,3(B，)1 ,2(D且DCAB /，CDAB2，则点C的坐标为 _ 。6. ABC的三个顶点坐标分别为),(11yxA，)(22yxB，)(33yxC，若G是ABC的重心，则G点的坐标为 _ ，GCGBGA_ 。7. 若向量)1 , 1 (a，) 1, 1 (b，)2, 1(c，则 c_(用 a和b 表示)。8. 与向量)4, 3(a平行的单位向量的坐标为_ 。精选学习资料 - - - - - -
27、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页名师整理优秀资源9. 在ABC中，已知7AB，5BC，6AC，则BCAB_ 。10.设) 3 ,(xa，) 1,2(b，若 a与b 的夹角为钝角，则x的取值范围是_ _。11. 直线l平行于向量) 3, 2(a，则直线l的斜率为 _ 。12. 已知)4, 3(a，)sin,(cosb)(R，则|2|ba的取值范围是_。13.已知向量 a、 b不共线，且|ba，则ba与ba的夹角为_。14.在ABC中cAB，aBC，bCA，则下列推导正确的是 _ _ 。 若0ba则ABC是钝角三角形 若0ba，则ABC是直角三角形
28、若bcba， 则ABC是等腰三角形 若|cba， 则A B C是直角三角形若cabcba，则 ABC 是正三角形二、解答题15、已知0cba且3| a，1|b，4|c计算accbba16、设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，且ABAF21BCBD31，CACE41，若记mAB，nCA，试用 m， n表示 DE 、 EF 、 FD 。17、 已知4|a，2|b，且 a 与b 夹角为 120求)()2(baba；|2|ba； a与ba的夹角。18. 已知向量 a=)2, 1(， b =)2, 3(。求|ba与|ba； 当k为何值时，向量bak与ba3 垂直？精选学习资料 - - -
29、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页名师整理优秀资源 当k为何值时，向量bak与ba3 平行？并确定此时它们是同向还是反向？19. 已知 OP =)1 , 2(， OA=)7 ,1 (， OB =)1 ,5(，设M是直线OP上一点，O是坐标原点求使MBMA取最小值时的 OM ；对（ 1）中的点M，求AMB的余弦值。20. 在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若2AM求：)(OCOBOA的最小值。（三） 、高考题目：例1 、 （ 2008深 圳 福 田 等 ） 已 知 向 量( 3sin,cos ),(cos ,cos )axxbxx,
30、函 数()21fxa b(1)求( )f x的最小正周期 ; (2)当,62x时, 若( )1,fx求 x 的值 例 2、 （2007 山东文） 在ABC中，角ABC， ，的对边分别为tan3 7abcC， ， ，（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求 c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页名师整理优秀资源例 3、 （2007 湖北）将2cos36xy的图象按向量24，a平移，则平移后所得图象的解析式为（）2cos234xy2cos234xy2cos2312xy2cos2312xy向量基底训练（ 2011.3 ）1.如图：在ABC中，0120BAC，AB=2，AC=1，D 是边 BC 上一点，DC=2BD ，则BCAD2.A D B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页名师整理优秀资源4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页名师整理优秀资源5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页