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1、-高一数学总复习-集合-第 30 页高一数学总复习集合一、 内容提要1、 集合的概念：由一些事物组成的整体。可用大写字母A、B、C表示。1） 元素：集合中的每一个事物。可记作a 、b、 c。2） 集合与元素的关系。3） 常用集合4） 表示方法：列举法、描述法。2、 集合与集合的关系1） 子集：如果集合B的每一个元素都是A的元素，那么B叫做A的一个子集，记作，（A的子集包括本身）。2） 真子集：B是A的子集且A中至少有一个元素不属于B，则称B是A的一个真子集记作。3） 相等：A、B的元素完全一样，称A=B。 若。3、 集合的运算1） 交集：2） 并集：3） 补集；4、 充要条件：称p是q的充分条
2、件, q是p的必要条件. 称p 、q的互为充要条件。二、 例题讲解：例1、 写出集合a,b,c的所有子集和真子集。例2、 已知，求、 、。例3、 用符号填空 a b b 0 Rc a,b R 1 Q三、 练习：（一）、选择题、已知集合，则（）、，）、，）、，）、设，则）、， ）、 ）、）、已知，则（）、）、 ）、 ）、（二）、填空题、用符号表示：，、写出“大于且小于等于的正整数集”的列举法 描述法 、，、，、，则，7、写出 2 , 6 , 9 的所有子集和真子集10.已知X=x|x2+px+q=0，p2-4q0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试求p、q；11.集合A=x|x
3、2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若AB=-2，0，1，求p、q；12.A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B集合练习题一单项选择(1)设集合M=,又=.那幺 ( ) (A) (B) (C) (D)(2) 设全集,则( ) (A) (B) (C) (D)（3）对于任意x, yR，且xy0，则所组成的集合所含元素的个数为（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个(4) 全集，x|x|1，x|x2-2x-30，则（）（）（） (A)x|x或x (B)x|-13 (C)x|-1x1 (D)x|-1p，要使MN，则p应满足的条件是（
4、）（A）p1 （B）p1 （C）p1 （D）p1(10)已知集合A是全集S的任一子集，下列关系中正确的是（ ）(A) (B)S (C)（A）= (D)（A）S(11)若有非空集合A、B且BA，全集UR，下列集合中为空集的是（ ）（A）B （B）A （C） （D）（12）设全集，集合，那么()等于（ ）（A） (B) (C) (D)二填空题 （13）已知集合A=y| y=2x1,x0，B=y| y=x29, xR, 则AB=_.（14）设集合Ax| x=6k, kZ，Bx| x=3k, kZ，两个集合的关系可表示为A B.（15）设集合，集合，则集合等于 （16）设UR，集合Ax| x2px12
5、=0, xN，集合Bx| x25xq=0, xN，且=2, =4，则pq的值等于 .（17）设A=(x,y)| y=1-3x,B=(x,y)| y=(1-2k2)x+5,若AB=,则k的取值是_.（18）用集合表示图中阴影部分_.三解答题（19）写出所有适合a, bAa, b, c, d, e的集合A.（20）某班有学生55人，其中有音乐爱好者34人，有体育爱好者43人，还有4人既不爱好音乐又不爱好体育，该班既爱好音乐又爱好体育的有多少人？（21）若a0b0=，求实数p的取值范围函数的解析式的求法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一
6、 换元法题1已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1若,求.二配变量法题2已知, 求的解析式.练习2若,求.三待定系数法题3设是一元二次函数, ,且,求与.练习3设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为,求的表达式.四解方程组法题4设函数是定义(,0)(0,+ )在上的函数,且满足关系式,求的解析式.练习4若,求.五特殊值代入法题5若,且，求值.练习5设是定义在上的函数,且,，求的解析式.六利用给定的特性求解析式.题6设是偶函数,当x0时, ,求当x0时，的表达式.练习6对xR, 满足,且当x1,0时, 求当x9,10时的表达式.七归纳递推法题7设,记,
7、求.八相关点法题8已知函数,当点P(x,y)在y=的图象上运动时,点Q()在y=g(x)的图象上,求函数g(x).九构造函数法题9若表示x的n次多项式,且当k=0,1,2,n时, ，求.课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。练习：OYXADCB1向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是2从盛满20升纯洒精的容器中倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续下去,如果第k次倒后共倒出纯洒精x升,第k+1次倒后共
8、倒出纯洒精f(x)升,求f(x)的表达式. ( f(x)= )3设二次函数满足,且它的图象与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为,求的表达式. ()4对满足的所有实数x,函数满足,求所有可能的. (,()5设是定义在上的函数,若,且对任意的x,y都有：, 求. ()6：已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。7：求一个一次函数f(x)，使得fff(x)=8x+7.8：已知f(+1)=x+2，求f(x)的解析式9：已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=010、已知f(x+1)= +1，求f(x)解析式。11、设函数
9、F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是的反比例函数，又F(2)=F(3)=19,求F（x)的解析式。12、已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x-1,求f(x)的解析式。13、设f(x)=2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及fg(2).函数的定义域和值域一、 本次教学主要内容及重点难点说明 本次教学主要内容是函数的定义域和函数的值域。定义域是指原象的集合，通俗地说即自变量的取值范围，值域是象的集合，通俗地说是所有函数值组成的集合，因初中与高中在函数定义上的差异，以及目前高一同学对函数的学习甚少（仅限于一次函数，反比例函数，二次函数的一部分），所以
10、使得求函数的定义域与值域既是重点也是难点。定义域和值域都是实数集的子集，定义域不同的函数一定是不同函数，定义域既是函数性质重要内容又是研究函数其它性质优先考虑的因素和赖以存在的前提。值域中元素数目不多于定义域中元素数目，函数的值域取决于其定义域和对应法则，求函数值域的问题。灵活性较大，就高一同学目前知识范围而言，还缺乏较完整、规范的办法。下面将要介绍的几种方法，有的适用范围有限，有的也不介绍理论根据，所以目前还不能求出任意给定的函数的值域，请同学们不必苦钻难题。二、 典型解析 【例1】求下列函数的定义域 分析：对于因偶次根式的根号内的值非负，所以 解得 故定义域为 对于因幂指数为零时，底数不可
11、以为零，所以故函数定义域为 对于因分式函数分母不可以为零，并且偶次根式的根号内的值非负，所以解得 故其定义域 说明：对于给定解析式的函数的定义域的求法，通常考虑偶次根式的根号内的值应当非负，分式函数的分母不能为零，幂指数为零时，底数不为零等。在有限个实数上定义的函数，其定义域就是这有限个实数的集合；有限个基本初算函数的四则运算而合成的新函数的定义域，是各个基本初算函数的定义域的交集，并考虑新出现的分母不能为零。【例2】已知函数的定义域是，求的定义域。 分析：因的定义域是，所以要使有意义，必须有 解得 即 或 故定义域为 说明：一般地，复合函数的定义域，应使“内层函数”的值域不超出“外层函数”的
12、定义域。 【例3】已知圆锥的侧面积为定值，求母线长关于底面半径的函数解析式和定义域。分析：因圆锥的侧展开图形是以母线长为半径，底面周长为弧长的扇形，由扇形面积公式，得，所以，现在问题是取值，从解析式看，但从实际问题看，可这是否就正确了呢？事实上从几何意义上讲，与分别是直角三角形的直角边和斜边，所以隐含着，故由知 说明：应用问题与几何问题中的函数定义域，不仅要从解析式考虑，而且还应从实际意义和几何意义考虑。【例4】已知函数 求函数的值域 分析：这是一个根据值域定义直接获解的题目，易知值域是 说明：有些函数，可直接由值域定义，用列举法给出值域。 【例5】求的值域 分析：由得 这里，否则，所以，因函
13、数定义域为，有，解得值域为 说明：用反表示的办法，把表示成或或等形式，再由原函数定义域确定的取值范围，并由此去限制而获得值域的解决。【例6】已知 求值域 分析：本例是二次函数在闭区间上的值域问题，通过作函数夹在和的两条直线内的一段图象，容易知道当时，当时，故值域为 说明：对闭区间上连续函数的值域问题，可由求函数的最值的办法求值域，尤其应当熟练二次函数闭区间上的最值问题。【例7】求函数的值域 分析：将函数改写成视此等式为关于的方程，从原函数定义域为，断定此方程应有实根，若，则方程为矛盾，所以，且解得，故值域是。说明：关于型函数的值域求法，可转化为视为参数的方程 有解（因函数定义域非空）讨论，值得
14、强调的有两点：一是应分与两种情况，仅由确定值域的做法，事实上是认定方程*为二次方程，这是对方程*讨论的片面认识，从这个意义上讲通常此法称作“判别式法”有些不妥，不如称为“方程法”贴切些，二是此法适用范围虽然很广，但注意定义域十分重要，此类函数若限定在某区间上，或者是某几个区间上时，值域的确定便转化对方程*在区间上有解的讨论根的分布讨论（另一个重要话题），否则一味地运用“方程法”会扩大函数本身的值域，请同学们试试例6便知。【例8】求函数的值域 分析：改写成设则，由知，至此转化为二次函数在闭区间上的值域问题，仿例5由最值法获解。说明：换元法在高中数学中极为重要，在数学各门类中，在数学的各类问题中有
15、着广泛的应用。 关于值域求法还有不少，象的分离常数法的配方观察法，以及通过分段函数的图象观察的图象法等等，在此不再一一说明。练习题1、 函数f(x)=的定义域是_ . 2、 函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数y=的定义域为B，则AB=_ . 3、 y=(m为正偶数，n为正奇数)的定义域是 _. 4、 y=的定义域是_，值域是_ . 5、 下列函数中，定义域和值域都是R的函数是（ ）A y=()x B y=x3 C y=x2 D log2x6、 已知函数f(2x)的定义域是-1，1，求函数f(log2x)的定义域。7、 已知函数f(2x+1)的定义域是，求函数f(log2x)
16、的定义域。8、求f(x)=(a0且a1)的定义域。11、f(x)=lnax2+(a-1)x+ , (1)若函数定义域为R，求a的取值范围。（2）若函数值域为R，求a的取值范围。函数的单调性和奇偶性一、 本次教学主要内容及重点、难点说明 本次教学内容主要包括函数的单调性、奇偶性的概念以及奇函数、偶函数图象的特点。函数的单调性要求学生了解增函数、减函数的概念，并能掌握判断某些函数增减性的方法。函数的奇偶性要求学生了解奇函数、偶函数的概念，并能掌握判断某些简单函数的奇偶性，进一步使学生了解奇函数、偶函数图象的特点，并会用简化函数图象的画法。本周教学重点是函数的单调性、奇偶性的有关概念，难点是利用这些
17、概念证明或判断函数的单调性和奇偶性，另外函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。二、 典题解析 【例1】利用定义判定的单调性，并指出相应的单调区间 解：任取且 则 当 时 ， 函数在上是增函数 当 时 ， 函数在上是减函数 当时 函数在上是减函数 当时， 函数在上是增函数 说明：在讨论函数的单调性时，特别要注意，若在区间上分别是增（减）函数，但不一定在区间上是增（减）函数，如例1中函数在上是减函数，上是减函数，但在上不是减函数。便是一例。【例2】函数在上是增函数，求实数的取值范围 解： 当时，在上是增函数 解得 综上：的取值范围是 说明：注意对函数二项式系数的讨论 【例3】讨论函数的单
18、调性 分析：由函数单调性定义，结合字母进行讨论 解：设，则 当时，则为增函数当时，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】已知为定义在上的奇函数，当时，求的表达式。分析：根据函数的奇偶性定义，由的解析式，求出时的解析式 解：为奇函数， 当 时， 为奇函数 【例5】定义在上的偶函数在上是单调递增的，若，求实数的取值范围 解：在上为偶函数 在上是单调递增的 又 即 练习题一、选择题1.定义在(-，+)上的任意函数f (x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f (x) = lg(10x+1)，xR,那么2. 3.已知奇函数f(x)在3,7上是增函数，且有最小值5，那么f(x
19、)在-7,-3上一定是A.增函数，且有最小值-5 B.增函数，且有最大值-5 C.减函数，且有最小值-5 D.减函数，且有最大值-54.若函数f (x) = (a-2) x2+ 2(a-2) x-4的图象位于x轴的下方，则实数a的取值范围是A.(-,2) B.-2,2 C.(-2,2) D.(-,-2)5.上述函数中为奇函数的是A. B. C. D.6.若y=f (x)是定义在R上的函数，则y=f (x)为奇函数的一个充要条件为A. f (0) =0B.对任意的xR，f (x) =0都成立C.有在某一个x0R，使得f (x0) + f (-x0) =0D.任意的xR，f (x) + f (-x
20、) =0都成立7.已知函数f (x) = x5+ a x3+ b x-8，且f (2) =0，则f (-2)等于A.16 B.18 C.8.如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值是5，那么f(x)在区间7，3上A.是增函数且最小值为5 B.是增函数且最大值是5C.是减函数且最小值为5 D.是减函数且最大值是59.若函数f(x)=x2+2(a1)x+2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a5 D.a310.若f (x)在-5,5上是奇函数，且f (3)f (1)，则A.f(1)f(1) C.f(1)f(5)11.函数f(x)=loga,在（-1，0）上
21、有f(x)0，那么A.f(x) (-,0)上是增函数 B.f(x)在（-，0）上是减函数C.f(x)在（-，-1）上是增函数 D.f(x)在（-，-1）上是减函数12.已知奇函数f(x)在3,7上是增函数，且有最小值5，那么f(x)在-7,-3上一定是A.增函数，且有最小值-5 B.增函数，且有最大值-5 C.减函数，且有最小值-5 D.减函数，且有最大值-513.A.1 B.-1 C.- D.14.已知f (x)是偶函数，且方程f (x) =0有四个实根，则这四个实根之和为A.4. B.2 C15.已知y=f (x) (xR)是奇函数，则它的图象必经过点16.函数是A.是奇函数但不是偶数 B
22、.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数17.是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数18.在区间（0，+）上不是增函数的是Ay=2x+1 B.y=3x2+1 C. D.y=2x2+x+119.设函数f(x)是（-,+）上的减函数，又若aR，则A.f(a)f(2a) B.f(a2)f(a) C.f(a2+a)f(a) D.f(a2+1)f(a)20.函数的单调增区间是 A.1，3 B.2，3 C.1，2 D.(，2二、填空题1. 函数的奇偶性是_.2.f (x) = 4 x2-
23、 m x+ 5在区间(-2，+)是增函数，在区间(-，-2)上是减函数，则f(1) .3.函数f (x) = x2+ 2(a -2) x+ 5在区间(4，+)上是增函数，则实数a的取值范围是_.4.已知奇函数在区间5，2上是增函数，且有最大值1，则f (x)在2，5上是_函数，且有最小值_.5.函数f (x) = x2+bx+ c对任意实数t都有f (2+t)=f (2t),那么f (1),f (2), f (4)从小到大的顺序是_.6.已知偶函数f (x)在0,上单调递增，a= f (-)，c= f (-2),那么，a、b、c之间的大小关系是_.7.若是奇函数，则_.8.函数的单调递增区间是
24、 .9.函数的单调减区间是 _ .10.已知函数f (x) = x2+2 x+ a在区间3，2上的最大值是4，则a= .三、解答题1.判断函数y=f (x) = 3 x+2的单调区间，并证明你的结论。2.证明在(0，+)上是增函数.3.已知奇函数f(x)在3,7上是增函数，且有最小值5，那么f(x)在-7,-3上一定是A.增函数，且有最小值-5 B.增函数，且有最大值-5 C.减函数，且有最小值-5 D.减函数，且有最大值-54.已知奇函数f (x)在定义域（1，1）上是减函数，且满足不等式f (1- a) + f (1- a2)0，求实数a的取值范围.5.判断函数的奇偶性.6.证明函数f (
25、x) = x2+ 1在0，+）上是增函数.7.8.利用定义判定的单调性，并指出相应的单调区间.9.根据函数单调性的定义，证明函数f (x) = - x3+1在(-，+)上是减函数.10.根据函数单调性的定义证明：f(x)=ax2+bx+c(a0)在上是增函数.11.已知奇函数y=f(x)在其定义域1，1内是减函数，且f(1a)+f(1a2)0，求实数a的范围.12.已知函数f(x)=(x2k)2+2k在区间1，2上的最大值为2，求实数k的值.13.函数为奇函数，（且），求常数m的值.14.求的单调区间和值域.15.求证：(a0)在区间(0, a上是减函数.16.设函数，求f (x)的单调区间，
26、并证明f (x)在其单调区间上的单调性.17.函数f (x) = a x2- (3a-1) +a2在1，+)上是增函数，求实数a的取值范围.18.讨论函数的单调性.19.已知函数f (x), g (x)在R上是增函数，求证：f g (x)在R上也是增函数.20.讨论函数的单调性.函数的单调性和奇偶性答案一、选择题(共41题，合计205分)1.2058答案：C2.2180答案：B3.1871答案：B4.1878答案：C5.1942答案：A6.1954答案：D7.1956答案：A8.2402答案：B9.2475答案：B10.2578答案：A11.4144答案：C12.4413答案：B13.1883
27、答案：D14.1952答案：D15.2039答案：A16.2086答案：A17.2110答案：A18.2325答案：C19.2326答案：D20.2400答案：C21.2403答案：D22.2405答案：A23.2406答案：B24.2460答案：C25.2461答案：D26.2476答案：B27.2495答案：A28.2577答案：D29.4279答案：C30.4297答案：A31.4298答案：C32.4300答案：D33.4301答案：D34.4302答案：D35.4303答案：C36.4304答案：C37.1904答案：B38.2327答案：B39.2401答案：A40.2493答案：
28、C41.4299答案：A二、填空题(共24题，合计100分)1.1946答案：奇函数2.1948答案：253.1950答案：a-24.1958答案：增;15.2434答案：f (2) f (1) f (4)6.1960答案：7.1993答案：8.2330答案：9.2414答案：(1，110.2429答案：411.2462答案：12.2463答案：12，+)13.2580答案：14.4283答案：f(x)=x+5或f(x)=-x+415.4285答案：减函数16.4286答案：0，+) 17.2051答案：18.2122答案：或319.2328答案： ， 20.2329答案：21.2581答案：
29、3122.2585答案：（1）、（2）、（4）23.4309答案：NP0时，f (x)在(-1,1)上为减函数当a0时f(x)0且f(3)=4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间9，9上，求f(x)的最值.三、例题分析1、已知函数的反函数，（）若，求的取值范围；（）设函数，当时，求的值域2、已知函数在上单调递减，在上单调递增，且方程有3个实根： （1）求的取值范围；（2）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.六、自我检测（我还存在缺陷吗？）1、若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_.2、设a为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR.(
30、1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.3、设f(x)=.(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；(2)解不等式fx(x)1.4、已知，奇函数在上单调（）求字母应满足的条件；（）设，且满足，求证：点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1、 平面，点，且，又，过A、B、C三点确定的平面记作，则是（ ）A直线AC B直线BC C直线CR D以上都不对2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A0 B1 C1或4 D无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体中，P、Q分别为的中点，则四边形是（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D空间四边形5、在
31、空间四边形中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD， 且，则四边形EFGH为 6、下列命题正确的是（ ）A 若，则直线为异面直线B 若，则直线为异面直线C 若，则直线为异面直线D 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L外两点作与直线L平行的平面，可以作（ ） A1个 B1个或无数个 C0个或无数个 D0个、1个或无数个9、，且与平面相交，那么直线与平面的位置关系是（ ） A必相交 B有可能平行 C相交或平行 D相交或在平面内
32、10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A一条直线不相交 B两条直线不相交C任意一条直线不相交 D无数条直线不相交11、如果两直线，且平面，则与平面的位置关系是（ ）A相交 B C D或12、已知直线与直线垂直，平行于平面，则与平面的位置关系是（ ）A B C与平面相交 D以上都有可能13、若直线与直线是异面直线，且平面，则与平面的位置关系是（ ）A B与平面相交 C D不能确定14、已知平面，直线，则直线与直线的关系是（ ） A相交 B平行 C异面 D平行或异面15、平面平面，平面平面，平面平面，若，则与的位置关系是（ ）A与异面 B与相交 C至少与中的一条相交 D与都平行16
33、、是异面直线，则过且与平行的平面有个17、正方体的棱长为，求异面直线和所成的角的余弦值18、已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM面EFG19、在正方体中，E为的中点，求证：面AEC20、在正方体中，E、F分别为BC、的中点，求证：EF/平面21、已知在正方体中，E、F分别是的中点，求证：平面平面22、过正方体的棱作一平面交平面于，求证：/23、如图，四边形ABCD是矩形，面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，DBACEFP 交DP于F，求证：四边形BCFE是梯形点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C 2、C 3、3 4、B 5、正方形 6、D 7、 8、D（提示：当时，就为0个） 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、18、提示：连结MD交GF于H，则点H为MD的中点19、提示：连接交于点O，连接EO，则EO/，又面， 故/面20、提示：取的中点为，连接，则且，则 四边形是平行四边形，故21、提示：，取的中点H，连接EH，有 所以四边形是平行四