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1、矩阵的初等变换初等矩阵现在学习的是第1页，共39页定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii,.3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换现在学习的是第2页，共39页定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”
2、换成“c”)jirr kri 逆变换;jirr 逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换.)(jijikrrrkr 或或现在学习的是第3页，共39页等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B ,B A 2则则若若对对称称性性）（C.AC,BB,A 3则则若若）传传递递性性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA凡具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价现在学习的是第4页，共39页用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：97963422644121121112
3、B197963211322111241211B 21rr 23 r现在学习的是第5页，共39页331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 现在学习的是第6页，共39页5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 现在学习的是第7页，共39页对对应应的的方方
4、程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c现在学习的是第8页，共39页.54都称为行阶梯形矩阵都称为行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元三现在学习的是第9页，共39页.1 5的其他元素都为零的其他元素都为零列列，且这些非零元所在的，且这些非零元所在的零行的第一个非零
5、元为零行的第一个非零元为即非即非还称为行最简形矩阵，还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B.,A nm和行最简形和行最简形变换把他变为行阶梯形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形现在学习的是第10页，共39页 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003
6、001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF现在学习的是第11页，共39页.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标准形标准形总可经过初等变换化为总可经过初等变换化为矩阵矩阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.AF现在学习的是第12页，共39页1.初等行(列)变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijik
7、cckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同3.矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.A初等变换B.BA现在学习的是第13页，共39页第6节 矩阵的初等变换一、初等矩阵的概念二、初等矩阵的应用三、小结现在学习的是第14页，共39页定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk.30.2.1一、初等矩阵的概念
8、现在学习的是第15页，共39页，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j现在学习的是第16页，共39页，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).(jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵现在学习的是第17页，共39页，右乘矩阵右乘矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵以
9、以类似地，类似地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵现在学习的是第18页，共39页 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i现在学习的是第19页，共39页；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111
10、211)(行行第第 i类似地，类似地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)().()(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以现在学习的是第20页，共39页上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()(ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j现在学习的是第21页，共39页，左乘矩阵左乘矩阵以以AkijEm)(mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAki
11、jE2121221111211)().(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第把把现在学习的是第22页，共39页 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)(现在学习的是第23页，共39页 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.nm mnAAAAA初
12、等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵二、初等矩阵的应用现在学习的是第24页，共39页 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换.)()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换现在学习的是第25页，共39页 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使证,EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即.,:BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆
13、方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故现在学习的是第26页，共39页利用初等变换求逆阵的方法：，有为可逆矩阵时，由当lPPPAA21 ,11111EAPPPll ,111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 .)(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对现在学习的是第27页，共39页.,343122321 1 AA求求设设 解例 103620
14、012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 现在学习的是第28页，共39页 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r现在学习的是第29页，共39页.1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA )(BABA1 即初等行变换现在学习的是第30
15、页，共39页例.341352,343122321 ,BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA现在学习的是第31页，共39页 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 现在学习的是第32页，共39页，311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 现在学习的是第33页，共39页.1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换
16、，也可改为对也可改为对),(TTCA,1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换TT1C)(AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得现在学习的是第34页，共39页三、小结1.单位矩阵 初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对现在学习的是第35页，共39页思考题.010102001的的乘乘积积表表示示成成有有限限个个初初等等方方阵阵将将矩矩阵阵 A现在学习的是第36页，共39页思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,AE 3331321,1,2,crccrr 而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011 P,1020100012 P,1000100013 P现在学习的是第37页，共39页.1000100014 P由初等方阵的性质得4213PEPPPA .4213PPPP 现在学习的是第38页，共39页现在学习的是第39页，共39页