矩阵及其初等变换.ppt

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1、1,第二章 矩阵及其初等变换,矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算， 使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程 组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理 论是线性代数的基本内容.,本章重点：,矩阵的运算及其运算性质 逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法 矩阵的分块运算法 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵的秩及其性质,2,2.1 矩阵的概念,二、矩阵的定义与记号,一、关于矩阵,三、特殊矩阵,四、矩阵举例,3,一、 关于矩阵,1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概 念. 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则. 矩阵的应用十分广泛：自然

2、科学、工程技术、社会科 学等许多领域. 如在观测、导航、机器人的位移、化学 分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计 算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用.,4,二、矩阵的定义与记号,Def2.1 由 个数 排成 的m行n列的数表,称为 行 列矩阵，简称 矩阵.,为表示这个数 表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表 示它，记作,5,这 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 位于矩 阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 为(i,j)元的矩 阵可简记作 或 . 矩阵A也记作,矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在 数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的

3、概念.,矩阵的行数和列数不一定相等.,元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵.,6,同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.,矩阵相等：如果 与 是同型矩阵，并 且它们的对应元素相等，即,那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作,7,三、特殊矩阵,行矩阵(行向量)：,列矩阵(列向量)：,方阵：,8,零矩阵：,对角矩阵(对角阵)：,单位矩阵(单位阵)：,上三角矩阵：,下三角矩阵：,数量矩阵(纯量矩阵)：,9,四、矩阵举例,例1.1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其中 为工厂向第i店发送第j种产品的数量.,这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵,其

4、中 为第 种产品的单价， 为第 种产品单件重量.,从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.,10,例1.2 四个城市间的单向航线如下图所示，若令,则这个图可以用矩阵表示为,用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.,11,例1.3 n个变量 与m个变量之间的关系式,称为从变量 到变量 的线性变换.,12,2.2 矩阵的基本运算,一、矩阵的加法,二、数与矩阵的乘法,三、矩阵的乘法,四、矩阵的转置,五、方阵的行列式,六、矩阵的共轭,13,一、矩阵的加法,Def2.2 两个同为 的矩阵相加后得一 矩阵，其 元素为两矩阵对应元素的和. 即,只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行

5、加法.,14,15,矩阵的加法运算规则,交换律：,结合律：,设矩阵 记,称为矩阵 的负矩阵.,16,二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）,Def2.3 阶矩阵A与一个数k相乘后得一 矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作,17,18,数与矩阵的乘法运算规则,矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性运算.,19,三、矩阵的乘法,某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：,20,这四种产品的售价(单位：百元)及重量(单位：千克)如下:,问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？,21,22,Def 2.4 设 ， 若定义一个新的 矩阵 其中,则称矩阵C为矩阵A与矩阵B

6、之积，记作,只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才 有意义.,乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩 阵的第j列对应元素乘积之和.,两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于 左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.,23,特别注意-乘积不可交换,AB乘积一般不可以交换，,(1) AB为 矩阵，但BA无意义；,若 则称矩阵 乘积可交换.,(2) AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.,(3),由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.,24,解:,A是 矩阵，B是 矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘. 乘积矩阵是

7、矩阵.,25,解:,此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即,26,例2.3 计算矩阵,的乘积AB.,解：,上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三 角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.,27,矩阵的乘法-运算规则,或简写成,第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的,28,方阵的幂,设A是n阶方阵，定义,此定义表明， 就是k个A连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.,29,称为方阵 的 次多项式.,由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式. 如,方阵的多项式,30,当A与B可交换时，有与数类似的乘法公式.,31,例2.4 计算矩阵乘积

8、,32,例2.5 求与矩阵A可交换的所有矩阵.(教材P44, Ex.4),解：,设与A可交换的矩阵为,33,例2.6 求矩阵A的幂 .(教材P42, 例9),解：,34,例2.7 求矩阵AB的幂 .(教材P42, 例10),解：,35,例2.8 求矩阵A的幂 .(教材P44, Ex.5-(3),解：,解：,36,2.2 矩阵的基本运算(续),一、矩阵的加法,二、数与矩阵的乘法,三、矩阵的乘法,四、矩阵的转置,五、方阵的行列式,六、矩阵的共轭,37,Def2.5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵， 叫做A的转置矩阵，记作 . 即,若,则,其中,则它的转置矩阵为,设矩阵,四、矩阵的转置,3

9、8,对称矩阵和反对称矩阵,设 为n阶方阵，如果满足 ，即,那么A称为对称矩阵，简称对称阵.,对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴，对应相等.,39,设 为n阶方阵，如果满足 ，即,那么A称为反对称矩阵，简称反对称阵.,反对称阵的特点是:它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数.,40,矩阵的转置-运算规则,41,例2.9 已知,求,解法1,解法2,此例验证了矩阵的转置运算规则4,42,注意 和 的区别,证:,所以H是对称阵.,例2.10 设列矩阵 满足 ， E为E为n阶单位矩阵， 证明H是对称阵，且,要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件,

10、43,例2.11 设A与B是同阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的 充分必要条件是A与B是可交换矩阵.(教材P43,例11),证：,因为 ，所以有,当AB是对称矩阵即 时，有AB=BA，所以此 时A与B是可交换矩阵；,当A与B是可交换矩阵即AB=BA时，有 所 以此时AB是对称矩阵,故，AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B是可交换矩阵.,44,五、方阵的行列式,Def01 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位 置不变），称为方阵A的行列式，记作 或,特别注意,方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表，而 行列式则是一个数.,方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方阵按照一定方式

11、确定的一个数，所以方阵的行列式可看作方阵的函数；同时，方阵的行列式是方阵特性的重要标志.,45,由A确定 -运算规则,注意,但,但,46,一方面，根据公式有,另一方面，,47,48,49,50,Def02 当 为复矩阵时， 用 表示 的共轭复数，记,称为 的共轭矩阵.,由A确定 -运算规则,六、矩阵的共轭,51,2.3 逆矩阵,一、逆矩阵的定义,二、逆矩阵的存在条件,四、逆矩阵的运算性质,三、逆矩阵的求法,五、逆矩阵的应用举例,52,一、逆矩阵的定义,Def2.6 对于n阶矩阵A ，如果有一个n阶矩阵B，使,则称矩阵A是可逆矩阵或者非奇异矩阵，并把矩阵B称为 A的逆矩阵，简称逆阵. 若不存在满

12、足上式的矩阵B，则 称A是不可逆矩阵或者奇异矩阵.,此定义表明只有方阵才可能有逆阵.,求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算. 但是能进行的 条件十分苛刻的.,53,二、逆矩阵的存在条件,Thm2.1 如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的. 因此，我们把矩阵A的逆矩阵记作 .,证:,假设矩阵A可逆，B、C都是它的逆矩阵,则,因此，,所以A的逆阵是唯一的.,54,为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义一个新矩阵,55,Def2.7 设 是n 阶矩阵 的行列式 中元素 的 代数余子式，则称矩阵,为矩阵A的伴随矩阵，记作,56,这是定理的充分条件，必要性是显然的,证:,根据伴随阵的性质，有,当

13、时，有,根据矩阵可逆的定义知，矩阵A可逆，且,Thm2.2 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 . 且如果A为可逆矩阵，则有,57,定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：,1）计算,2）计算,3）写出,根据定理2，可以将定义中的条件AB=BA=E 改进一点.,58,推论 设A，B为n 阶矩阵，若AB=E 或者BA=E，则矩阵 A，B都可逆，且,此推论表明，要判断矩阵B是否是A的逆矩阵，不必严格 按照定义检验AB=BA=E，而只要检验AB=E或BA=E.,59,例3.1 设n 阶方阵A，B 满足A+B=AB，证明A E可逆, 并 给出 的表达式.(教材P51, Ex.8),解：,依据推论，只需寻找

14、到适当矩阵与A-B相乘的结果为E.,所以A E 可逆，且,60,三、逆矩阵的求法,方法一：直接依据定义，将矩阵A的逆阵的每个元素作为 未知数，列出线性方程组，参看教材P45,例1.,方法二：依据定理2，根据公式,方法三：依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆. (第五 节将介绍),61,例3.2 求二阶矩阵 的逆矩阵.,解：,所以，当 时，有,注意比较矩阵A与 ，此例的结果应作为公式记住.,62,例3.3 求方阵A的逆阵.,解：,所以 存在，再计算 的余子式，,63,四、逆矩阵的运算性质,若A可逆，则 亦可逆，且,若A可逆，数 ，则 亦可逆，且,若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆， 且,若

15、A可逆，则 亦可逆，且,逆矩阵的行列式,方阵的负幂次方：若A可逆，规定,64,五、逆矩阵的应用举例,-求解矩阵方程,设A、B 为可逆矩阵，,65,例3.4 设矩阵X满足,其中矩阵,解：,由 得,由于 得 故 可逆，且,66,于是， 用 左乘、右乘 的两边，得,67,例3.5 设矩阵,求矩阵X，使之满足AXB=C.(教材P49,例5),解：,由 知A，B都是可逆矩阵，且,用 左乘，以 右乘AXB=C，得,68,例3.6 已知可逆矩阵,求其伴随矩阵 的逆矩阵.(教材P50,例6),解：,若按照常规方法，计算量较大,69,例3.7 设n阶方阵A的伴随矩阵为 ，证明(教材P48,例4),证：,(1)当

16、 时,(2)当 时, 下面用反证法，证明,若 ，则 可逆，,又因为,所以,从而得,这 与矛盾！故,当 时,70,2.4 分块矩阵,在处理较高阶数的矩阵时，对于求逆矩阵或者其他需要， 常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成，这些 小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵. 用子阵来表示矩 阵的方法称为矩阵的分块表示，这样不仅使原矩阵显得 结构简单又清晰，而且可以简化运算过程.,一、分块矩阵,二、分块矩阵的运算,三、常用的分块法,71,一、分块矩阵,Def2.8 一个 矩阵A被纵线和横线按一定需要分成若 干个低阶矩阵，每一个低阶矩阵称为矩阵A的子块，以所 生成的子块为元素的矩阵称为矩阵A的分块矩阵.,

17、以这些子块为元素，于是，得到A的按照这种分法的分块矩阵：,得到4个子块：,72,二、分块矩阵的运算,1. 分块矩阵的加法,设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分法，有,那么,分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加.,73,2. 分块矩阵的数乘,设 为数，对矩阵A分块后，得分块矩阵为,那么,分块矩阵的数乘，数乘每一个子块.,74,3. 分块矩阵的乘法,设A为 矩阵，B为 矩阵， 对A的列的分法与对 B的行的分法相同，分块成,75,其中,分块矩阵的乘法，对左矩阵的列的分法与对右矩阵的行的分法相同，再按普通矩阵的乘法.,76,例4.1 设,求AB.,解: 把A、B分块成,77,则,在计算两个分块乘

18、积时，可以把子块看作“数”；此例把 4阶矩阵的乘积化为了2阶矩阵的乘积，简化了计算.,78,79,4. 分块矩阵的转置,设对矩阵A分块后，得分块矩阵为,那么,分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每个子块转置.,80,5. 分块矩阵的行列式(只能考虑特殊矩阵),(1) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,这样的分块矩阵称为分块对角阵. 则有,81,(2) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,这样的分块矩阵称为分块上三角阵. 则有,82,(3) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,这样的分块矩阵称为分块下三角阵. 则有,83,特别注意用分块法求方阵的行列式只能针对特殊矩阵：,设,则

19、,84,6. 分块矩阵的逆阵(也只能考虑特殊矩阵),(1) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,若 ，则有,85,(2) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,若 则有,(3) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,若 则有,86,(4) 设A为n阶矩阵，可分块成为,都是方阵，,若 ，则有,注意 中 的排列顺序.,分块副对角阵,87,解:,88,解:,因此,89,例4.5 求矩阵A的逆矩阵，其中(教材P58,例5),90,三、常用的分块法,1. 按列分块,称为A的列向量组.,2.按行分块,称为A的行向量组.,91,3. “最粗”的分块,一个矩阵本身看作一个子块，从形式上看就是 矩阵.,

20、4.“最细”的分块,将矩阵中的每个元素看作一个子块.,92,矩阵A与对角阵的乘积：,对角阵右(左)乘A的结果是A的每一列(行)乘以对角阵中与该列(行)对应的对角元.,93,证:,把A按列分块为 ，则,因为 所以,例4.6 设 为实矩阵， 证明A=0.,特别地，有,而,94,由 和 为实数，得,因此,95,2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算，它 源于线性方程组消元过程中的同解变换. 很多问题的解 决都需要运用这种运算，所以才说这是一种重要的运算.,一、矩阵的初等变换,二、初等矩阵,1.1 矩阵的初等变换的定义和记号,1.3 矩阵的等价关系,1.2 初等

21、变换的逆变换,1.4 阶梯形矩阵-矩阵初等变换的目标,2.1 初等矩阵的定义,2.2 初等矩阵的类型与记号,2.3 初等矩阵的性质,2.4 初等矩阵的逆矩阵,2.5 初等变换求解矩阵方程,96,一、矩阵的初等变换,1.1 矩阵的初等变换的定义和记号,3,-2,97,(1) 交换A的第i行与第j行的位置，记为,把上述的定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的 初等列 变换的定义.记号分别为,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,(2) 以数 乘以A的某一行各元素,记为,(3) 将A的第i行各元素的 k倍加到第j 行对应的元素上， 记为,Def2.10 设A是 矩阵下面三种变换称为矩阵的初等

22、 行变换，,记号 与 是有区别的.,98,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为 (或记为 ).,1.2 初等变换的逆变换,99,1.3 矩阵的等价关系,100,Thm2.3 任意非零矩阵 都与形如 的矩,阵等价. 矩阵 称为矩阵A的标准形.,101,1.4 阶梯形矩阵-矩阵初等变换的目标,行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯 线，线的下方全为0; 每个台 阶只有一行，台阶数即是非 非零行的行数；阶梯线的竖 线后面的第一个元素为非零 元，称为首非零元.,行阶梯形矩阵:自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加；零行在最下方.,102,行最简形矩阵,其特点是: 是阶梯形

23、矩阵；非 零行的第一个非零元（首非 零元）为；首非零元所在 的列的其它元素都为,对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.,一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的(只用初等行变换).,103,例5.1 下列四个矩阵中，哪些是行最简形？,解:,矩阵 和 是行最简形矩阵.,104,例5.2 设 ，把 化成行最简形.,解:,将 元化为1,105,将 元化为1,这已是阶梯形矩阵,再化为行最简形,特别要注意将元素化为零 的先后顺序.,106,2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵(续),矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算，它 源于线性

24、方程组消元过程中的同解变换. 很多问题的解 决都需要运用这种运算，所以才说这是一种重要的运算.,一、矩阵的初等变换,1.1 矩阵的初等变换的定义和记号,1.3 矩阵的等价关系,1.2 初等变换的逆变换,1.4 阶梯形矩阵-矩阵初等变换的目标,107,二、初等矩阵,Def2.12 由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称 为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等矩阵.,2.1 初等矩阵的定义,108,2.2 初等矩阵的类型与记号,(1) 交换两行(或两列)：,1 0,0 1,将E的第i行(列)与第j行(列)交换，,109,(2) 以数 乘某行(或列):,以数 乘E第i行(或第i列)，,110,

25、(3) 将某行(列)的k倍加到另一行(列)上,将E的第j行的k倍加到第i行,(或是将E的第i列的k倍加到第j列)，,111,将E的第i行与第j行交换,将E的第i列与第j列交换,以数 乘E第i行,以数 乘E第i列,将E的第j行的k倍加到第i行,将E的第i列的k倍加到第j列,112,2.3 初等矩阵的性质,用 左乘矩阵A，相当于对矩阵A施行一次初等行变 换：将A的第 2、4 两行交换.,113,用 右乘矩阵A，相当于对矩阵A施行一次初等列变 换：将A的第 2、4 两列交换.,114,用初等矩阵 左乘矩阵 ，其结果相当于将 矩阵A的第i，j两行交换；,用初等矩阵 右乘矩阵 ，其结果相当于将 矩阵A的

26、第i，j两列交换；,2. 用 左乘矩阵 ，其结果相当于以数k乘矩 阵 A 的第i行；用 右乘矩阵 ，其结果相当于 以数k乘矩阵A的第i列；,3. 用 左乘矩阵 ，其结果相当于把A的第j行 的k倍加到第i行上；用 右乘矩阵 ，其结果相 当于把A的第 i列的k倍加到第j列上.,“左行右列”规则,115,Thm2.4 设A是一个 矩阵，对A施行一次初等行变 换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,116,都是初等矩阵，,Thm2.5 设A为任意 矩阵，则存在m阶初等矩阵 与n阶初等矩阵 ，使得,推论1 n阶可逆矩阵A必等价于单

27、位矩阵E.,推论2 n阶可逆矩阵A可表示成有限个初等矩阵的乘积.,推论3 设A和B都是 矩阵，则A等价于B的充分必要 条件为存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得,117,2.4 初等矩阵的逆矩阵,118,2.5 初等变换求解矩阵方程,问题：已知矩阵A，B，求矩阵X，使得AX=B.(A可逆),答案:,设,对A和B施行相同的初等行变换，当A变为E时，B就变成 了所需要的乘积,构造矩阵 ，对 施行初等行变换，相对A和B 施行了相同的初等行变换，所以,119,初等变换法解矩阵方程AX=B：,1）写分块矩阵 ；,2）用初等行变换化为行最简形；,3）写出结果：如果 则,当 时，上述的过程就是求可逆矩阵

28、A的逆阵,当 时，上述的过程就是求方程组 的唯一解,120,解：,需要对A， 施行相同的初等行变换，所以,121,所以，线性方程组 和 的解依次为,122,解：,在矩阵运算时，要注意左乘与右乘,123,因此 可逆，且,124,解：,125,思考：,1. 如何求解矩阵方程XA=B（A是可逆矩阵）？,2. 如果A不可逆，如何求解矩阵方程AX=B和XA=B?,先求出 ，再求X；,当A不可逆时，方程可能没有解； 当方程有解时，方程的解可能不唯一.,126,2.6 矩阵的秩,矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征. 在有些运算(比 如初等变换)下，它是一个不变量 .,一、矩阵的秩的定义,二、矩阵的秩的求法,

29、三、矩阵的秩的性质,127,一、矩阵的秩的定义,标准形是唯一的，也就是说数r由A唯一确定.,这个数r是矩阵A的一个重要的量矩阵的秩.,根据行列式的性质，可以用行列式来定义这个量.,一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.,Def2.14 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，数r称为矩阵A的秩，记作 或 ；并规定零矩阵的秩等于0.,128,根据行列式的展开法则知，在A中当所有r+1阶子式全为零时，所有高于r+1阶的子式也全为零，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵A的秩就是A中不等于零的子式的最高阶数，这是矩 阵的秩所表明的矩阵的一个特征；

30、,对于n阶矩阵A，当 时，A称为满秩矩阵；否则称 为降秩矩阵. 满秩矩阵式可逆矩阵.,129,二、矩阵的秩的求法,方法一：寻找最高阶不为零的子式. 此方法的依据是矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数.,例6.1 求矩阵A和B的秩.(教材P69，例1),解：先计算A的4个三阶子式,这4个三阶子式全为零，再计算2阶子式,所以R(A) = 2.,在B中，显然所有的4阶子式全为零，又,所以R(B) = 3.,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.,130,Thm2.6 任意矩阵经初等变换后，其秩不变.,假设D是A的最高阶的不为零的子式，,若D中不含有A的第i行与第j行的元素，则在B中可以找出 与D一模一样的子式

31、；,若D中含有A的第i行或第j行的元素，则在B中可找出一个 也含有第i行或第j行的子式 , 与D相同或互为相反数；,若D中含有A的第i行和第j行的元素，则在B中可找出一个 也含有第i行和第j行的子式 , 与D互为相反数；,以上说明,反之，若先取定B的最高阶非零子式, 则可得,方法二：用初等变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零 行的行数就是矩阵的秩，依据Thm2.6.,推论 任一矩阵的标准形是唯一的.,131,例6.2 求矩阵 的秩.,解：,所以,一般情况下只用初等行变换，不用初等列变换,132,三、矩阵的秩的性质,若 为 矩阵，则,Thm2.7 两个同型矩阵A与B等价的充分与必要 条件是,133

32、,特别地，当B为列向量时，有,证： 因为A的最高阶非零子式总是 的非零子式，所以,同理有,两式合起来即为,下证另一个不等号，设,则A和B的列阶梯形中分别含有r个和 s个非零列，设为,用初等列变换分别把A和B化为列阶梯形 和 ，,从而,由于 中只含 个非零列，因此,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.,134,证:设,于是,因此,135,解：,因为 ，故,即,这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目. 一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换. 当 时，A的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.,136,例6.4 若A是 矩阵( )，且R(A)=m，证明存在 矩阵B，使得 (教材P72, 例3),证：,这是一道关于矩阵的标准形的题.,由于R(A)=m，所以标准形中没有零行,(P,Q是可逆矩阵),取,137,(教材P72, 例4),证：,阶不为零的子式,是A的 阶不为零的子式， 是B的 阶不为零的子式，,(2) 所有 阶子式全为零,若 ，则,138,例6.6 设A为n阶矩阵，证明,证:,因为,139,例6.7 设A为 矩阵，B为 矩阵， 证明,证:,而AB为m阶矩阵，所以,140,Ex P68 2.(3) 3. P73 1.(3) 2.(1),