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1、天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013?河西区一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1， 1）D（ 1， 1）2 （5 分） （2013?河西区一模）与命题“ 若 p 则 q” 等价的命题为（）A若 p 则 q B若p 则 q C若 q 则 p D若 q 则 p 3 （5 分） （2013?河西区一模）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 销售额 y（万元）27 39 48 54 根据上表可得回归方程y=bx+a 中的 b 为 9
2、.4，据此模型预报广告费用为6 万元时销售额为（）A65.5 万元B66.2 万元C67.7 万元D72.0 万元4 （5 分） （2013?河西区一模）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A6B27 C56 D124 5 （ 5 分） （2013?河西区一模） 已知等比数列an 中，各项都是正数， 且成等差数列， 则等于（）ABCD6 （5 分） （2013?河西区一模）双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A1BCD27（5 分） （2013?河西区一模） 在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， BE 与 AC 相交于点F， 若（m， n R） ，则的值为（
3、）A2B2 C3D3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页8 （5 分） （2013?河西区一模）若（a 1） ，在定义域（，+）上是单调函数，则 a 的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9 （5 分） （2013?河西区一模）设变量x、 y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为_10 （5 分） （2013?河西区一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_11 （5 分） （2013?河西区一模）已知全集U=R，集合 A=x R|x+3|x3|3，则集
4、合B （?UA）=_12 （5 分） （2013?河西区一模） 在极坐标系中， 曲线 =2 与 cos +sin =0 （ 0） 的交点的极坐标为_13 （5 分） （2013?河西区一模）（几何证明选做题）如图，已知P 是 O 外一点， PD 为 O 的切线， D 为切点，割线 PEF 经过圆心O，若 PF=12， PD=4，则 O 的半径长为_14 （5 分） （2013?河西区一模）已知1 的展开式中的常数项为T，f（x）是以 T 为周期的偶函数，且当 x 0， 1时， f（x）=x，若在区间 1，3内，函数g（x） =f（x） kxk 有 4 个零点，则实数k 的取值范围是_精选学习资
5、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分） （ 2013?河西区一模） A、B 是直线图象的两个相邻交点，且（I）求 的值；（II）在锐角 ABC 中， a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若的面积为，求 a的值16 （13 分） （ 2013?河西区一模）一个口袋中装有大小相同的2 个白球和3 个黑球（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与
6、期望17 （13 分） （ 2013?河西区一模）如图，在直棱柱ABC A1B1C1中 AB BC，AB=BD=CC1=2，D 为 AC 的中点（I）证明 AB1平面 BDC1；（）证明A1C平面 BDC1；（）求二面角ABC1D 的正切值18 （13 分） （ 2013?河西区一模）已知数列an的前 n 项和是 Sn，且 Sn+an=1（n N*） （1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn=log3（1Sn+1） （n N*） ，求适合方程的正整数n 的值19 （14 分） （ 2013?河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y 有一个相同的焦点F1，直线 l
7、：y=2x+m 与抛物线C2只有一个公共点（1）求直线l 的方程；（2）若椭圆C1经过直线 l 上的点 P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P 的坐标20 （14 分） （ 2013?河西区一模）已知函数f（x）=xxlnx ，g（x）=f（x） xf （a） ，其中 f （a）表示函数f（x）在 x=a 处的导数， a为正常数（1）求 g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且 x1 x2，证明：（x2x1）f （x2） f（ x2） f（x1）（ x2x1）f（x1） ；（3）对任意的n N*，且 n 2，证明：精选学习资料 - - - - - - - -
8、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013?河西区一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1， 1）D（ 1， 1）考点 ： 复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义专题 ： 计算题分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，化简复数z 为 1+i，由此可得它对应的点的坐标解答：解：复数= 1+i，故它对应的点的坐标为（1， 1） ，故选 B点评：本题主要考查两个复数代
9、数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题2 （5 分） （2013?河西区一模）与命题“ 若 p 则 q” 等价的命题为（）A若 p 则 q B若p 则 q C若 q 则 p D若 q 则 p 考点 ： 四种命题间的逆否关系专题 ： 探究型分析：互为逆否命题的两个命题是等价的，本题的实质是求命题的逆否命题解答：解：因为互为逆否命题的两个命题是等价命题，所以命题“ 若 p 则 q” 的逆否命题为 “ 若 q 则 p” 故选 C点评：本题考查了命题的等价关系，在四种命题中，原命题和逆否命题是等价命题，否命题和逆命题也是等价命题3 （5 分） （2013?
10、河西区一模）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 销售额 y（万元）27 39 48 54 根据上表可得回归方程y=bx+a 中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为6 万元时销售额为（）A65.5 万元B66.2 万元C67.7 万元D72.0 万元考点 ： 回归分析的初步应用专题 ： 应用题分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6 代入，预报出结果解答：解：=3.5，=42，数据的样本中心点（3.5，42）在线性回归直线上，回归方程y=bx+a 中的
11、 b 为 9.4， 42=9.4 3.5+a， a=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页广告费用为6 万元时销售额为9.4 6+9.1=65.5，故选 A点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点4 （5 分） （2013?河西区一模）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A6B27 C56 D124 考点 ： 循环结构专题 ： 图表型分析：根据 s=0，n=1，s=（0+1） 1=1，n=1+1=
12、2，不满足条件n4，执行循环体；依此类推，当n=5，满足条件n4，退出循环体，得到输出结果即可解答：解： s=0， n=1，s=（0+1） 1=1，n=1+1=2，不满足条件n4，执行循环体；s=（1+2） 2=6，n=1+2=3，不满足条件n4，执行循环体；s=（6+3） 3=27，n=1+3=4，不满足条件n4，执行循环体，s=（27+4） 4=124，n=1+3=5，满足条件n4，退出循环体，则输出结果为：124 故选 D点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列5 （ 5 分）
13、（2013?河西区一模） 已知等比数列an 中，各项都是正数， 且成等差数列， 则等于（）ABCD考点 ： 等差数列的性质；等比数列的通项公式专题 ： 计算题分析：由成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，由数列an为等比数列，利用等比数列的通项公式化简关系式，再由等比数列各项为正数得到a1不为 0，故在等式两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解得到q 的值，最后利用等比数列的性质化简所求的式子后，将q 的值代入即可求出值解答：解：成等差数列， a3=a1+2a2，又数列 an为等比数列， a1q2=a1+2a1q，又各项都是正数，得到a1 0， q22q1=0，精选学习资料 -
14、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页解得： q=1+，或 q=1（舍去），则=q2=（1+）2=3+2故选 C 点评：此题考查了等比、等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键6 （5 分） （2013?河西区一模）双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A1BCD2考点 ： 双曲线的简单性质专题 ： 计算题分析：先利用双曲线的标准方程及其几何性质，得其焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算所求距离即可解答：解：双曲线的一个焦点坐标为F（2，0） ，双曲线的一条渐近线方程为y=x，即 xy=0
15、，点 F 到直线的距离为d=1 由双曲线的对称性知，双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离均为d=1 故选A 点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，属基础题7（5 分） （2013?河西区一模） 在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， BE 与 AC 相交于点F， 若（m， n R） ，则的值为（）A2B2 C3D3 考点 ： 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义专题 ： 平面向量及应用分析：利用三角形的相似，可得，再利用向量的加法运算，即可得到结论解答：解：因为 AD BC，所以 AEF CBF，因为点
16、 E 是 AD 的中点，所以所以=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页 m=，n=，=2故选 B点评：本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题8 （5 分） （2013?河西区一模）若（a 1） ，在定义域（，+）上是单调函数，则 a 的取值范围是（）ABCD考点 ： 函数的单调性及单调区间专题 ： 计算题；函数的性质及应用分析：当函数单调性是增函数时，相应二次函数图象为开口向上的抛物线且指数型函数的系数大于0，并且在 x=0时，二次函数对应的值大于或等于指数型函数对应的值由此
17、建立关于a 的方程组并解之，即可得到实数a的范围，同样的方法可得函数的单调性是减函数时实数a 的取值范围，最后综合可得本题的答案解答：解： f（x）在定义域（，+）上是单调函数时， 函数的单调性是增函数时，可得当x=0 时， （a21）eax ax2+1=1，即 a21 1，解之得 a x 0 时， y=ax2+1 是增函数， a 0 又 x0 时， （a21）eax是增函数，a210，得 a 1 或 a1 因此，实数a 的取值范围是：1a 函数的单调性是减函数时，可得当x=0 时， （a21）eax ax2+1=1，即 a21 1，解之得a 或 a x 0 时， y=ax2+1 是减函数，
18、a 0 又 x0 时， （a21）eax是增函数，a210，得 a 1 或 a1 因此，实数a 的取值范围是：a综上所述，得a故选： C 点评：本题以分段函数为例，求函数为单调函数时参数a 的范围，着重考查了二次函数、指数函数等基本初等函数的单调性及单调区间等知识，属于中档题二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9 （5 分） （2013?河西区一模）设变量x、 y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为6考点 ： 简单线性规划专题 ： 计算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页分析：先画出约束
19、条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y 的最大值解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2） ，B（ 1， 0） ，C（3，0）将三个代入得z 的值分别为4， 2，6直线 z=2x+y 过点C（ 3，0）时， z 取得最大值为6；故答案为： 6点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“ 角点法 ” ，其步骤为： 由约束条件画出可行域? 求出可行域各个角点的坐标 ? 将坐标逐一代入目标函数? 验证，求出最优解10 （5 分） （2013?河西区一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为考点 ：
20、由三视图求面积、体积专题 ： 计算题分析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为2的正方形，高为4 的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长求出正方形的边长，分别计算两部分的体积，即可解答：解：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为2的正方形，高为4 的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长设正方形的边长为a，则 2a2=（2）2，即 a=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页所以，长方体的体积为V1=2 2 4=16，球的体积为V2=13=故几何体的体积为V=V1+V2=故答案为：点评：本
21、题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11 （5 分） （2013?河西区一模）已知全集U=R，集合 A=x R|x+3|x3|3，则集合B （?UA）= 2，考点 ： 交、并、补集的混合运算专题 ： 计算题分析：根据绝对值不等式化简集合A，根据均值不等式化简集合B，然后由定义得出结果解答：解： |x+3|x3|3 当 x 3 时， x3（ 3x） 36 3 无解当 3 x 3 时， x+3（ 3x） 3 解得： x当 x 3 时， x+3x+3 3 解得： x3 集合 A=x|x x R CuA=x|x ，x R ， x=t+4 2 4=2 即
22、集合 B=x|x 2 B （?UA）= 2，故答案为： 2，点评：本题主要考查集合的交、补运算，一准确化简集合A 和 B 是解题的关键，属于基础题目12（5分）（2013?河西区一模） 在极坐标系中， 曲线 =2 与 cos +sin =0 （0） 的交点的极坐标为考点 ： 简单曲线的极坐标方程专题 ： 计算题分析：法一：先将原极坐标方程 =2 与 cos +sin =0（0）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标法二：由极坐标方程 =2 与 cos +sin =0，求出极角与极径 ，得出交点的极坐标解答：解：法一由精选学习资料 - - - - - - - - - 名
23、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页或（舍去）得交点的极坐标法二：由cos +sin =0? tan =1，因为 0，所以，故交点的极坐标为故答案为：点评：本题是基础题，考查极坐标方程的意义及应用，点的极坐标和直角坐标的互化考查计算、转化能力13 （5 分） （2013?河西区一模）（几何证明选做题）如图，已知P 是 O 外一点， PD 为 O 的切线， D 为切点，割线 PEF 经过圆心O，若 PF=12， PD=4，则 O 的半径长为4考点 ： 与圆有关的比例线段专题 ： 计算题分析：利用切割线定理，可得PD2=PE PF，代入计算即可得到圆的半径解答：解： PD
24、 为 O 的切线， D 为切点，割线PEF 经过圆心O PD2=PE PF 设圆的半径为r， PF=12，PD=4， 48=（ 122r） 12 r=4 故答案为： 4 点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查计算能力，属于基础题14 （5 分） （2013?河西区一模）已知1 的展开式中的常数项为T，f（x）是以 T 为周期的偶函数，且当 x 0， 1时， f（x）=x，若在区间 1，3内，函数g（x） =f（x） kxk 有 4 个零点，则实数k 的取值范围是考点 ： 二项式定理；函数零点的判定定理专题 ： 综合题；转化思想；综合法分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由
25、于 g（ x）=f（x） kxk 有 4 个零点，即函数f（x）与 r（x）=kx+k 有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k 的不等式，求解易得解答：解：的常数项为=2 f（x）是以 2 为周期的偶函数区间 1，3是两个周期区间 1，3内，函数g（ x）=f（ x） kx k 有 4 个零点可转化为f（x）与 r（x）=kx+k 有四个交点当 k=0 时，两函数图象只有两个交点，不合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页当 k 0 时， r（ 1）=0，两函数图象有四个交点，必有0r（3）
26、 1 解得 0k故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（ x） kx k 有 4 个零点，即函数 f（ x）与 r（x）=kx+k 有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分） （ 2013?河西区一模） A、B 是直线图象的两个相邻交点，且（I）求 的值；（II）在锐角 ABC 中， a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若的面积为，求 a的值考点 ： 余弦定理的应用；由y=Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式专题 ： 计算题分析：（ I）利
27、用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为sin（x） ，根据周期，解得 的值（ II）由 f（A）=，求得 sin（2A）=，结合 A 的范围求得A 的值，再根据三角形的面积求出边 b 的值，利用余弦定理求出a的值解答：解： （I）由函数的图象及，得到函数的周期，解得 =2（ II），又 ABC 是锐角三角形，即由，由余弦定理，得，即点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，求出A 的大小，是解题的关键16 （13 分） （ 2013?河西区一模）一个口袋中装有大小相同的2 个白球和3 个黑球（1）采取放回抽
28、样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望考点 ： 离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率专题 ： 计算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页分析：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5 个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球，由此可求概率；（ 2）设摸得白球的个数为 ，则 =0，1，2，求出相应的概率，可得 的分布列与期望解答：解： （1）采取放回抽
29、样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5 个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球因此它的概率P 是： （4 分）（ 2）设摸得白球的个数为 ，则 =0，1，2.； （7 分） 的分布列为：0 1 2 P （9 分） （12 分）点评：本题考查互斥事件的概率，考查离散型随机事件的分布列与期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键17 （13 分） （ 2013?河西区一模）如图，在直棱柱ABC A1B1C1中 AB BC，AB=BD=CC1=2，D 为 AC 的中点（I）证明 AB1平面 BDC1；（）证明A1C平面 BDC1；（）求
30、二面角ABC1D 的正切值考点 ： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（ I）连接 B1C 与 BC1相交于 O，连接 OD，证明 ODAB1，利用线面平行的判定，可得结论；（）证明BD A1C，BC1A1C，利用线面垂直的判定定理，可证A1C平面 BDC1；（）建立空间直角坐标系，求出平面BC1D 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A BC1D的正切值解答：（I）证明：连接B1C 与 BC1相交于 O，连接 OD 在 CAB1中， O，D 分别是 B1C，AC 的中点， ODAB1 AB1? 平面 BDC1，
31、OD? 平面 BDC1， AB1平面 BDC1；（）证明：直棱柱ABC A1B1C1中， AA1平面 ABC BD? 平面 ABC ， AA1BD AB=BC=2 ，D 为 AC 的中点， BD AC AA1 AC=A ， BD平面 AA1C1C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页 BDA1C A1B1B1C1，A1B1B1B，B1C1 B1B=B A1B1平面 B1C1CB A1B1BC1在正方形B1C1CB 中， BC1B1C， B1C， A1B1? 平面 A1B1C，B1C A1B1=B1 BC1平面 A1
32、B1C BC1 A1C由 ， BD BC1=B ，BD，BC1? 平面 BDC1， A1C平面 BDC1；（）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（ 2， 2，0） ，=（1，0，1）设平面 BC1D 的法向量=（x，y， z） ，则由，可得，可取=（1，1，1）平面 BC1A 的法向量=（2，2，0）设二面角ABC1D 的平面角为 ，则 cos =cos=点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18 （13 分） （ 2013?河西区一模）已知数列an的前 n 项和是 Sn，且 Sn+an=1（n N*） （1）求数列 a
33、n的通项公式；（2）设 bn=log3（1Sn+1） （n N*） ，求适合方程的正整数n 的值考点 ： 等差数列与等比数列的综合专题 ： 综合题；等差数列与等比数列分析：（ 1）由 S，得（n 2） ，两式相减得an与 an1的递推式，由递推式易判断数列 an为等比数列，从而可求an；（ 2）由（ 1）易求得 1 Sn+1，进而可求bn，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n 的方程，解出即可；解答：解： （1）由 S，得（n 2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页两式相减得，an+=0（n 2） ，
34、即（ n 2） ，由 S得=1，即=1，解得，所以数列 an 各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以 an=；（ 2）由（ 1）知，即 1Sn+1=，所以 b=（ n+1） ，则=，所以=+ +=，所以方程即=，解得 n=100，故适合方程的正整数n的值为 100点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握 an与 Sn间的关系是解决本题的关键19 （14 分） （ 2013?河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y 有一个相同的焦点F1，直线 l：y=2x+m 与抛物线C2只有一个公共点（1）求直线l 的方程
35、；（2）若椭圆C1经过直线 l 上的点 P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P 的坐标考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合专题 ： 综合题分析：（ 1）根据直线l： y=2x+m 与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，从而可求m 的值，即可得到直线l 的方程；（ 2）椭圆两焦点F1（0，1） ，F2（0，1） ，椭圆过直线l 上的点 P，要使椭圆的离心率最大，只需 |PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2关于直线L 的对称点F3到 F1的距离即可解答：解： （1）又因为直线l：y=2x+m 与抛物线C2只有一个公共点
36、，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x28x4m=0 只有唯一解，所以64+16m=0，所以 m= 4，直线l 的方程为： y=2x 4（2）抛物线C2：x2=4y 的焦点坐标为F1（0，1） ，所以椭圆C1中， c=1，焦点在y 轴上，所以椭圆两焦点F1（0，1） ，F2（0， 1） 椭圆又过直线l 上的点 P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求 F2关于直线L 的对称点F3到 F1的距离即可设 F2关于直线L 的对称点F3（m，n） ，解得，即 F3（，） ，所以直线F1F3方程为：，即 y=x+1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
37、归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页与直线 l 联立，可得，即 P（） ；此时椭圆C1中， 2a=|F1F3|=4， a2=4， b2=a2c2=3，椭圆方程为点评：本题考查直线与椭圆的方程，解题的关键是使椭圆的离心率最大，只需 |PF1|+|PF2|有最小值， 只需求 F2关于直线 L 的对称点F3到 F1的距离即可20 （14 分） （ 2013?河西区一模）已知函数f（x）=xxlnx ，g（x）=f（x） xf （a） ，其中 f （a）表示函数f（x）在 x=a 处的导数， a为正常数（1）求 g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且 x1 x
38、2，证明：（x2x1）f （x2） f（ x2） f（x1）（ x2x1）f（x1） ；（3）对任意的n N*，且 n 2，证明：考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题 ： 压轴题分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（ 2）先证明 f（x2） f（x1）（ x2 x1）f（x1） ，f（ x2） f（x1）（ x2x1）f（ x2） ，即可得（ x2x1）f（x2） f（x2） f（x1）（ x2x1） f（x1） ；（ 3）构造函数 （x）=，确定 （x）在（ 1，+）上单调递减，从而可得，即 ln2lnn ln（2+k）ln（nk）
39、 ，再利用放缩法，即可证得结论解答：（ 1）解： f（x）=lnx，g（x）=xxlnx+xlna ，g（x） =f（x） f（a）=lnx+lna=ln （2分）所以， x （0，a）时， g（x） 0，g（x）单调递增；x （a，+）时， g（x） 0，g（x）单调递减所以， g（ x）的单调递增区间为（0，a，单调递减区间为a，+） （4 分）（ 2）证明：对任意的正实数x1，x2，且 x1x2，取 a=x1，则 x2 （x1，+） ，由（ 1）得 g（x1） g（x2） ，即 g（ x1）=f（x1） x1f（x1） f（x2） x2f（x1）=g（x2） ，所以， f（x2） f（x
40、1）（ x2x1）f（x1） ； （6 分）取 a=x2，则 x1 （0，x2） ，由（ 1）得 g（ x1）g（x2） ，即 g（x1）=f（x1） x1f（x2） f（x2）x2f（x2）=g（x2） ，所以， f（x2） f（x1）（ x2x1）f（x2） 综合 ，得（ x2x1）f（x2） f（x2） f（x1）（ x2 x1）f（x1） （8 分）（ 3） 证明：对 k=1， 2， ， n 2， 令 （x） =， 则 （x） =，显然 1xx+k ，0lnxln（x+k） ，所以 xlnx （ x+k ）ln（x+k ） ，所以 （x） 0， （x）在（ 1，+）上单调递减由 n k
41、 2，得 （n k） （ 2） ，即所以 ln2lnn ln（ 2+k） ln（nk） ， k=1，2， ，n2 （10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页所以=2 （12 分）又由（ 2）知 f（ n+1） f（n） f （n） =lnn，所以 lnnf（n） f（n+1） ln1+ln2+ +lnnf（1） f（2）+f（ 2） f（3）+ +f（n） f（n+1）=f（1） f（n+1）=1 f（n+1） 所以， （14 分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页