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1、（第 8 题图）2011 年各地中考数学试题汇编尺规作图一、选择题1. （2011 浙江绍兴， 8，4 分）如图， 在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点,MN，作 直 线MN， 交BC于 点D， 连 接AD. 若ADC的周长为 10，7AB， 则ABC的周长为（） A.7 B.14 C.17 D.20 DMNCAB【答案】 C 二、填空题三、解答题1. （2011江苏扬州，26,10 分） 已知， 如图，在 RtABC中， C=90o ，BAC的角平分线 AD交 BC边于 D。（1）以 AB边上一点 O为圆心，过A，D两点作 O （不写作法，保留作图痕迹
2、） ，再判断直线BC与O 的位置关系，并说明理由；（2） 若（1） 中的O 与 AB边的另一个交点为E， AB=6 ， BD=32,求线段 BD 、BE与劣弧 DE所围成的图形面积。 （结果保留根号和）【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点 O，O为圆心，OA为半径作圆。判断结果： BC是O 的切线。连结OD 。AD平分BAC DAC= DABOA=OD ODA= DABDAC= ODA OD AC ODB= CC=90o ODB=90o 即：OD BCOD是O 的半径 BC 是O 的切线。(2) 如图，连结DE 。设O 的半径为 r ，则 OB=6-r，在 RtODB中，ODB=9
3、0o ， 0B2=OD2+BD2 即：(6-r)2= r2+(32)2 r=2 OB=4 OBD=30o ，DOB=60oODB 的 面 积 为3223221， 扇 形ODE 的 面 积 为322360602阴影部分的面积为3232。2. （2011 山东滨州， 23，9 分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。（1）如图ABC中，C=90，A=24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
4、 - - -第 1 页，共 6 页作图：猜想：验证：（2）如图ABC中，C=84，A=24.作图：猜想：验证：【答案】(1) 作图：痕迹能体现作线段AB(或 AC 、或 BC)的垂直平分线，或作ACD= A(或BCD= B)两类方法均可，在边 AB上找出所需要的点D，则直线 CD即为所求2分猜想： A+ B=90 ，4分验证： 如在ABC中，A=30 ， B=60 时， 有A+ B=90 ，此时就能找到一条把 ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。5分（2）答：作图：痕迹能体现作线段AB(或 AC 、或 BC)的垂直平分线，或作 ACD= A或在线段 CA上截取 CD=CB 三种方法均可。在
5、边AB 上找出所需要的点D，则直线CD 即为所求6 分猜想： B=3 A 8分验证：如在 ABC 中，A=32 ，B=96 ，有B=3 A ，此时就能找到一条把 ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。9分3. （2011 山东威海， 20，8 分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心（1）如图， ABC DEF ， DEF能否由 ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由图（2）如图， ABC MNK ， MNK 能否由 ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若
6、不能，试简要说明理由（保留必要的作图痕迹）图 图【答案】解： （1）能，点1O就是所求作的旋转中心图 图（1）能，点2O就是所求作的旋转中心4. （2011 浙江杭州， 18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d1：2：3：4(1) 选择其中的三条线段为边作一个三角形( 尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法) ； (2) 任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率CBA（第 23题图）（ 第23 题 图CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页【答案】 (1) 只能取b,c,d三条线段，作图略(2) 四
7、条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c） ， （a，b，d）， （a，c，d） ， （b，c，d） ，其中能组成三角形的只有（b，c，d） ，所以以它们为边能作出三角形的概率是145. （2011 四川重庆， 20，6 分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等， 且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置 ( 要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图) 【答案】6. （2011 甘肃兰州， 25，9 分）
8、如图，在单位长度为1 的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B 、C。（1）请完成如下操作：以点 O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结 AD 、CD 。（2）请在（ 1）的基础上，完成下列问题：写出点的坐标：C 、D ；D 的半径 = （结果保留根号） ；若扇形 ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留） ；若 E （7，0） ， 试判断直线EC与D 的位置关系并说明你的理由。【答案】（1）（2） C（ 6，2） ，D（2，0）2 554相切。理由
9、： CD=2 5，CE=5，DE=5 CD2+CE2=25=DE2DCE=90 即CE CDCE与D 相切。7. （ 2011 重庆江津， 23 ，10 分） A 、B两所学校在一条东西走向公路的同旁 , 以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系 , 且点 A的坐标是 (2,2),点 B的坐标是 (7,3). (1) 一辆汽车由西向行驶, 在行驶过程中是否存在一点C,使 C点到A、B 两校的距离相等 , 如果有 ?请用尺规作图找出该点, 保留作图痕迹 , 不求该点坐标 . (2) 若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小, 通A B C O A B C O x y D E
10、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标. 【答案】 (1) 存在满足条件的点C: 作出图形， 如图所示， 作图略；（2）作出点 A关于 x 轴的对称点A/(2,-2), 连接 A/B，与 x 轴的交点即为所求的点P. 设 A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把 A/(2,-2), B(7,3)分别代入得：2237bkbk解得：41bk所以： y=x- 4当 y=0 时， x=4, 所以交点P为（ 4，0）8. (2011 重庆綦江， 19，6 分)为了推进农村新型合
11、作医疗制度改革, 准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B 、C不在同一直线上，地理位置如下图） ，请你用尺规作图的方法确定点P的位置 . 要求 : 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹解：已知：求作：【答案】：解：已知：A 、B、C三点不在同一直线上. 求作：一点P，使PA PB PC.( 或经过A、B、C三点的外接圆圆心P) 正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P9. (2011 江苏南京， 27，9 分) 如图， P 为ABC内一点，连接PA、PB、PC ，在PAB 、PBC 和PAC中，如果存在一个三角形与 ABC相似，那么
12、就称P 为ABC的自相似点如图，已知RtABC中，ACB=90 ，ACB A ， CD是 AB上的中线，过点B 作 BE CD ，垂足为E，试说明E 是ABC的自相似点在ABC中，A B C 如图， 利用尺规作出 ABC的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；若ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数【答案】解：在Rt ABC 中，ACB 90， CD是 AB上的中线，12CDAB， CD=BD BCE ABC BE CD ，BEC 90，BEC ACB BCE ABC E 是ABC的自相似点作图略作法如下：（i ）在ABC内，作 CBD A ；（ii ）在ACB内
13、，作 BCE ABC ； BD交 CE于点 PB B B C C C A A A D P E (第 27 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页则 P 为ABC的自相似点连接 PB、PC P 为ABC的内心，12PBCABC，12PCBACBP 为ABC的自相似点， BCP ABC PBC A ，BCP ABC=2 PBC =2 A ，ACB 2BCP=4 A A+ ABC+ ACB 180A+2 A+4 A 1801807A该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、720710 （2011 江苏无锡， 26
14、，6 分）( 本题满分 6 分) 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2， 腰长为 3， 一个底角为60。正方形ABCD的边长为 1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。【答案】解： (1) 如右图所示(3分) (2)S = 21412 + 14(2)2 + 1 + 15036012 = 73 + 2 (6分) 11.（2
15、011 重庆市潼南 ,19,6分）画 ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法） . 已知：求作：【答案】已知：线段a、b、角 -1分求作： ABC使边 BC=a，AC= b，C= -2分画图（保留作图痕迹图略） -6分12. （2011 湖北宜昌， 23，10分）如图 1,Rt ABC 两直角边的边长为 AC = 1 ，BC =2. (1) 如图 2, O与 RtABC的边 AB 相切于点 X，与边 CB相切于点 Y. 请你在图 2 中作出并标明O的圆心 0；( 用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
16、(2) P 是这个 RtABC上和其内部的动点，以P 为圆心的 P 与RtABC 的两条边相切. 设P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由. （第 23 题图 1）（第 23 题图 2）B A(M)D C N P Q B A(M)D C N P Q 19题图ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页【答案】解： (1)共 2 分 . （ 标 出 了 圆 心 ，没 有 作 图 痕 迹的评1分）看见垂足为Y （X ）的一条垂线( 或者 ABC 的 平
17、分 线 ) 即 评1分 ，(2) 当 P 与 Rt ABC 的 边AB 和 BC 相 切 时 ， 由 角平 分 线 的 性 质 ，动 点 P 是 ABC 的 平 分 线 BM上 的点 ， 如 图 1， 在 ABC 的 平 分 线 BM 上 任 意 确 定 点P1( 不 为 ABC 的 顶 点 ) ，OX BOsinABM， P1Z BP1sin ABM 当BP1 BO 时， P1Z OX, 即 P 与 B 的 距 离 越 大 ， P的 面 积 越 大 这 时 ， BM与 AC 的 交 点 P 是 符 合 题意 的 BP 长 度 最 大 的 点 .（ 3 分 . 此 处 没 有 证 明 和 结
18、论 不 影 响 后 续 评 分 ）如 图 2， BPA 90 ，过 点 P 作 PE AB ，垂 足 为 E，则 E 在 边 AB 上 . 以 P 为 圆 心 、PC 为 半 径 作 圆 ，则 P 与 边 CB 相 切 于C，与 边 AB 相 切 于 E，即 这 时 的 P 是 符 合 题 意 的圆 .（ 4 分 . 此 处 没 有 证 明 和 结 论 不 影 响 后 续 评 分 ）这 时 P 的 面 积 就 是 S 的 最 大 值 . A A ， BCA AEP 90,Rt ABC Rt APE， （ 5 分 ）ABPA=BCPE. AC 1， BC 2 ， AB 5.设 PC x， 则 P
19、A AC PC 1 x,PC PE，51x=2x， x522 （ 6 分 ）如 图 3 ，同 理 可 得 ：当 P 与 Rt ABC 的 边 AB和 AC 相 切 时 ，设 PC y， 则52y=1y ， y=512（ 7 分 ）如 图 4 ，同 理 可 得 ：当 P 与 Rt ABC 的 边 BC和 AC 相 切 时 ，设PF z ，则22z=1z， z=32（ 8分 ） 由 ， ， 可 知 ： 5 2， 525 1 3 ， 当 分 子 、 分 母 都 为 正 数 时 ， 若分 子 相 同 ， 则 分 母 越 小 ， 这 个 分 数 越 大 ， ( 或 者 : x522 25 4, y= 512= 215， y -x=245490,yx. z -y=32215=64570 ， 232 512 522， （ 9 分 ，没 有 过 程 直 接 得 出酌 情 扣 1 分 ） z y x. P 的 面 积 S 的 最 大 值 为94 . （ 10 分 ） (第 23 题答图 1) ( 第 23 题答图 1) (第 23 题答图 3) (第 23 题答图 4)Z X M A C B PO E A C B P A C B P A C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页